контрольная

1. ,

n N .

n

n(n + 1)

n

n(n +

1)(2n + 1)

1. ∑ k =

.

2. ∑ k 2 =

.

2

k =1

k =1

6

n

n (2n 2 + 12n + 22)

n

(n − 1)n (n + 1)

3. ∑ (k

+ 1)(k + 2)=

.

4. ∑k (k − 1)=

3

.

6

k =1

k =1

n

n(n + 1)(2n + 7)

n

n

2

5. ∑k (k

+ 2)=

.

6. ∑k 3 =

∑ k .

6

k =1

k =1

k =1

n

n (n + 1)(n + 2)(n + 3)

n

n (2n − 1)(2n + 1)

7. ∑ k (k + 1)(k + 2) =

.

8. ∑(2k − 1)2 =

.

k =1

4

k =1

3

n

n (4n

2

+ 12n + 11).

10n+1 − 9n − 10

9.

∑ (2k + 1)2 =

10.

3 + 33 + ... + 33...3 =

k =1

3

27

n

n (n 2

− 1)(3n + 2)

n

1

n

11.

∑ (k

− 1) k 2

=

12.

∑ arctg

= arctg

.

12

2 k 2

n + 1

k = 2

k =1

n

n (n + 1)(n + 2)(3n + 1)

n

13.

∑ (k + 1) k 2 =

.

14.

∑(2k − 1)= n 2 .

k =1

12

k =1

n

n

1

n (n + 1)

15.

∑ k (3k − 1)= n 2 (n + 1).

16.

∑

=

.

k =1

k =1 k (k + 1)

2

1 + 2 3 + 2 4 5 + 2 4 6 7 + +

n −1

17.

+ 2 4 6 (2n − 2)(2n − 1)= 2n n!− 1.

18.

∑ 2k = 2n − 1 .

k = 0

n

sin

nx

sin

(n + 1)x

n

sin

(2n + 1) x

1

∑sin

k x =

2

2

+

∑cos k x =

2

19.

x

20.

2

x

k =1

sin

k =1

2 sin

2

2

x ≠ 2πm, m Z .

x ≠ 2πm, m Z .

n

n

1

1

1

21. (a + b)n = ∑ Cnk a n − k b k .

22.

∑

=

−

.

k = 0

k =1 k! (k + 2)

2

(n + 2)!

n

1

(1 + (2n + 1)3n +1 ).

n

k

1

23.

∑ (k + 1)3k =

24.

∑

= 1 −

.

k = 0

4

k =1

(k + 1)!

(n + 1)!

n

1

n

n

25.

∑

=

.

26.

∑ (k + 1)2k = n 2n +1 + 1.

k =1 (2k −1)(2k + 1)

2n + 1

k = 0

n

n (n 2

− 1)(3n + 2)

n

2k − 1 3(2n − 1)− 2n

27.

∑ (k

− 1) k 2

=

.

28.

∑

=

.

12

2k

2n

k = 2

k =1

2..

1)f : [0, π 2]→ R f (x ) = tg x .

f (π 4), f ([π 6, π 3]), f −1 (1), f −1 ((0, 1]).

2)

f : [0, π 2]→ R f (x ) = tg x .

f (π 6), f ([π 6, π 4]), f −1 (

),

f −1 ([1

]).

3

3,

3

3)

f : [− π 2, π 2]→ R

f (x) = cos x . f (π 3), f ([π 6, π 3]), f −1 (1 2),

f −1 ((0, 1 2]).

4)

f : [0, π]→ R f (x) = sin x .

f (π 3), f ([π 6, π 3]), f −1 (1 2),

f −1 (( 1 2, 1]).

5)

f : [− 2, 2]→ R : f (x) = 4 − x 2 .

f (1 2), f ([− 1 2, 1]), f −1 (3), f −1 ((1, 3]).

