Оптика

Можно получить ЛПС, не прибегая к необходимости удаления одного из лучей. Так, например, в изотропных кристаллах наблюдается явление дихроизма, т.е. они в той или иной мере поглощают свет. Наиболее сильно это явление наблюдается в кристалле турмалина, в котором один из лучей (обыкновенный) полностью поглощается кристаллом, и на выходе из него получается ЛПС.

3.Получение циркулярно поляризованного (поляризованного по кругу)

иэллиптически поляризованного света. Рассмотрим, как можно получить круговую и эллиптическую поляризации с помощью явления двойного лучепреломления. Для этого нужно вырезать кристаллическую пластинку таким образом, чтобы ее передняя и задняя грани были параллельны оптической оси кристалла OO ', и послать на пластинку перпендикулярно к ее

поверхности луч линейно поляризованного света (рис.7.6,а, вектор E ). Его можно представить как сумму двух взаимно перпендикулярных линейно поляризованных колебаний (см. §5.7.4), они представляютG собой необыкновенный и обыкновенный лучи (рис.7.6,б, вектора Eo и Ee ).

Различные скорости распространения этих лучей приводят к тому, что при прохождении в таком кристалле определенного расстояния d, между ними возникает оптическая разность хода ∆ = d(nе −no ) , которая может принимать

различные значения. При этом толщину d пластинки нужно выбирать таким образом, чтобы оптическая разность хода ∆ обыкновенного и необыкновенного лучей на выходе из пластинки равнялась

∆ = λ0 (k +1 4) , k =1, 2, 3,... .

(7.6)

При этом разность фаз составит

∆ϕ = −2π ∆ = 2πk + π .

λ0 2

Рис.7.6

11

Такую пластинку называют пластинкой в четверть длины волны (в формуле (7.6) λ0 – длина ЭМВ в вакууме).

Пусть на входе такой пластинки угол между вектором E падающей ЛПС и оптической осью кристалла будет равен α . Тогда для обыкновенного и необыкновенного лучей, вектора Eo и Ee которых совершают колебания вдоль

осей Ox и Oy , получим

На входе пластинки: E y = Ee = Eem cos ωt , Ex = Eo = Eom cosωt ,

Eom = E m sin α , E em = E m cos α .

(7.7)

На выходе, за счет возникновения разности хода между лучами, можно записать следующие формулы для проекций векторов на оси Ox и Oy

На выходе пластинки: E у = Ee = Eem cos(ωt + ψ) ,

								E Х = E o = E om cos(ωt + ψ + ∆ϕ) = E om cos(ωt + ψ + π/ 2)
	При сложении				взаимно перпендикулярных				колебаний с	разностью фаз
	∆ϕ = 2πk + π	возникают следующие случаи.
	2	π ,π,		3π
	1. α =0,				.		В	этом случае один из	лучей будет	отсутствовать
		2	2		π		3π
	(α =0,π : Eo =0;		α =			,		: Ee =0), и поэтому на выходе пластинки будет ЛПС
					2
						2

(остается либо обыкновенный, либо необыкновенный луч).

2. α = π4 , 34π , 54π , 74π . При таких углах модули векторов E для обыкновенного и

необыкновенного лучей будут совпадать: Eom = Eem. На выходе пластинки возникает сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой

амплитуды	с разностью фаз, равной π / 2 , что приводит к	свету,
поляризованному по кругу (см. § 5.7.4, пример 2).
3. Угол α	отличается от значений, приведенных в случаях 1 и 2	. Тогда

модули векторов для обоих лучей будут отличны от нуля, и не будут совпадать, на выходе из пластинки возникает случай сложения взаимно перпендикулярных колебаний с разными амплитудами, что приводит к эллиптически поляризованному свету (см. § 5.7.4).

Для разных пластин в зависимости от их толщины на выходе можно получать разные виды поляризации света.

Если послать на пластинку неполяризованный свет (НПС), то тогда из-за случайности разности фаз складываемых колебаний, характерной для НПС, на выходе пластинки будет также НПС.

Вводят также понятия пластинки в полволны. Для нее

∆ = λ0 (k +12) , k =1, 2, 3,...

Ey = Eem cos(ωt +ψ ) ,

EХ = Eom cos(ωt +ψ + ∆ϕ) = Eom cos(ωt +ψ +π ) = −Eom cos(ωt +ψ ) ,

Ey / Ex = −Eem / Eom = −ctgα .

12

В соответствии со сложением взаимно перпендикулярных колебаний (см. §5.7.4, пример 1) в этом случае будет наблюдаться на выходе ЛПС, вектор E которого будет повернут относительно первоначального направления на угол

2α (рис.7.6,в).

