Минькова. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. 2006

					2			2					2	.						(2.9)
	(a b )						a			2ab b
Аналогично (проверьте самостоятельно),													2
											2			.					(2.10)
	(a b ) (a b ) a												b
																3
Пример 2.3. Известно, что	a		2,					b			3,	(a, b )					. Вычислить (a 3b )(2a b ).
																4

Решение. Используем свойства перестановочности и линейности скалярного произведения:

2

2

(a 3b ) (2a b ) 2a a a b 6b

a 3b b 2

a

5a b 3

b

.

2

Так как

a b

a

b

cos(a, b ) =

2 3

3

, то

2

(a 3b ) (2a b ) 2 2 5 3 3 9 8 .

Вычисление скалярного произведения

в ортонормированном базисе

Рассмотрим ортонормированный базис i ,

j , k

. Пусть a a1i a2 j a3k ,

Найдем скалярное произведение этих векторов, используя

b b1i b2 j b3k .

свойство линейности:

a b (a1i a2 j a3k ) (b1i b2 j b3k )

a1b1 (i , i ) a1b2 (i , j ) a1b3 (i , k ) a2b1(j, i) a2b2 (j, j) a2b3(j, k) a3b1(k , i) a3b2 (k , j) a3b3 (k , k).

Так как векторы i , j , k перпендикулярны и длины их равны единице, то скалярное произведение разных базисных векторов равно нулю, а скалярное произведение одинаковых базисных векторов равно квадрату их длины, то есть единице. Поэтому предыдущее равенство примет вид

		a3b3	.	(2.11)
a	b a1b1 a2b2

Итак, скалярное произведение двух векторов, заданных в ортонормированном базисе, равно сумме произведений их одноименных координат.

Применение скалярного произведения

1). Проверка перпендикулярности двух ненулевых векторов

.

a b

a b 0

2). Вычисление длины вектора

2

.

(2.12)

a

a a

a

Действительно,

cos 0

2

.

В частности,

в ортонормированном ба-

a

a

a

a

a

зисе для вектора

a {a1 , a2 , a3 } из формул (2.11) и (2.12) получим

2

2

2

.

(2.13)

a

a1

a2

a3

11

3). Отыскание угла между ненулевыми векторами a								и b
	cos	a b					.	(2.14)
		a			b

Эта формула следует из определения скалярного произведения. 4). Вычисление направляющих косинусов вектора:

cos

a1

cos

a2

cos

a3

,

(2.15)

,

,

a

a

a

(2.16)

cos2 cos2 cos2 1

.

Здесь , ,

− углы, которые образует вектор a соответственно с базисными

векторами i ,

j , k (или, что то же самое, с осями ox, oy, oz ). Косинусы этих углов

называются направляющими косинусами вектора a .

Формулы (2.15) следуют из формул (2.14), например,

a1, a2 , a3 1, 0, 0

a

a i

cos

1

.

1

a

i

a

a

Возводя в квадрат и складывая равенства (2.15), учитывая, что

2

2

2

2

,

a1

a2

a3

a

получим формулы (2.16).

5). Вычисление проекции для ненулевых векторов a и b

a b

.

(2.17)

пр b

a

a

Эта формула следует из свойства 3) скалярного произведения.

6). Вычисление работы A постоянной силы F при прямолинейном перемещении из точки M в точку N (рис.16).

A F MN

.

(2.18)

Действительно, из физики известно, что

A

F

MN

а значит, A F MN .

F

cos(F , MN ),

Пример 2.4. Найти косинус угла между диагоналями параллело-

M

N

грамма ABCD , если A(1,2,0), B( 2,1,1),

D(3, 1,3).

Рис. 16

Решение. Сделаем схематичный чертеж (рис.17). Найдем координаты векторов

AB , BD, AD , вычитая из координат концов координаты начала этих векторов:

			B
AB { 3, 1,1},	BD 5,-2,2 , AD {2, 3, 3}.						C
По правилу параллелограмма		AC AB AD { 1, 4,4}.			0
		A				D

Рис. 17

12

Искомый угол между диагоналями параллелограмма равен углу между век-

торами AC и		BD . Из формулы (2.14) имеем:
											1 5 ( 4)( 2) 4 2					11				1
cos			AC BD																		.
																				3
			AC				BD				( 1)2 ( 4)2 42 52 ( 2)2 22					33 33
Заметим, что									,	т.е. диагонали параллелограмма равны, следовательно,
		AC					BD

параллелограмм является прямоугольником. Это можно установить и из усло-

вия перпендикулярности векторов AB и

AD , так как их скалярное произведе-

ние равно нулю:

AB AD 3 2 ( 1) ( 3) 1 3 0.