6)

f : [− 2, 2]→ R : f (x) = 2 x .

f (1 2), f ([− 1 2, 1]), f −1 (4), f −1 ((

, 4]).

2

7)

f : [− 1, 1]→ [− π 2, π 2] :

f (x) = arcsin x . f (1 2), f ([− 1 2, 1 2]),

f −1(π 4), f −1((− π 6, π 6]).

8)

f : [− 1, 1]→ [− π 2, π 2] :

f (x) = arcsin x . f (− 1), f ([1 2,

2]),

f −1 (π 3), f −1 ((π 4 , π 3]).

3

9)

, ,

:

a)

f ( x) =

x

4

;

2 x

− 2

b)f ( x) = 5 − x + 5 + x ;

c)f ( x) = ln x − 2 . x + 2

10) f : [0, 1]→ [0, 2]:

d)x → 22 x −1 ;

e)x → 2sin (π x);

f)x → 2sin (π x 2);

g)x → 2 tg (π x 4);

h)x → (3x + 1) 2 ;

i)x → log 2 (x + 3)

, ? ! " # .

11) f : [− 1, 1]→ [0, 2]:

a)x → 2 x ;

b)x → 2 x ;

c)x → 2 cos (π x 2);

d)x → 1 + tg (π x 4);

e)x → x + 1 ;

f)x → log 2 (x + 2)

, ? ! " # .

12) f : [− 1, 1]→ [0, 2]:

a)x → − x + 2 ;

b)	x → 4 x
	;

c)x → 4sin 2 (π x 4);

d)x → 2 + 2x ;

e)x → (2π)arccos x ;

f)x → log 2 (x + 3)

, ? ! " #

.

13) inf {f : x X }, sup{f : x X }, min{f : x X }, max{f : x X },

:

j)	f ( x) =		x	2	;
			2
		x		+ 1

k)f ( x) = arctg x ;

l)f ( x) = arctg (1 x);

m)f ( x) = [x] ( " x );

n)f ( x) = {x} ( " x );

o)	f ( x) =		1	;
		4 cos	2 x − 4 cos x + 5

p)f ( x) = 1 2 − cos x .

14)$" " ( ,) :

q)f ( x) = 3sin 4x − 4 cos 3 x ;

r)f ( x) = sin(4x)cos (3 x);

s)f ( x) = sin(4x )cos (π x);

t)f ( x) = sin(5x);

u)f ( x) = [x] ( " x );

v)f ( x) = {x} ( " x ).

15) "			2x − x 2			− 1
	f ( x) =							.
			x	2 + 3x + 2
16) " f ( x) =					x − 5
									.
		14x − x 2				− 48

17)

" f ( x) =

log0,3 log3

x − 1

.

x + 5

log2

(x − 2)

18)

" f ( x) =

2

.

11x − x 2 − 28

19)

"

f ( x) =

(x 2 − 3x − 10)lg

x − 2

.

20)

"

f ( x) =

x 2 − 7 x + 6

+

1

.

1 − x

log7 (6 − x)− 1

4

21)

" f ( x) = arccos

.

1 − 2x

22)

"

1

f ( x) =

cos x cos (2 x)− 1 +

.

2 cos x + 1

23)

f ( x) = 3

12 − x +

x − 2 .

24)

f ( x) =

1

.

4 cos2 x − 4 cos x + 5

25)

f ( x) = − − 2x 2 − 8x − 4 .

26)

f ( x) =

x − 1

−

x + 2 .

27)

f ( x) = sin 6 x + cos6 x .

28)

f ( x) =

25 − x 2 , x [− 1;5].

3.

.

f (x)=

1.

f (x)= − 1 − x2 , x [− 1; 0].

2.

x

−

x + 1

+ 3x, x R .

f (x)= 1 + sin x, x

π

3π

.

3.

;

4.

f (x)= −

4 − x2 ,

x [0; 2].

2

2

5.

f (x)= sin x,

x [− 5 2 π; − 3π 2].