7.1.6. Некоторые примеры практического применения поляризованного света

Рассмотрим некоторые примеры практического применения поляризации света.

1.Фотоупругий метод анализа механических напряжений. Из прозрачного изотропного материала изготавливают аналог механической детали и помещают его между двумя поляроидами, оси пропускания которых взаимно перпендикулярны (рис.7.7,а). Изотропный материал не изменяет поляризации падающего на него света, и поэтому на выходе такой системы, на экране, будет наблюдаться темное пятно.

Если подвергнуть деформации деталь, то тогда в области деформации материал становится анизотропным, и за счет явления двойного лучепреломления в области деформации происходит изменение поляризации падающего света, на экране эта область будет выглядеть просветленной. Создавая в прозрачной детали напряжения, которые свойственны механической детали в ее рабочем состоянии, на экране можно наблюдать разноцветную картину различных напряжений в ней. Причем одному цвету будет соответствовать одна и та же степень деформации детали, изменяя нагрузки на нее, можно наглядно видеть, как происходит изменение напряжений в детали.

Рис.7.7

2. Получение импульсов света малой длительности. Между двумя скрещенными поляроидами помещают ячейку Керра. Она представляет собой сосуд из жидкого диэлектрика, помещенного между пластинами плоского конденсатора (рис.7.7,б). В отсутствии напряжения на конденсаторе жидкий диэлектрик является изотропной средой (полярные молекулы диэлектрика из-за теплового движения имеют различную ориентацию в пространстве) и поэтому не изменяет поляризации падающего на него излучения. Через такую систему свет не проходит. При подаче на пластины конденсатора напряжения молекулы

13

диэлектрика будут выстраиваться вдоль направления линий напряженности электрического поля, среда становится анизотропной, она изменяет поляризацию падающего излучения, и световой сигнал проходит через такую систему. Время включения и выключения электрического поля является практически мгновенным, что позволяет формировать импульсы света различной длительности и последовательности.

3. Определение концентрации оптически активных веществ в растворе.

Существуют вещества, которые способны поворачивать (вращать) плоскость поляризации падающего излучения. Они называются оптически активными веществами, их способность к вращению будет зависеть от концентрации х вещества в растворе, т.е. угол поворота ϕ будет пропорционален концентрации

( ϕ= c x ), где постоянная с определяется из условий опыта.

Этот факт позволяет предложить метод определения процентного содержания в различных растворах оптически активных веществ (например, сахара). Между двумя скрещенными поляроидами помещают цилиндрический сосуд с раствором, в котором растворено оптически активное вещество (рис.7.7,в). За счет вращения плоскости поляризации падающего излучения на экране будет наблюдаться пятно определенной интенсивности. Проводя на экране сравнение этой интенсивности с известными заранее эталонными значениями освещенности при определенных концентрациях оптически активного вещества в растворе, можно найти его неизвестную концентрацию.

7.2.Интерференция света

7.2.1.Условия максимального усиления и ослабления света

при интерференции

Если специально не оговорено, здесь будет рассматриваться случай сложения двух линейноG поляризованных волн с одинаковым направлением колебаний вектора E .

Условия максимального усиления и ослабления света при интерференции таких волн были записаны в параграфе 6.1.5, для разности фаз ∆ϕ и для геометрической разности хода ∆ складываемых волн. Эти условия (6.24) и (6.25) сохраняются и здесь, но теперь они записываются для оптической разности хода, под которой понимают разность оптических путей двух

складываемых волн

	∆ = (A2 − A1 ) ,	A=nr, ∆ϕ = −	2π	∆ + (ϕ02 − ϕ01 ) , ∆ = (r2 − r1 ) ,	(7.8)
			λ

а под оптическим путем A понимают произведение геометрического пути r на абсолютный показатель преломления n среды, в которой распространяется ЭМВ.

Введение оптического пути связано с тем, что в формулах обычно используют длинуλо ЭМВ в вакууме, равную λо = λn .

14

Итак, условия максимального и минимального усиления света при интерференции излучения для случая, когдаϕ0` = ϕ02 , запишутся таким образом:

Условие интерференционных максимумов

∆ϕ= −	2π	∆ ,	∆ = ±	λo	2m, m =0,1,2,... A = A1 + A2 ,	(7.9)
				2
	λ0

т.е. разность фаз колебаний равна четному числу π или на оптической разности хода укладывается четное число полуволн.

Условие интерференционных минимумов

	∆ϕ= −	2π	∆ ,	∆ = ±	λo	(2m +1), nm =0,1,2,... A =		А1 − А2		,	(7.10)
					2
		λ0

т.е., разность фаз колебаний равна нечетному числу π или на оптической разности хода укладывается нечетное число полуволн.

