Векторная алгебра и аналитическая геометрия
.pdfугла убывает от 1 до 0, таким образом, убывает от а до 0 в точке О(0, /2), и радиус-вектор точки М описывает верхнюю половину окружности. Нижняя её половина получается при изменении от 3 /2 до 2 . Этим значениям угла соответствуют положительные значения cos , возрастающие от 0 до 1, что приводит к возрастанию от 0 до а и геометрическому замыканию окружности.
Уравнение a cos задаёт окружность с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2.
2). В уравнении линии a cos перейдем к декартовым координатам:
|
|
|
x |
, x2 y2 ax 0, (x |
a |
)2 y2 |
a2 |
|
x2 y2 a |
|
, |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 y2 |
2 |
4 |
|
каноническое уравнение окружности с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2. Постройте самостоятельно кривую asin , a > 0.
Спирали
Архимедова спираль: = а ,0 , 0 .
Для построения архимедовой спирали нужно вычислить значения при различных значения :
OA a ;OB 2OA 2 a ;OC 3OA 3 a ; и так далее.
2 2 2
Кривая представляет собой линию, описываемую точкой, движущейся с постоянной скоростью по лучу, вращающемуся около полюса О с постоянной
скоростью : a v .
Гиперболическая спираль: a , a > 0,0 , 0 .
40
Логарифмическая спираль:
a , a 1; - , 0 . |
a , 0< a 1; - , 0 |
||||||||||||||||
Розы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Двухлепестковые розы: asin 2 , a>0; 0 2 , 0 a . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
0 |
30 |
45 |
60 |
|
90 |
|
|||||||||
|
|
0 |
0,7 а |
|
|
а |
0,7 а |
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График функции asin 2 для [0,2 ) : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sin |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
3 /2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
/4 |
|
5 /4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
asin 2 при а>0 принимает допустимые, неотрицательные |
||||||||||||||||||||||||
значения 0 |
при |
[0, |
|
] [ , |
3 |
]; |
принимает |
максимальные, равные а, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
значения при |
|
|
и |
|
5 |
, |
интервалами возрастания функции являются |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
4 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|||||||||||
значения [0, |
) [ , |
) , убывания |
, |
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
. Аналогично |
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
строим кривую, содержащую косинус.
asin 2 , a>0; 0 2 , 0 a ; |
a cos2 , a>0; |
0 2 , |
0 a |
41
Четырехлепестковые розы:
a |
sin 2 |
,a > 0, 0 2 , 0 a ; |
a |
cos2 |
; |
0 2 , |
0 a |
Трёхлепестковые розы:
asin3 ; |
0 2 , |
0 a, |
a>0 ; acos3 ; |
0 2 , |
0 a, a>0 |
Лемниската Бернулли
Лемниската Бернулли - линия,
представляющая геометрическое место точек, расстояние которых от двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина, равная квадрату половины межфокусного расстояния.
В полярных координатах
2 2a2 cos2 .
Укажем, что точка М лежит на кривой, если выполнено условие
2
F1M F2M F1F2 .
2
Вершины кривой находятся в точках A(a2,0); C( a2,0). Площадь каждой петли S = a2.
42
Кардиоида
В полярных координатах a(1 cos ), a 0.
Вершина кардиоиды находится в точке А(2а,0).
Укажем, что площадь кардиоиды S 3 a2 , а длина
2
L = 8a.
3.6. Параметрическое задание линий
Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости текущих координат x и y от некоторого параметра t. Каждому значению t соответствуют два значения: x и y. При изменении параметра t текущая точка M(x,y) описывает некоторую кривую на плоскости.
Окружность
Пусть M(x,y) - текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. В качестве параметра t выберем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью OX 0 t 2 . Из треугольника ОМА:
x R cos t, |
- параметрические уравнения окружности. |
|
|
y R sin t |
|
Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:
x2 y2 R2 (cos2 t sin2 t) R2 .
Циклоида
Циклоидой называется кривая, описываемая точкой круга, катящегося без скольжения по прямой линии.
Пусть Ox – прямая, по которой катится круг радиусом а. За параметр t примем угол поворота.
43
Параметрические уравнения циклоиды
x a(t sint), |
где t . |
|
y a(1 cost),
При 0 t 2 получаем первую арку циклоиды. Укажем, что длина дуги ОА1О1=8а, а площадь одной арки S = 3 a2.
