5 ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

5.1 Постановка задачи

5.1.1 Задача оптимального управления

Результаты пп.5.1.1–5.1.8 получены Н.Н.Субботиной [1]. Рассмотрим нелинейную динамическую управляемую систему

	( )		= ( , , ),	(5.1)

на фиксированном отрезке времени [0, ], фазовый вектор системы R , на управление наложены геометрические ограничения , R — компакт.

Символами Π и cl Π будем обозначать полосы в пространстве R +1:

Π = (0, ) × R ,	cl Π = [0, ] × R .
Поставим задачу оптимального	управления динамической системой-

мой (5.1). Символом ( 0, ), 0 [0, ], обозначается множество всех допустимых управлений. В качестве допустимых управлений будем рассматривать измеримые функции (·) : [ 0, ] → , называемые программами.

Пусть задано начальное состояние системы ( 0) = 0, ( 0, 0) cl Π . Обо­ значим траекторию движения динамической системы (5.1), выходящую из началь­ ной точки ( 0, 0) под воздействием управления (·) ( 0, ) символом

(·) = (·; 0, 0, (·)) : [ 0, ] →R .

Качество управления (·) оценивается с помощью функционала Больца

Z

( )

( ) ( ) ( )

0, 0; (·) = ; 0, 0, (·) + , ( ), ( ) , (5.2)

0

состоящего из терминальной функции платы (·) и интегранта (·).

10

Определим оптимальный программный результат (цену) ( 0, 0) для произ­ вольной начальной точки ( 0, 0) cl Π следующим соотношением:

	( 0	0) = (·) ( 0, )	(	0	,	0;		(·))	(5.3)
	,	inf						.
Определение 1. Функцией цены называется отображение
: ( 0, 0) → ( 0, 0): cl Π → R.									(5.4)

5.1.2 Предположения

Предполагается, что входные данные задачи (5.1)–(5.2) удовлетворяют сле­ дующим условиям.

1. Функции ( , , ) и ( , , ) в (5.1), (5.2) определены и непрерывны на

cl Π × вместе со своими частными производными ∂ , ∂ , ∂ , ∂ , 1, .

∂ ∂ ∂ ∂

2. Выполнены условия продолжимости

‖ ( , , )‖ ≤ 1(1 + ‖ ‖),

| ( , , )| ≤ 1(1 + ‖ ‖),

∂ ( , , )

≤ 1(1 + ‖ ‖), ∂

∂ ( , , )

≤ 1(1 + ‖ ‖),

∂ ( , , )

≤ 1(1 + ‖ ‖),

∂

∂ ( , , )

≤ 1(1 + ‖ ‖)

∂

для всех 1, , 1, , ( , , ) cl Π × , где константа 1 > 0.

		3	. Терминальная функция платы ( ) в (5.2) определена и непрерывна на
				∂
R		вместе со своими частными производными			, 1, .
				∂
		4	. Полные вектограммы скоростей ( , ) управляемой системы (5.1)
			( , ) = {( ( , , ), ( , , ))			: }

11

являются строго выпуклыми множествами при всех ( , ) cl Π .

Условие 4	гарантирует, что для любой точки ( 0, 0) cl Π существует
такое управление 0(·) ( 0, ), что выполняется
		,	inf			,	0;		(·))	=		,	0;	0	.
	( 0		0) = (·) ( 0, )	(	0						(	0			(·))

5.1.3 Уравнение Беллмана

Хорошо известно [6], что с задачей оптимального управления связана зада­ ча Коши для уравнения в частных производных первого порядка типа Гамиль­

тона–Якоби, которое называется уравнением Беллмана.

Рассмотрим гамильтониан ( , , ): R × R × R → R вида

(

, ,

) = [

]

(5.5)

min

, ( , , ) + ( , , ) ,

символ ·, · означает скалярное произведение векторов.

Уравнение Беллмана имеет вид

∂ ( , )

( , , ( , ))

( , ) Π ,

(5.6)

+

= 0,

∂

где ( , ) = (∂ ∂( 1

), . . . ,

∂(

)), и выполняется краевое условие

,

∂ ,

( , ) = ( ),

R .

(5.7)

5.1.4 Классические характеристики уравнения Беллмана

Введем в рассмотрение на отрезке [ 0, ] гамильтонову систему обыкновенных

дифференциальных уравнений
		= ( , , ),
				̂
	̂					(5.8)
		=		( , , ),
			−	̂	̂
	̂
	= , ( ̂, ̂, ) − ( , , ),
				̂
				̂
	̂				̂ ̂	̂ ̂
			̂

12

с граничными условиями
̂( ) = , ̂( , ) = ( ), ̂( ) = ( ),				R .	(5.9)
Определение 2. Решения		(·), (·), (·)	системы (5.8) называются характери­
стиками уравнения	Беллмана в задаче Коши (5.6)—(5.7).
		(̂ ̂ ̂	)

Как известно [10], когда у задачи Коши (5.6), (5.7) существует гладкое ре­ шение, оно может быть получено согласно классическому методу характеристик Коши по формуле

( , ) = ̂( , ),

: ̂( , ) = .

При условиях 1– 4 классическое решение задачи не всегда существует. Поэтому в дальнейшем будет введено понятие обобщенного (минимаксного или вязкост­ ного) решения [14] и для его построения будет использован обобщенный метод характеристик [1].

5.1.5 Обобщенное решение уравнения Беллмана

Напомним одно из определений минимаксного решения [14].

Определение 3. Функция : cl Π → R называется минимаксным решением задачи (5.6), (5.7), если она удовлетворяет краевому условию (5.7) и для любых

( 0, 0, 0) gr и R существует некоторое число ( 0, ) и липшицевые функции

( (·), (·)): [0, ] → R × R,

которые удовлетворяют начальному условию ( ( 0), ( 0)) = ( 0, 0), уравнению

˙( ) = ˙( ), − ( , ( ), )

при почти всех [ 0, ] и неравенству ( ) ≥ ( , ( )) при почти всех [ 0, ].

13