Входящее в эти формулы число m, как уже отмечалось ранее, называют порядком интерференционного максимума или интерференционного минимума.

7.2.2. Способы получения когерентных волн

Рассмотрим различные способы получения картины интерференции (когерентных волн) от естественных источников света. Как уже отмечалось в § 7.1.1, излучение естественного источника света представляет собой совокупность огромного набора цугов волн, испущенных различными атомами, что приводит к немонохроматичности такого излучения. Поэтому из формулы (6.25) для разности фаз∆ϕ, возникающей при сложении цугов волн от двух естественных источников света

∆ϕ = (ω2 −ω1 )t −(k2 r2 −k1r1 ) +(ϕ02 −ϕ01 ) ,

следует, что cos ∆ϕ за счет первого слагаемого (ω2 −ω1 )t в разности фаз ∆ϕ усредняется до нуля ( cos ∆ϕ =0 ). Это приводит к отсутствию интерференции

I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos ∆ϕ = I1 + I 2 .

Следовательно, получить когерентные волны от двух естественных источников света нельзя.

Если даже предположить, что частоты естественных источников излучения будут одинаковыми (обращается в ноль первое слагаемое в разности фаз ∆ϕ),

то и в этом случае нельзя будет получить картины интерференции. Это связано с тем, что за время наблюдения складывается огромное число цугов волн, начальные фазы которых являются случайными величинами, и поэтому усреднение за время наблюдения третьего слагаемого (ϕ02 −ϕ01 ) в разности фаз

∆ϕ приведет к тому, что cos ∆ϕ будет равным нулю ( cos ∆ϕ =0 ) и интерференции не будет.

От одного естественного источника можно получить картину интерференции, если заставить цуг волны интерферировать сам с собой. Для этого необходимо разбить его на отдельные части (например, 1 и 2 на рис.7.8,а), заставить их пройти разные оптические пути и затем сложить их.

15

В этом случае в выражении для разности фаз ∆ϕ первое и последнее слагаемые будут отсутствовать

∆ϕ = −(k2r2 −k1r1 ) = − 2λπ ∆ = const .

0

Вполне понятно, что картина интерференции получится только тогда, когда отдельные части цуга волны встретятся, т.е. когда оптическая разность хода между ними будет не больше длины самого цуга волны: ∆ ≤ Aц .

Рис.7.8

Применяя различные преломляющие тела, зеркала, щели и т.д. можно разделить цуг волны на отдельные части, создать между ними оптическую разность хода и таким образом получить когерентные волны и картину интерференции. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Бипризма Френеля. Источник S монохроматического света помещают напротив центра бипризмы, у которой угол при вершине близок к 1800 (рис.7.8,б). Волна, излучаемая источником, делится бипризмой на две части. Их можно рассматривать как волны, испущенные двумя мнимыми когерентными источниками S1 и S2 . При наложении этих волн на экране наблюдается картина интерференции – светлые (окрашенные в один цвет) и темные полосы.

Пример 2. Зеркало Ллойда. Узкая щель S излучает монохроматическую волну (рис.7.8,в). Одна часть этой волны падает непосредственно на экран, а другая попадает на экран после отражения от зеркала. На экране наблюдается картина интерференции двух когерентных волн, испущенных источником S и мнимым источником S’.

7.2.3. Опыт Юнга

Рассмотрим расчет картины интерференции на примере опыта Юнга. Схема опыта приведена на рис.7.9,а. Длинная узкая щель А испускает монохроматическую волну (λ=const), которая падает на преграду с двумя щелями A1 и A2 , расстояние между которыми равно d. Эти две щели излучают когерентные волны, они падают на экран, который отстоит на расстоянии L от преграды, причем L>>d (рис.7.9,а). Среда – вакуум (n=1).

16

Рис.7.9

Необходимо рассчитать интерференционную картину на экране, т.е. найти, в каких точках экрана наблюдаются максимумы и в каких точках – минимумы интерференционной картины. Для этого возьмем произвольную точку М с координатой х и найдем выражение для оптической разности хода ∆ лучей, приходящих в эту точку от двух щелей (рис.7.9,а):

	∆ = A2 − A1 , A22 − A12 = (A2 − A1 )(A2 + A1 ) ≈ 2L∆,
				d			d
A22 − A12	= A2 M 2 − A1M 2 = (BM 2 + L2 ) − (CM 2 + L2 ) = ((x +				)2	+ L2 ) − ((x −		)2 + L2 ) = 2dx ,
				2			2
	∆ = x	d	.				(7.11)
		L

Найдем координаты точек на экране, в которых наблюдаются светлые (окрашенные в один цвет) и темные полосы. Для этого используем формулы

(7.9), (7.10) и (7.11):

Максимумы: ∆ = x

d

= ±

λo

2m , xmax = ±

Lλ0

m,

m = 0,1,2,...