Астроида
Астроидой называется кривая, которую описывает точка окружности радиуса R/4, когда окружность катится без скольжения внутри окружности радиуса R.
Параметрические уравнения астроиды
x Rcos3 t,
y Rsin3 t,
где 0 t 2 .
В декартовых координатах уравнение астроиды
x2/3+y2/3=R2/3.
Длина астроиды L = 6 R, а площадь, ограниченная астроидой, S = 3 R2/8.
44
4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверх-
ность, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид:
Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Exz+2Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0,
где не все коэффициенты при членах второго порядка равны одновременно нулю (в противном случае получаем алгебраическую поверхность первого порядка, т.е. плоскость).
В зависимости от значений коэффициентов возможны случаи, когда уравнение определяет вырожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей).
Например, уравнение x2 y2 z2 1 0 не имеет решений и задает пустое множество, уравнение x2 y2 z2 0 задает точку с координатами (0,0,0), задает плоскость х = 1, уравнение x2 y2 0 задает пару
плоскостей х = у и х = у.
Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям
Основным методом исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений, когда о форме поверхности судят по форме кривых, которые получаются при пересечении данной поверхности плоскостями
x const; y const; z const.
Эллипсоид
Эллипсоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 |
. |
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью z 0 . Линия пересечения эллипсоида и плоскости задается системой уравнений
|
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
|
|
2 |
|
y |
2 |
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
1, |
|
x |
|
|
|
1, |
|||
|
|
b2 |
c2 |
|
|
b2 |
||||||||||
: a2 |
|
|
|
: a2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
z 0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г – эллипс с полуосями а и b в плоскости z 0 .
Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью z h . Линия пересечения задается системой уравнений
|
2 |
|
y |
2 |
|
z |
2 |
|
|
2 |
|
y |
2 |
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
1, |
|
x |
|
|
|
|
1, |
|||
|
|
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
: a2 |
|
|
|
: |
2 |
|
b1 |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
z h |
|
|
a1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
z h, |
|
45
где a1 a |
1 |
h2 |
|
; |
b1 b |
1 |
h2 |
. |
Таким образом, если |
0 h c , |
то Г – эллипс с |
||
c2 |
|
|
|||||||||||
полуосями |
|
|
|
|
|
c2 |
в |
плоскости |
|
Если |
h c , |
||
|
|
a1 |
a; b1 |
b |
z h |
Г – точка с координатами (0,0,c). Если h c , система решений не имеет, т.е. исследуемая поверхность не имеет общих точек с рассматриваемой плоскостью.
Далее, так как переменная z содержится в уравнении во второй степени, плоскость z 0 является плоскостью симметрии эллипсоида. Отсюда следует, что достаточно исследовать форму поверхности и построить ее часть в области z 0 , достроив затем остальную часть путем зеркального отражения найденного фрагмента поверхности относительно координатной плоскости ОXY.
Аналогично рассматриваются сечения поверхности плоскостями x const; y const.
Эллипсоид - замкнутая поверхность, имеющая три плоскости симметрии: x 0; y 0; z 0.
|
|
Если |
a b , каноническое уравнение эллипсоида принимает |
вид |
|||
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1. При этом линиями пересечения эллипсоида с плоскостями |
z h , |
|
a2 |
a 2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
где –с < h < c, являются окружности, центры которых лежат на оси OZ и, следовательно, в этом случае эллипсоид является фигурой вращения с осью OZ.
Если a b c R , каноническое уравнение принимает вид x2 y2 z 2 R2
и задает сферу с центром в начале координат и радиусом R.
Гиперболоиды
Однополостный гиперболоид
Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка с каноническим уравнением
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
z2 |
|
|
1 |
. |
||||||||
|
|
a2 |
b2 |
|
c2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Линия пересечения |
|
гиперболоида и плоскости |
|||||||||||||||||
z 0 задается системой уравнений |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
: a2 b2 c2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иопределяет эллипс с полуосями а и b.
