Оптика

Минимальное расстояние по длинам волн двух спектральных линий, при котором они еще видны раздельно, определяется критерием Релея. Согласно этому критерию, две спектральные линии еще видны раздельно, если минимум одной из них приходится на максимум другой. На рис.7.20,б этот случай соответствует значению R2 , при этом на результирующей интенсивности света будет наблюдаться провал, составляющий 25% от максимального значения. В соответствии с формулами (7.32) и (7.33) для главного максимума порядка m для длины волны ( λ0 + δλ) и первого минимума для длины волны λ0 можно

записать

	d sin ϕmax = m(λ0 + δλ) , d sin ϕmin = (m +1 N) λ0 , ϕmax = ϕmin
	R =	λ0	= mN = mA/ d ,	(7.39)
		δλ

т.е. разрешающая способность дифракционной решетки определяется числом щелей, участвующих в создании картины дифракции ( A - ширина используемой рабочей части решетки, d - период решетки).

При увеличении этого числа происходит более резкое перераспределение интенсивности света в пространстве, спектральные линии становятся уже и возможно их более четкое наблюдение при одном и том же угловом расстоянии между ними (на рис.7.20,б, решетки имеют одинаковые периоды d , т.е. для них будет одинакова угловая дисперсия D : D1 = D2 ).

7.3.6. Дифракция рентгеновских лучей. Условие БрэггаВульфа

Рентгеновские лучи представляют собой ЭМВ с длиной волны λ0 ~1·10−10 м.

Как уже отмечалось ранее, для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы размеры препятствий были сопоставимы с длиной волны падающего излучения. Это требует изготовления дифракционных решеток с постоянной d решетки такого же порядка. Искусственное изготовление таких решеток нанесением алмазным острием (или лучом лазера) штрихов на поверхности стеклянной пластинки невозможно.

Но в природе уже существуют такие дифракционные решетки – это кристаллы. В кристаллах атомы располагаются упорядоченно в узлах кристаллической решетки. Атом кристалла, как и щель дифракционной решетки, излучает ЭМВ под действием падающей волны. Поэтому цепочка атомов является аналогом одномерной дифракционной решетки, а упакованная атомами плоскость и сам кристалл можно рассматривать как двухмерную и трехмерную дифракционные решетки.

Картину дифракции рентгеновских лучей можно наблюдать или в проходящем кристалле, или в отраженном кристаллом излучении.

Рассмотрим дифракцию рентгеновского излучения при отражении от кристалла. Пусть на кристалл падает под углом θ к плоскости кристалла (он называется углом скольжения) рентгеновское излучение длины волныλ0

(рис.7.21,а). Под действием падающего излучения атомы кристалла создают отраженное излучение. Лучи 1 и 2 являются когерентными. На линии ОА

41

оптическая разность хода этих лучей была равна нулю. После линии ОС она не изменяется, поэтому для лучей 1 и 2 она будет равна

∆= (АО+ОС) = 2d sinθ .

Всоответствии с формулой (7.9) запишем условие максимального усиления когерентных волн при дифракции рентгеновских лучей (оно получило название

условия Брэга-Вульфа)

2d sinθ = mλ0 , m = 0, 1, 2, 3, ...

(7.40)

Рис.7. 21

Дифракционную картину фиксируют следующим образом. Источник рентгеновского излучения посылает рентгеновские лучи на поверхность кристалла под углом скольжения θ, приемник регистрирует интенсивность отраженного под углом θ рентгеновского излучения (рис.7.21,б). Непрерывно изменяя (сканируя) угол скольжения θ, строится график зависимости интенсивности I отраженного излучения от угла скольжения θ (рис.7.21,в).

На этом графике (он получил название рентгенограммы) углы θ1 , θ2 , θ3 ,

определяют положение максимумов дифракционной картины. Рентгенограмма позволяет по известным углам θ1 , θ2 , θ3 с использованием условия Брега-

Вульфа (7.40) решать две основные задачи: 1) по известным значениям периода кристаллической решетки определять длину волны падающего рентгеновского излучения (рентгеновская спектроскопия); 2) по известной длине волны падающего рентгеновского излучения определять структуру кристаллов

(рентгеноструктурный анализ).

7.3.7. Голография

Слово “голография” переводится с латинского языка как полная запись. Это означает, что при записи голограмм фиксируют не только амплитудные, но также и фазовые соотношения интерферирующих волн. Основные закономерности этого явления были предсказаны Д. Габором в 1947 г., но из-за отсутствия в то время когерентных источников с высокими характеристиками по временной и пространственной когерентности, это явление не было экспериментально подтверждено. Только с открытием лазеров началось широкое применение голографии в научных исследованиях и в промышленности.