(7.12,а)

L

2

d

Минимумы:

∆ = x

d

= ±

λo

(2m +1) xmin = ±

Lλ0

(m +

1

), m = 0,1,2,...(7.12,б)

L

2

2

d

На рис. 7.9,б приведена картина интерференции (зависимость интенсивности I результирующей волны от координаты х), наблюдаемая на экране. Если интенсивности волн от двух щелей одинаковы ( I1 = I2 = I0 ), то тогда из формулы

(6.28) следует, что в максимумах результирующая интенсивность будет равна

I max = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ∆ϕ = I0 + I0 + 2 I0 I0 = 4I0 ,

т.е. в четыре раза превышает интенсивность волны от одной щели.

Видно, что в центре картины располагается максимум, расстояние между соседними максимумами и соседними минимумами одинаково и равно

∆x = ∆xmax = ∆xmin = Lλ0 d .

(7.13)

Для монохроматического света можно наблюдать достаточно большое количество четко различимых темных и светлых полос.

17

7.2.4. Когерентность. Пространственная и временная когерентность

Под когерентностью понимают согласованное протекание во времени колебательных и волновых процессов. Под временной когерентностью понимают источник ухудшения картины интерференции, связанный с разбросом по частотам ∆ω в данном излучении.

Любая волна частоты ω0 , излучаемая за конечный промежуток времени τ не

является монохроматичной. Она представляет собой волновой пакет (см. §6.1.6). Волновой пакет в каждый момент времени занимает ограниченную область пространства и содержит все волны с частотами, заключенными в интервале от ( ω0 − ∆ω/ 2 ) до ( ω0 + ∆ω/ 2 ). При разделении волнового пакета на

две части между составляющими его волнами за счет различия их частот, с течением времени накапливаются случайные изменения разности фаз ∆ϕ колебаний (см. формулу (6.25): ∆ϕ= (ω2 − ω1 )t = ∆ωt ). Это приводит к ухудшению картины интерференции, получаемой за счет разделения волнового пакета на составляющие его волны и затем их сложения.

Вводят следующие понятия.

1.Время когерентности τКОГ - это время, за которое случайные изменения разности фаз ∆ϕ колебаний для волн с частотами ( ω0 − ∆ω/ 2 ) и ( ω0 + ∆ω/ 2 )

достигает значения, равного 2π . За это время две части волнового пакета “забывают” свою первоначальную фазу и становятся некогерентными.

Если взять время t ≤ τКОГ , то тогда еще можно делением исходной волны на

части получить картину интерференции, она с течением времени будет ухудшаться и для времени t > τКОГ картина интерференции исчезает.

2. Длина когерентности AКОГ - расстояние, которое проходит волна за время

когерентности. Если оптическая разность ∆ волн, полученных делением исходной волны на две части, будет меньше длины когерентности ∆ ≤ AКОГ , то

они при наложении дают картину интерференции. В случае ∆ > AКОГ картины

интерференции не будет. Отождествляя время когерентности τКОГ

со временем

излучения τ волны ( τКОГ = τ) на основе выражения (7.1) можно записать

τКОГ ≈

2π

=

λ20

, AКОГ = cτКОГ =

2πс

=

λ20

(7.14)

∆λ

c

∆λ

∆ω

∆ω

где учтено, что ω = 2πc / λ0 и ∆ω= −2πc ∆λ / λ20 .

Эти соотношения позволяют оценить максимальное число наблюдаемых на картине интерференции интерференционных полос от данного вида излучения

∆ ≤ AКОГ	∆max = mmax λ ≤ AКОГ mmax ≈		λ0		=	ω	=	ν	.	(7.15)
			∆λ			∆ω
								∆ν

Из формул (7.14) следует, что чем меньше разброс по частотам (↓ ∆ω) в данной волне, тем больше степень ее монохроматичности (↑ ω/ ∆ω), больше время когерентности τКОГ и длина когерентностиAКОГ , т.е. лучше получаемая от

18

этой волны картина интерференции (больше наблюдается интерференционных полос).

Приведем ряд примеров оценки

параметров τКОГ ,

AКОГ ,

∆ω и mmax для

различных излучений. В качестве λ0

в формулах возьмем длину волны зеленого

цвета: λ0 =550 нм =5,5 10−7 м.

1.