Всечении плоскостью z h получаем эллипс
|
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|||
: |
2 |
|
b1 |
2 |
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|||
|
|
z h, |
|
с большими, чем в предыдущем случае, полуосями
a |
a 1 |
h2 |
и b |
b 1 |
h2 |
|
|
|
. |
||||
|
|
|||||
1 |
|
c2 |
1 |
|
c2 |
|
|
|
|
|
46
Сечение поверхности плоскостью x 0 дает уравнение линии пересечения в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
и представляет гиперболу, пересекающую ось OY. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сечение плоскостью y 0 задает гиперболу, пересекающую ось OX. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Однополостный гиперболоид - поверхность, имеющая вид расширяю- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щейся трубки с тремя плоскостями симметрии x 0; y 0; |
z 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Двуполостный гиперболоид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с каноническим уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
z 2 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Линия пересечения гиперболоида и плоскости z 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
задается системой уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: a2 |
b2 |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
определяющей пустое множество. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В сечении плоскостью z h имеем кривую |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
1, |
где a1 |
a |
|
|
|
h2 |
|
1; и b1 |
|
b |
|
|
|
h2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
: a |
2 |
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
c |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
z h, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если h c , Г – эллипс с полуосями a1 , b1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если h с , Г – точка (0,0,c). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Для –с < h < c сечение – пустое множество. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сечение с плоскостью x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: b2 c2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дает гиперболу, пересекающую ось OZ.
Сечение плоскостью y 0 также задает гиперболу, пересекающую ось OZ. Двуполостный гиперболоид - поверхность, имеющая вид двух беско-
нечно расширяющихся чаш с тремя плоскостями симметрии: x 0; y 0; z 0.
Параболоиды
Эллиптический параболоид
Эллиптическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением
47
|
x2 |
|
y2 |
pz, |
p 0. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
Поверхность расположена в области z 0 . Сечениями в плоскостях z h являются эллипсы,
а в плоскостях x h č y h – параболы, в плоскости z 0 – точка (0,0,0).
Гиперболический параболоид
Гиперболическим параболоидом называется поверхность с каноническим уравнением
|
x2 |
|
y2 |
pz, |
p 0. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
Применение метода сечений приводит к тому, что в плоскостях z h, где
h 0 (h 0) , обнаруживаются гипербо-
лы, а в плоскостях x h и y h 0 – параболы, в плоскости z 0 – пересекающиеся прямые.
Конус
Коническая поверхность – поверхность, с вершиной O и направляю-
щей G , содержащая все точки всех прямых (образующих), проходящих через точку O и пересекающихся с кривой G .
Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:
|
x2 |
|
y2 |
|
z 2 |
0 |
. |
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
|
|
Метод сечений позволяет составить представление о форме этой поверхности.
Осью конуса, заданного рассматриваемым каноническим уравнением, является ось OZ. Сечения плос-
костями z h являются эллипсами. |
Сечения коорди- |
натными плоскостями Oxz y 0 |
и Oyz x 0 – |
пересекающиеся прямые, проходящие через начало координат, сечения плоскостями x h и y h – гиперболы.
Сечения плоскостями, не параллельными координатным, распадаются на два класса. Если плоскость проходит через начало
координат, в сечении получаются пересекающиеся прямые (которые сливаются, если плоскость касается конуса). Если плоскость не проходит через начало ко-
48
ординат, то в сечении, по мере возрастания угла между нормалью к плоскости и осью конуса, возникают эллипсы (при малых углах), параболы (когда секущая плоскость параллельна какой-либо из образующих) или гиперболы (при больших углах).
Цилиндры
Цилиндрическая поверхность — поверхность, образуемая движением прямой (в каждом своём положении называемой образующей) вдоль кривой (называемой направляющей) так, что прямая постоянно остаётся параллельной своему начальному положению.
Эллиптический цилиндр
Эллиптический цилиндр задается канони-
ческим уравнением
|
x2 |
|
y2 |
1 |
. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
Осью цилиндра является координатная ось OZ, поперечные сечения – эллипсы.
Гиперболический цилиндр
Гиперболический цилиндр задается каноническим уравнением
|
x2 |
|
y2 |
1 |
. |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
Параболический цилиндр
Параболический цилиндр задается каноническим уравнением
y2 2 px, |
p 0. |
|
|
Если уравнение поверхности в канонической форме не изменяется при замене x x , y y , z z , то поверхность обладает центром симметрии и называется центральной. К ним относятся эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, конус, эллиптический и гиперболический цилиндры.
49