42

Рассмотрим схему записи и наблюдения плоской голограммы (толщина фотоэмульсионного слоя сопоставима с длиной волны падающего излучения).

Луч лазера падает на полупрозрачное зеркало, которое пропускает 50% падающего на него излучения. При этом формируются опорный и предметный лучи (рис.7.22,а). Предметный луч освещает предмет, отраженные от разных участков его поверхности лучи доходят до голограммы. Она представляет собой стеклянную пластинку, на которой нанесен тонкий фотоэмульсионный слой. Здесь встречаются опорный и предметный лучи, на голограмме записывается картина их интерференции.

Рис.7. 22

Если посмотреть на голограмму, то она представляет собой чередование светлых и темных полос, никакого предмета таким образом наблюдать нельзя. Для наблюдения необходимо взять луч лазера и под тем же углом падения осветить голограмму (рис.7.22,б). При этом из луча лазера, рассеянного на максимумах и минимумах дифракционной картины, формируются два пучка света: 1) сходящийся пучок света, с помощью него можно наблюдать действительное изображение предмета, но оно будет зеркальным и его не используют; 2) расходящийся пучок света - если смотреть против хода лучей сквозь голограмму, как через окно, можно наблюдать мнимое изображение, его и применяют для наблюдения голограмм.

Рассмотрим кратко достоинства голограмм перед обычной фотографией.

1.Надежность хранения информации. Информация о предмете записана на всех участках голограммы, так как все освещенные предметным лучом точки поверхности предмета из-за ее шероховатости посылают лучи на все точки голограммы. Поэтому, если взять не всю голограмму, а только ее часть, то можно также получить изображение всего предмета, но оно будет менее четким, чем при наблюдении от всей голограммы. В этом отношении голограмма существенно отличается от обычной фотографии, где утеря какойто ее части приводит к полной потере записанной там информации.

2.Большой объем записываемой информации. Оказывается, что на одной голограмме размером (10× 10) см при условии уверенного считывания можно записать один том Большой Советской Энциклопедии. Для этого записывают

43

на голограмму отдельные страницы, изменяя с небольшим шагом угол падения опорного луча.

3.Изображение предмета получается объемным, т.е. при изменении угла наблюдения голограммы можно видеть те части предмета, которые не были видны при первоначальном наблюдении.

4.Цветные голограммы можно получить, используя как тонкослойные, так и толстослойные (объемные) голограммы (они состоят из набора плоскостей тонкослойных фотоэмульсий) и излучения нескольких лазеров с разной длиной волны, соответствующих разным цветам (например, красному, зеленому и синему).

Для наблюдения объемных цветных голограмм излучения лазеров трех цветов не нужно, так как сама голограмма за счет явления дифракции падающего белого света на наборе плоскостей тонкослойных фотоэмульсий выбирает необходимое для ее наблюдения излучение. На основе объемных цветных фотографий возможно создание голографического кино и телевидения.

5.Голографическая интерферометрия. Голограмма фиксирует предмет с очень большой точностью, что позволяет изучать с большой точностью явления, которые влияют на голограмму, например, деформации, колебания, распределение температур и напряжений в теле и т.д.

7.3.8. Основные характеристики спектральных приборов. Дифракционные решетки. Интерферометр Фабри – Перо.

Фурье-оптика

1. Основные характеристики спектральных приборов. Под спектральным прибором понимают любой прибор, позволяющий исследовать спектр частот (или длин волн) падающего на него излучения. Картины интерференции и дифракции, получаемые от интерферометров и дифракционных решеток, зависят от длины волны, следовательно,

интерферометры и дифракционные решетки являются спектральными приборами.

Основными характеристиками любого спектрального прибора являются

угловая дисперсия D, разрешающая способность R и область дисперсии

∆λ. Первые две были рассмотрены в параграфе 7.3.6.

Под областью дисперсии ∆λ понимают ширину спектрального интервала, при котором еще нет перекрытия соседних спектров. Это возможно в том случае, когда длинноволновая граница спектра порядка m совпадает с

коротковолновой	границей	спектра	порядка	(m +1) :
m(λ0 + ∆λ) = (m +1)λ0 ∆λ = λ0 / m .

2. Дифракционные решетки. Согласно формуле (7.39) разрешающая способность R прибора зависит от числа N складываемых когерентных волн и от наблюдаемого порядка m спектра. Для дифракционных решеток можно увеличить R, взяв достаточно большое число щелей (N может доходить до ~200 000) при малом порядке m спектра.