Белый свет:

∆λ

≈ 400 нм,

∆ω≈ 3 1015 рад/с,

τКОГ ≈ 2,5 10−15

c , AКОГ ≈ 8 10−7 м,

mmax ≈1;

2.

Светофильтр:

полоса

пропускаемых

длин

волн

∆λ

≈1 10 нм,

∆ω ≈ 6 1013 рад/с , τКОГ

≈1 10−13

c , AКОГ ≈3 10−5 м = 0,03 мм,

mmax ≈55 ;

3. Испускаемый атомом цуг волны (идеальный случай):

τКОГ = τ ≈1 10−8 c ,

∆ω ≈ 6 108 рад/с,

∆λ

≈ 0,0001 нм, AКОГ ≈ cτ =3 м,

mmax ≈ 5,5 106

Вторым источником ухудшения картины интерференции является

пространственная когерентность. Это источник ухудшения картины интерференции, связанный с расходимостью светового пучка и с конечными размерами источника излучения. Если временная когерентность связана с разбросом по частотам в данном излучении, т.е. с разбросом по модулям волновых векторов ( ∆k = ∆ω/ с), то пространственная когерентность связана с разбросом по направлениям волновых векторов ( ∆k ) в данном излучении.

Вводится понятие длины пространственной когерентности или радиуса когерентности ρКОГ - это минимальное расстояние между точками волновой

поверхности, на котором вторичные волны, испускаемые этими точками, будут некогерентными. Если расстояние A между точками будет меньше ρКОГ

( A ≤ ρКОГ ), то при наложении вторичных волн, испущенных этими точками фронта волны, будет наблюдаться картина интерференции, если же A > ρКОГ , то

тогда эти вторичные волны будут некогерентными и картина интерференции на экране не возникает.

Рассмотрим, как сказывается пространственная когерентность на интерференционную картину на примере опыта Юнга. Пусть источник излучения будет протяженным (его крайние точки это точки А и А’), его можно представить состоящим из нескольких узких щелей, расположенных вдоль оси Ох (рис.7.10, а). Каждая узкая щель излучает волны независимо от других щелей, и поэтому на экране будет наблюдаться результат сложения картин интерференции от каждой узкой щели источника излучения. Центр картин будет расположен в разных точках экрана: от точки O до точки O′ (они соответствуют излучению крайних щелей А и А’ источника), что приводит к ухудшению результирующей картины.

Для примера, на рис.7.10,б пунктирной линией показана результирующая интенсивностьIP от расположенных на отрезке АА’ шести одинаковых узких щелей протяженного источника излучения, деленная на шесть ( I P = I0 / 6 ).

19

Видно, что разница между максимальными и минимальными значениями интенсивности света уменьшается, картина становится менее резкой.

Рис.7.10

При расстоянии δx	между точками O и	O	, превышающем расстояние ∆x /2
		′
( ∆x – расстояние	между соседними	максимумами или минимумами

интерференционной картины от одной узкой щели источника), интерференционная картина от протяженного источника полностью исчезает.

Это позволяет оценить длину пространственной когерентности для источника излучения при наблюдении от него картины интерференции.

Будем считать, что две щели A1 и A2 находятся на волновой поверхности результирующей волны, испущенной протяженным источником излучения АА’. Тогда, учитывая формулу (7.13) и рис 7.10,а, можно записать

δx = Lsin	ϕ	≈ L	ϕ	≤	∆x	=	Lλ0	ρКОГ = d <	λ0	.	(7.16)
	2		2		2		2d
									ϕ

При наблюдении картины интерференции от Солнца (его угловые размеры составляют ϕ = 0,01 рад ) для длины волны зеленого цвета ( λ0 = 550 нм) получим

ρКОГ = d < λϕ0 = 5,50,0110−7 = 0,055 мм.

Такое расстояние между щелями A1 и A2 во время постановки эксперимента

Юнгу сделать не удалось. Но картина интерференции была получена пропусканием солнечного света через узкую щель (щель A , рис.7.9,а), угловые размеры которой были существенно меньше угловых размеров Солнца. Это привело к уменьшению угла ϕ в формуле (7.16) и к возможности наблюдения картины интерференции при значительно большем расстоянии d между щелями

(рис.7.9,а и рис. 7.10,а).

Можно сделать вывод, что условия по временной и пространственной когерентности накладывают существенные ограничения на наблюдение картины интерференции от естественных источников света, на способы получения когерентных волн. Чем выше степень временной (т.е. чем меньше разброс по частотам ∆ω) и пространственной (т.е. чем больше длина пространственной когерентности ρКОГ ) когерентностей данного излучения, тем

более четкой получается картина интерференции на экране.

20