Пример 2.5.

Найти вектор c ,

коллинеарный вектору a {1,3,2} , если его проек-

2

ция на вектор b {2,1,0} равна

5.

Решение. Так как вектор c

коллинеарен вектору a , то c a . Вычислим проек-

по формулам (2.17) и (2.11):

цию вектора c

на вектор b

c b

a b

(1 2 3 1 2 0)

5

пр b c

5.

22 12

0

5

b

b

С другой стороны, по условию пр

2

5. Таким образом,

5 2

5,

2.

c

Тогда c a 2a { 2, 6, 4}.

b

Пример 2.6.

Найти длину медианы АМ треугольника АВС и угол между ме-

дианой АМ и стороной АВ, если AB 10

cм , AC 6 см

и

BAC 60 .

Решение. На векторах AB

и

AC построим параллелограмм ABCD (рис.18). По-

ловина его диагонали AD будет равна медиане AM треугольника ABC . Введем

векторы a

AB

и b AC.

По правилу параллелограмма

B

D

AD AB

AC

a b.

Для отыскания длины вектора AD используем формулу (2.12)

a

M

2

2

2

.

AD

a b

(a b )

a

2ab b

A

C

Так как

2

2

100,

2

2

36,

b

a

a

b

b

a b

a

b

cos(a, b ) 30, то

Рис.18

AD

14,

AM

1

AD 7.

100 2 30 36

196

2

Для отыскания угла между векторами

воспользуемся формулой:

AB и AD

2

100 30

13

13

cos

AB AD

a

(a b )

a

a b

.

Тогда arccos

.

10

14

140

140

14

14

AB

AD

Примеры для самостоятельного решения

Найти

Пример. Даны векторы a

2i 2 j k,

b 6i 3 j 2k.

пр b,

угол (a , b ).

a

Ответ:

20 ;

arccos 20 .

3

21

, если

16, 15,12 .

75,

Пример. Найти вектор p

p c,

p

c

Ответ:

p 48i

45 j 36k .

13

2.6. Векторное произведение векторов

Понятие правой и левой тройки

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется
			c
правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от
первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки.				b
В противном случае тройка векторов называется левой. На рис. 19		0
				a
тройка векторов a, b, c является правой, так как с конца вектора c			Рис. 19
кратчайший поворот (т.е. на угол ) от вектора a к вектору	b про-
	является левой, так
исходит против часовой стрелки. Тройка же векторов b, a, c

как с конца третьего вектора (вектора ) кратчайший поворот от первого век-

c

тора (вектора b ) ко второму вектору (вектору a ) происходит по часовой стрелке.

Заметим, что вообще при перестановке местами двух соседних векторов ориентация этой тройки меняется, т.е. правая тройка становится левой, а левая

– правой. При круговой перестановке векторов в тройке ориентация тройки не

− одинаковы.

меняется, т.е. ориентации троек (a, b, c ),

(b, c, a),

(c, a, b )

Определение векторного произведения

Векторным произведением векторов

a и b называет-

ся вектор

, удовлетворяющий трем условиям:

c

c

1)

b

c

a

b

sin , где (a , b ) ;

2)

перпендикулярен векторам

вектор c

a и

b ;

a

3)

Рис.20

векторы a, b, c образуют правую тройку (рис.20).

									. Заметим, что длина век-
Обозначается векторное произведение [a, b ] или							a b
тора c равна площади параллелограмма, построенного на векторах a										и b .
Пример 2.7. Показать, что i j		k ,	i k		j,	j k		i .

Решение. Покажем, что i j k . Действительно,

длина вектора

k

k равна единице, т.е. равна площади прямоугольника, постро-

и

. Кроме того, вектор

перпендикуля-

енного на векторах i

j

k

рен векторам i , j и векторы

i , j , k образуют правую тройку, так

j

кратчайший поворот от вектора

к

век-

i

как с конца вектора k

i

Рис.21

тору j происходит против часовой стрелки (рис.21).

Теперь покажем, что

1

, вектор

i k

j. Действительно,

j

i

k

j пер-

пендикулярен векторам

i , k

и векторы i , k , j образуют правую тройку, так как

происходит

с конца вектора j кратчайший поворот от вектора i

к вектору k

против часовой стрелки (рис. 21). Равенство

проверьте самостоятельно.

j k

i

j

14

Свойства векторного произведения

1). Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

2). Векторное произведение векторов меняет знак при перестановке векторов:

b a a b.