44

Относительно угловой дисперсии можно отметить следующее. Для инфракрасной области спектра изготавливают дифракционные решетки, на один миллиметр длины которых приходится несколько штрихов

( d ≈1 мм/ 5 = 2 105 нм D =1 m cos ϕ ( ″/ нм) ),				для	видимого		диапазона
излучения	(600–1200)	штрихов	на		1мм	( d ≈ (1670 −833) нм

D = (123 −248) mcosϕ ( ″/ нм) ), а для ультрафиолетовой части спектра порядка 3600 штрихов на 1 мм ( d ≈1 мм/ 3600 = 278 нм ) D = 742 mcos ϕ ( ″/ нм)

d ≈1 мм/ 5 = 2 105 нм.

Малые значения m , которые используются в дифракционных решетках, позволяют исследовать спектры в достаточно большом интервале длин волн, т.е. для них характерны большие значения области дисперсии ∆λ. Для оптического диапазона используют спектры до третьего порядка m =1, 2, 3 , что

для длины волны зеленого цвета λ0 ≈ 550 нм дает ∆λ ≈ 200 нм.

3. Интерферометры. Интерферометр Фабри – Перо. По числу складываемых когерентных волн можно выделить многолучевые интерферометры и интерферометры, для которых число интерферирующих лучей будет небольшим (например, двухлучевой интерферометр Майкельсона). Для интерферометров, для увеличения R берут для исследований спектры большого порядка m .

В многолучевом интерферометре Фабри – Перо порядок спектра достигает значений m ~106 и более. Это приводит к высокой разрешающей способности R

и	малой	области	дисперсии	(например,	для	зеленого	цвета
∆λ ≈ λ0 / m = 550		нм/106	= 5,5 10−4 нм ).

Рассмотрим кратко принцип работы интерферометра Фабри – Перо. Он представляет собой прибор, состоящий из двух стеклянных или кварцевых пластин, разделенных воздушным промежутком (рис.7.23,а). Пластины покрыты отражающим слоем и строго параллельны друг другу. Луч, вошедший в зазор между пластинами, многократно отражается от них, образуется пучок параллельных лучей, которые собираются линзой в одной точке в фокальной плоскости линзы. Амплитуды колебаний этих лучей уменьшаются в геометрической прогрессии в соответствии с коэффициентом отражения ρ –

A1 : A2 : A3 : ... =1 : ρ : ρ2 : ... . За счет сложения большого числа когерентных волн

картина интерференции будет представлять собой не чередование светлых и темных полос одинаковой толщины, а яркие узкие линии, разделенные большими темными промежутками. Это позволяет улучшить разрешающую способность R интерферометра ( R = mN ).

При падении на прибор расходящегося пучка света на экране возникают полосы равного наклона, имеющие вид резких колец.

Разность хода ∆ двух соседних интерферирующих лучей можно найти, используя рис.7.23,б:

∆ = ( АВ + ВС) − АД = 2Acos ϕ,

откуда получается условие наблюдения главных максимумов

45

2Acos ϕ = mλ0 m = 0, 1, 2, 3,...

(7.41)

Из формулы (7.40) следует, что порядок интерференции растет с уменьшением диаметра кольца. Центральное пятно ( ϕ = 0 ) соответствует максимальному порядку интерференции mmax = 2A/ λ0 , первому светлому кольцу соответствует ( mmax −1) и т.д.

При расстоянии A	между пластинами порядка (1 100) мм для длины волны
зеленого цвета ( λ0	= 550 нм ) получим mmax ≈ (4000 −400 000) и разрешающую

способность R порядка 1 106 и более.

Рис.7. 23

Интерферометр Фабри – Перо является примером спектрального прибора высокой разрешающей способности. Специальные сканирующие интерферометры Фабри – Перо с фотоэлектрической регистрацией используются для исследования спектров в видимой, инфракрасной в сантиметровой области длин волн.

4. Разрешающая способность объектива. Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на круглом отверстии (рис.7.23, в). На непрозрачный экран с круглым отверстием падает плоская монохроматическая волна. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. В центре картины будет светлое пятно, окруженное светлыми и темными кольцами. Можно показать, что первое темное кольцо наблюдается под углом, удовлетворяющим условию

	ϕМИН	=1,22	λ0	,	(7.42)
			D
	где учтено, что обычно диаметр D отверстия				значительно больше длины

волны λ0 падающего излучения ( D >> λ0 ). Большая часть падающего светового

потока приходится на центральное светлое пятно. Поэтому в первом приближении дифракционную картину можно считать состоящей из одного светлого пятна, т.е. его можно рассматривать как изображение удаленного точечного источника света (это связано с тем, что на отверстие падает плоская волна).

Как видно из формулы (7.41) дифракционная картина не зависит от расстояния между отверстием и линзой. Поэтому линзу можно поместить прямо в отверстии. Отсюда можно сделать такой вывод: вследствие волновой

46

природы света изображение точки, даваемое линзой, имеет вид светлого пятна, как результат дифракции света на оправе линзы.

Разрешающую способность R объектива (линзы) можно определить по критерию Релея: два точечных источника можно видеть раздельно, если центр пятна одного из них совпадает с первым минимумом дифракционной картины другого источника (см. рис.7.20,б). Поэтому разрешающую способность объектива можно связать с углом ϕmin и записать

R =	1	=		D	.	(7.43)
	ϕmin		1,22λ0
Из формулы (7.43) следует,	что		чем больше будет диаметр			объектива

(линзы), тем больше будет его разрешающая способность. Если взять диаметр

зрачка	глаза	равным значению D = 2 мм, то	тогда	для зеленого
цветаλ0	= 550	нм можно получить, что ϕmin = 3,36 10−4	рад ≈1′ ,	R = 3000.

5. Фурье-оптика. В геометрической оптике основным понятием является световой луч и выясняется вопрос о влиянии разных параметров задачи на направление его распространения. В Фурье–оптике основным понятием

является волна и рассматривается влияние различных факторов на волновой фронт, фазу и амплитуду волны. Такой подход является наиболее общим, чем в геометрической оптике, поскольку, зная поведение волновых фронтов, можно выяснить не только поведение лучей, но и изменение амплитуды излучения. Основная идея такого подхода состоит в том, что объект рассматривается как источник вторичных волн, дифракционная картина от которого описывается методами дифракции.

Подход, применяемый в Фурье-оптике, позволяет предложить разнообразные методики улучшения картины изображения, например, такие, как метод темного поля, метод фазового контраста и пространственная фильтрация изображения.

Метод темного поля. Если допустимо уменьшение яркости изображения, то разрешающую способность объектива можно увеличить без увеличения его диаметра, за счет соответствующей фазово-амплитудной модуляции падающего на объектив света, а именно– специальным подбором распределения амплитуд и фаз излучения в плоскости объектива можно уменьшить радиус центрального дифракционного максимума.

Можно показать, что в видимом диапазоне излучения можно наблюдать детали линейных размеров (0,15 – 0,3) мкм. Более мелкие детали в видимом диапазоне наблюдать нельзя. Но можно обнаружить наличие таких деталей, частиц с помощью метода темного поля. Для этого освещают такие частицы белым светом, который не попадает в глаз наблюдателя. В глаз наблюдателя, смотрящего в микроскоп, попадают дифрагированные частицей лучи, и они фиксируются в виде светящихся точек, форма которых не имеет ничего общего с формой частицы.

Метод фазoвого контраста. Он позволяет наблюдать тонкие прозрачные объекты, слабо поглощающие свет и не создающие сколько-нибудь заметной модуляции (изменения) проходящего их света. Для этого рассматривают

47

дифракционную картину, полученную дифракцией двух волн – волны, прошедшей мимо предмета, и волны, прошедшей предмет (эта волна изменяет амплитуду и фазу при прохождении предмета). Полученная дифракционная картина и представляет собой изображение предмета.

Пространственная фильтрация изображений. Она состоит в том, что вносятся изменения в изображение предмета посредством модификации дифракционной картины предмета в фокальной плоскости линзы, из которой в последующем и формируется изображение. Основная задача - создание фильтра, который нужным образом изменяет проходящую через него волну.

Отметим, что рассмотренный выше метод голографии также относится к применениям Фурье-оптики.

7.4. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом

Качественное понимание многих явлений взаимодействия электромагнитного излучения с веществом возможно в рамках классической электронной теории. Согласно этой теории внутри атомов находятся электроны, которые могут совершать затухающие колебания около своих положений равновесия. Для каждого атома существуют собственные частоты ω0K колебаний электронов (они в квантовой теории соответствуют переходам

электронов между разрешенными уровнями энергии). В области видимого и ультрафиолетового излучения основной вклад во взаимодействие с излучением дают электроны, слабо связанные с атомами.

7.4.1. Поглощение света

Под поглощением света понимают процесс уменьшения интенсивности, проходящей вещество ЭМВ, связанный с переходом энергии волны во внутреннюю энергию вещества (вещество нагревается, ионизируются и возбуждаются атомы и молекулы и т.д.).