3). Свойство линейности

( a b) c

(a

c) (b c)

Докажем первое свойство:

0;

a b 0

a b

sin 0 sin 0 0 или ,

a b

a

b

коллинеарны.

т.е. векторы a

и b

Докажем второе свойство:

и

b

a a b.

Действительно, длины векторов b a

a b равны (так как равны площади параллелограммов, построенных на векто-

− коллинеарны (так как перпендикулярны

рах a, b и b, a ); векторы b a , и a b

плоскости векторов a

и b ) и противоположно направлены (так как кратчайший

,

поворот (рис. 22) против часовой стрелки от a к b виден с конца вектора a b

к

а от b

a − с конца вектора − a b ).

Доказательство третьего свойства приводить не будем.

Из свойства линейности следует, что при векторном ум-

ножении можно раскрывать скобки, выносить числовой множи-

axb

тель, но нельзя менять порядок сомножителей.

Пример 2.8.

b

Вычислить (i

j ) (i j ).

Решение. Раскроем скобки,

используя свойство линейности и

сохраняя порядок множителей:

a

(i j ) (i j ) i i j i i j j j.

bxa

0,

0.

Из второго

Рис. 22

Из первого свойства следует, что i

i

j

j

свойства и примера 2.7 следует, что

Оконча-

j i

i

j k .

тельно получаем:

(i j ) (i

j ) 2k .

Вычисление векторного произведения

в ортонормированном базисе

Пусть в ортонормированном базисе i ,

j , k

векторы a

и b имеют соответственно

координаты {a1 , a2 , a3 } и

{b1 , b2 , b3 }. Это значит, что

a a1i a2 j a3 k ,

b b1i b2 j b3 k .

Найдем векторное произведение векторов, используя свойство линейности:

a b (a1i a2 j a3k ) (b1i b2 j b3k ) a1b1(i i ) a1b2 (i j ) a1b3 (i k )

a2b1(j i) a2b2(j j) a2b3(j k) a3b1(k i) a3b2(k j) a3b3(k k).

Из первого свойства следует, что

0,

0,

0.

Из второго свойства

i i

j j

k k

и примера 2.7 имеем:

i j k ,

i k j ,

j k i ,

j i k ,

k i j ,

k j i .

15

Учитывая все эти соотношения, получим:

a2b1 ) или

a b i (a2b3

a3b2 ) j (a1b3

a3b1 ) k (a1b2

a2

a3

a1

a3

a1

a2

(2.19)

a b i

b

2

b

j

b

b

k

b

b

2

.

3

1

3

1

Принята следующая удобная условная запись равенства (2.19):

i

j

k

a1

a2

a3

.

(2.20)

a b

b1

b2

b3

В этой формуле

{a1 , a2 , a3 } − координаты вектора

−

a в базисе

i ,

j , k , {b1 , b2 , b3 }

координаты вектора

b в базисе i ,

j , k .

Если разложить "определитель" в формуле (2.20) по элементам первой

строки, то получим формулу (2.19).

Пример 2.9. Вычислить a

b , если

a 2i

j 3k ,

b 3i

j.

Решение. Векторы a

и b в базисе i , j , k имеют соответственно координаты

{2, 1, 3} и {3, 1, 0}. Поэтому по формуле (2.20) имеем

i

j

k

1

3

2 3

2 1

a b

2

1

3

i

1

0

j

3 0

k

3 1

3i 9 j k .

3

1

0

Применение векторного произведения

1). Вычисление площади S

параллелограмма и площади S

треугольника, построенных на векторах

(рис.23):

b

a

и b

1

(2.21)

S

a b

,

S

a b

.

2

Действительно, S

sin

и

sin .

a

b

a

b

a

b

2). Отыскание вектора , перпендикулярного заданным векторам

c

a

Рис. 23

и : a b

						.		(2.22)
			c	(a b )
Действительно, вектор		и вектор					перпендикулярны од-
	c				a b
ной и той же плоскости векторов						и		, следовательно, эти
					a		b

векторы коллинеарны (рис.24) и отличаются лишь некоторым числовым множителем .

	силы			, приложенной к точке М, от-
3). Вычисление момента m0			F
носительно точки O (рис.25):
						.	(2.23)
		m0 r F
Эта формула известна из физики; через r							обозначен радиус-
вектор OM .

c	axb

b

a

Рис. 24

m0

M

r

0	F

Рис. 25

16

точки М, вращающейся с

4). Вычисление линейной скорости v

V

(рис. 26):

M

постоянной угловой скоростью w

.