Световая волна в веществе возбуждает вынужденные колебания электронов внутри атомов. Эти вынужденные колебания приводят к возникновению вторичных волн, которые частично возвращают обратно энергию первичному излучению, а часть энергии превращается во внутреннюю энергию вещества.

Поглощающие свойства вещества будут зависеть от частоты (длины волны) движущегося в веществе света. Действительно, наибольшая энергия затрачивается волной на раскачку электронов при совпадении частоты ω падающей волны с собственными частотами колебаний электронов в атомах ( ω= ω0K ), В этих случаях амплитуда колебаний электронов будет

максимальной, максимальным будет и поглощение света.

Найдем зависимость интенсивностиI проходящей вещество волны от расстояния x . Для описания этой зависимости введем понятие коэффициента поглощения α.

48

Пусть плоская световая волна интенсивности I падает нормально на поверхность пластинки толщиной dx (рис.7.24,а). На выходе из нее за счет поглощения интенсивность света уменьшится и станет равной ( I − dI ). Причем величина dI будет пропорциональной I , dx и поэтому можно записать следующее равенство

dI = −αIdx .
Интегрируя это выражение, получим закон Бугера - Ламберта
I = I0e−αx .	(7.44)

Согласно этому закону, интенсивность света при его движении в однородном веществе уменьшается с расстоянием по экспоненциальному закону.

Из формулы (7.44) следует, что коэффициент поглощения α– вещества можно численно определить как толщину слоя, при прохождении которого интенсивность падающего света уменьшается в е (е- основание натурального логарифма)

α =1/ x I = I0 / e .

(7.45)

Рассмотрим зависимость коэффициента поглощения α различных веществ от длины волны (угловой частоты ω) света.

1. Разреженные газы, пары металлов при невысоком давлении.

Наблюдаются линейчатые спектры поглощения света (рис.7.24,б). Для всех λ коэффициент поглощения практически равен нулю ( α ≈ 0 ) и только для узких линий малой толщины ( δλ ≈ 0,001 нм, δω≈1010 рад/с) он будет отличен от нуля.

Частоты этих линий соответствуют	собственным частотам колебаний
электронов в атоме.

Рис.7.24

2.Разреженные газы с многоатомными молекулами. Спектры поглощения представляют собой набор полос поглощения (систем близко расположенных линий), они обусловлены строением молекул, колебательными и вращательными движениями атомов внутри молекулы. Это приводит к дополнительным резонансным частотам колебаний электронов в молекулах

(рис.7.24,в).

3.Жидкие и твердые диэлектрики характеризуются широкими полосами поглощения, связанными с сильным взаимодействием между молекулами и атомами, что приводит к появлению дополнительных резонансных частот поглощения (рис.7.24,г).

49

4. Металлы в жидком и твердом состоянии. Наличие большого количества свободных электронов приводит к большим коэффициентам отражения падающего излучения. За счет возникновения токов проводимости вблизи поверхности металла преломленная волна быстро поглощается металлом.

В видимой области спектра большую роль начинают играть не свободные электроны, а электроны, находящиеся в ионах металла. Поэтому здесь возможны эффекты, при которых световое излучение может проходить через тонкие пленки металлов.

7.4.2. Дисперсия света

Как уже отмечалось в параграфе зависимостью фазовой скорости ЭМВ оптике эта зависимость сводится к вещества от длины волны (частоты)

6.1.6, дисперсия света связана с от ее частоты или длины волны. В зависимости показателя преломления

υ = υ(ω) , υ = c / n n = n(ω) , n = n(λ0 ) .

Наглядно явление дисперсии света можно наблюдать при прохождении светом призмы из прозрачного материала. При этом разные длины волн видимого диапазона излучения имеют разный показатель преломления n = n(ω) , что приводит к разложению белого света в спектр (рис.7.25,а).

Рис.7.25

В изотропных немагнитных средах: n = ε ε = ε(ω) , т. е. для теоретического описания дисперсии света, необходимо найти зависимость диэлектрической проницаемости εсреды от λ или ω.

Рассмотрим, как это можно сделать в рамках классической электронной теории. Для этого запишем формулы, известные из раздела “Электростатика”

(§ 2.4 и § 2.12.3):

ε =1+ χ ,

P

= χε

0

E

X

= n p

X

= n (−qx) ε =1 −

n0 qx

E

X

= E

m

cos ωt .

(7.46)

X

0

0

ε0 EX

В этих

формулах

χ–диэлектрическая

восприимчивость; PX –проекция

вектора поляризации P на направление колебаний вектора E напряженности электрического поля падающей ЭМВ (направление оси Ох); n0 – концентрация

молекул; pX – проекция дипольного момента молекулы на направление оси Ох

50