(2.24)

r

v

w

r

w

Вектор угловой скорости

0

w направлен по оси вращения так,

что, глядя с его конца, вращение точки М видно против часовой

Рис. 26

стрелки; вектор v линейной скорости направлен по касательной

к траектории; r

− радиус-вектор точки М.

Пример 2.10. Силы F1 4i

2 j 7k, F2

2i

j 3k приложены к точке M (4,3,1).

Вычислить момент равнодействующей этих сил относительно точки O(3,1,0).

Решение.

Найдем

равнодействующую

силу

и

вектор

F F1 F2 {2, 1, 4}

вычислим по формуле (2.23):

r OM {1,2,1}. Искомый момент m0 r F

i

j

k

1

2 1

m0

r F

9i 2 j 5k .

2

1

4

Пример 2.11. Вычислить площадь параллелограмма ABCD , если

AC 2e e ,

BD 4e

5e ,

e , e

− единичные векторы и (e

, e )

.

1

2

1

2

1

2

1

2

4

Решение. Сначала найдем векторы AB и

AD (рис.27):

B

C

1

1

AB AO OB

AC

BD

e1

2e2 ,

2

2

O

A

D

1

1

AD AO OD

AC

BD

3e1

3e2 .

2

2

Рис. 27

Найдем векторное произведение векторов AB и AD , ис-

пользуя свойства векторного произведения:

(

AB AD

e1

2e2 ) (3e1 3e2 )

3e1

e1 6e2 e1

3e1 e2

6e2

e2.

Так как

то получим:

e1 e1

0,

e

2

e

2

0,

e

2 e1 e1

e

2

,

AB AD 6e1 e2 3e1 e2

3e1

e2 .

Вычислим площадь параллелограмма по формуле (2.21):

3

2

S

ABCD

AB AD

3

e

e

3

e

e

sin(e , e )

.

1

2

1

2

1

2

2

Пример 2.12.

Найти

вектор

перпендикулярный векторам

и

c ,

a

b , если

образует тупой угол с осью oz.

3 41

a

2i j ,

b

3 j

k ,

c

и вектор c

Решение. Вектор c , перпендикулярный векторам a
(2.22) и (2.20):
			i	j	k				1 0				2	0
			2	1	0
c	(a b )					i			3 1		j		0	1		k
			0	3	1

и b , найдем по формулам

2	1
0	3		( i 2 j 6k ).

Зная длину вектора c , найдем									:
																2		2		2
		3	41												( 1)		( 2)		6				41.
	c						i	2 j 6k
												17

Отсюда получим, что

3

и 3.

Установим знак . По условию вектор c

образует тупой угол с осью oz, а значит, и с вектором

Поэтому

k .

c k 0. Но

c k 6 . Следовательно, 0 . Итак,

3 и c ( i 2 j 6k ) 3i 6 j 18k .

Примеры для самостоятельного решения

Пример.

Найти

высоту

АК и

площадь

треугольника

с

вершинами

A(2,2,2),

B(4,0,3),

C(0,1,0).

,

.

Ответ:

S

65

AK

10

2

Пример.

2

он перпендикулярен

векторам

Найти

координаты вектора x , если

a

2i 3 j 4k ,

b i 2 j 3k

и удовлетворяет условию x (i

2 j 7k ) 10.

Ответ:

x { 5, 10, 5}.

2.7. Смешанное произведение векторов

Определение смешанного произведения

векторно умножается на вектор

Пусть вектор a

b , затем получившийся

вектор

a b

скалярно умножается на вектор c . В результате получается число,

которое называется векторно-скалярным или смешанным произведением век-

						Таким образом,
торов a, b, c	и обозначается abc	или (a, b, c ) .
								.	(2.25)
			abc	(a b ) c

Свойства смешанного произведения

1). Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

2). Если векторы a, b, c − некомпланарны, то модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

3). Смешанное произведение не меняется при перестановке местами знаков

векторного и скалярного умножения:
			abc (a b ) c				a (b		c ).
4). Свойство линейности:
	( a	b) c d (a c d) (b c d) .

Проверим первое свойство. Смешанное произведение

abc

a b c есть скалярное произведение вектора

d a b и

вектора c

и потому равно нулю тогда и только тогда,

когда

векторы

перпенди-

d и с − перпендикулярны. Вектор

d

a b

кулярен плоскости векторов

будет

a, b .

Поэтому вектор c

перпендикулярен вектору d (рис.28) тогда и только тогда, ко-

гда он будет находиться в плоскости векторов a и b .

Проверим второе свойство. С одной стороны,

cos ,

abc

(a b ) c

a b

c

d	a	b

c

a b

Рис.28

(2.26)

18

			(рис.29).
где − угол между вектором a	b	и вектором c

С другой стороны, объем параллелепипеда V, построенного

, равен произведению площади основания,

на векторах a, b, c

равной

, на высоту, равную

cos

(рис. 29), т.е.

a b

c

V

cos

.

a b

c

abc

Другие два свойства доказывать не будем.

axb

c

b

Рис.29

a

Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе

					заданы векторы
Пусть в ортонормированном базисе i ,				j , k
	, a2	, a3 },				, c2	, c3 }.
a {a1			b {b1 , b2 , b3 },		c {c1

Вычислим смешанное произведение этих векторов, воспользовавшись форму-

Вспомним, что

лой: abc

a (b c ).

i

j

k

b2

b3

b1

b3

b1

b2

b1

b2

b3

.

b c

i

c2

c3

j

c1

c3

k

c1

c2

c1

c2

c3

на вектор

Далее, скалярное произведение вектора a

b

c равно сумме произве-

дений их одноименных координат:

a1

a2

a3

b2

b3

b1

b3

b1

b2

a b c

a (b

c)

a1

c c

a2

c

c

a3

c c

b1

b2

b3

.

2

3

1

3

1

2

c1

c2

c3

Итак,

смешанное

произведение

векторов

{a1, a2

, a3},

a

b {b1, b2 , b3},

, c2 , c3 ) , заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле

c {c1

a1

a2

a3

.

(2.27)

b1

b2

b3

a b c

c1

c2

c3

Пример 2.13. Вычислить смешанное произведение векторов

a 2i j 3k ,

b 3i j ,

c i 4k .

Решение. По формуле (2.27) имеем:

2

1

3

1 0

3 0

3

1

a b c

3

1

0

2

0

4

1

1

4

( 3)

1

0

2 ( 4) 1 12 3 1 23.

1

0

4

Применение смешанного произведения

1).

Проверка компланарности трех векторов

компланарны

.

(2.28)

a

, b, c

abc 0

2).

Проверка принадлежности четырех точек A, B, C, D одной плоскости П

(2.29)

( A, B, C, D) П ( AB, AC, AD) 0

.

19

Действительно, точки A, B, C, D принадлежат одной плоскости (рис.30) тогда и

только тогда, когда векторы

AB, AC, AD

компланарны,

что

B

C

равносильно равенству нулю их смешанного произведения.

D

3). Вычисление объемов пирамиды и параллелепипеда, по-

A

, и их высоты hc , опущенной из

строенных на векторах a, b, c

Рис. 30

конца вектора c :

1

a b c

.

(2.30)

Vпар

a b c

,

Vпир

a b c

,

h c

6

a b

Действительно, из второго свойства смешанного произведения следует, что модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда Vпар , построен-

ного на векторах

a, b,

c . С другой стороны, объем параллелепипеда равен про-

изведению площади основания Sосн

на высоту hc . Основанием является паралле-

. Поэтому Sосн S

. Таким образом,

лограмм, построенныйна векторах a

и b

a b

h c

Vпар

a b c

.

S

a b

c

Для вычисления объема пирамиды Vпир , построенной на

h

(рис.31), воспользуемся формулой

векторах a, b, c

a

b

1

1

1

1

1

V

S h

c

S h

c

V

a b c

.

Рис. 31

пир

3

3

2

6 пар

6

Пример 2.14. Проверить, что векторы a

i 2 j ,

b

3i

5 j

4k , c

2i

k неком-

планарны. Найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, и вы-
соту h a , опущенную из конца вектора a .
Решение. Найдем смешанное произведение векторов a, b, c
					1	2		0							5 4										3 4							3 5
	a b c				3	5		4				1			0 1						2				2			1			0	2		0		15.
					2	0		1
															- некомпланарны, а объем параллелепипеда,
Так как a b c 0, то векторы								a, b, c
построенного на этих векторах, равен																												15.			Для вычисления высоты ha ,
																						a b c
опущенной из конца вектора a , найдем векторное произведение
		i	j			k						5			4						3			4						3	5
b	c	3	5			4	i					0			1		j				2			1				k		2		0	5 i 5 j 10 k.
		2	0			1
Вычислим искомую высоту:								ha							a b c													15										15				6		.
															a b									( 5)2 52 102											5 ( 1)2 12 22							2
Пример 2.15. Вычислить пр																																		1, 9, 1 ,
								с a b,								если						a		{2, 3, 1}, b														c	{1, 1,0}.

20