6.

f (x)= cos2 x,

x

π

; π .

2

7.

f (x)= x 2 sgn x + 1, x R .

(

)

[ ]

8.

f

x

= arcsin

1 − x

2

, x

0; 1 .

9.

f (x)= sin 2 x,

x

π

; π .

10.

f (x)=

2 2x − 1,

x (− ∞; 1),

2

x

− 2x + 2, x [1; + ∞) .

11.

f (x)= x

x

+ 2x, x R .

f (x)=

12.

4 + x ,

x ≥ −4 .

13.

f (x)=

2 x − 2− x

,

x R .

14.

f (x)=

1 + 3x

,

x [− 1; 2].

2

4

f (x)=

2

− 4x + 6, x (− ∞; 2),

(

x )

15.

x

16.

f

(

x

)

.

= ln 1 − e

− x + 4, x [2; + ∞) .

x, x < 0,

17.

f (x)=

2x,

0 ≤ x < 2,

18.

f (x )= cos x,

x [− 2π; − π].

(2 − x )2 + 4, x ≥ 2 .

f (x)=

f (x)= arcsin

1 − x2 , x [− 1; 0].

19.

5 − x ,

x ≤ 5 .

20.

21.

f (x)= sin x,

x [− 3 2 π; − π 2].

22.

f (x)= cos x,

x [π; 2π].

23.

f (x)= arctg (1 x),

x R \ 0 .

24.

f (x)= ch x,

x > 0 .

f (x)= 2 −

26.

f (x)=

3 + 2x

,

x ≠ 2 .

25.

3 − x ,

x ≤ 3 .

x − 2

27.

f (x)= sh x, x R .

f (x)= 1 +

28.

x − 3, x ≥ 3 .

4. .

1.

y =

x

log x 2

, y = tg x ctg x .

2.

y =

x

2

− 4x +

3

+ 2x − 2 , y = sin

x

.

3. y = (x + 1)

x + 1

,

4.

x − 1

y =

x + 2

+ 2

, y = −2

x

+ 1 .

arcsin(2 − x)

− π 4

.

x − 1

y =

5. y =

x 2 − 2 x − 2

x − 1

− 7

,

x

+ x

1

x

6.

y =

sin 2 x +

cos2 x , y =

.

y =

(1 − cos (2 x)) 2 .

2

2

.

y = ( 1 − x2 )2 , y =

2

2

8.

7.

y =

(1 − x

) ,

y = sin x +

sin x

.

x

− 1

2

1 − x

x

2

(

)

9.

y = 2

x

+ 1 − x2

, y = arccos

.

10.

y =

1 − x

, y = sin x

ctg x

+ 1.

2

1 + x

1 − x

x

2 − 2

x

y =

2 x − 1

− 1 .

11.

y =

,

y = tg x ctg x .

12.

y =

1 − 2

x

,

x − 2

13.

1

,

y =

x

+

x

x2 − 2

x

14. y =

x

+ 1

,

y =

−

1 −

x

.

sin 2x

2

y =

.

x

− 6

x

+ 9

2

2 (1 − cos 2 x)

1

16. y =

x + 1

,

15.

y =

,

x − 1

1 +

2

x

− 1

2

y = sin x

cos

2

x + cos x

sin

2

x .

2

x

−

cos

2

x

y = sin

.

x 2 − 2 x

tg (2x)− tg x

−

x −

x

x − 2

17.

y = 2

,

y =

.

18. y = 2

x

,

y = 0,5

log2 x 2

− 2 .

1 + tg x tg (2x )

19.

y =

22 x −1 − 2

− 1

,

y =

2

tg x

.

20. y = eln (1− x 2 ),

y = arctg x + arctg

1 − x

.

1 + tg 2 x

1 + x

log

(x −1)

1

ln

x

21.

y = 2

1 2

,

y = 1 −

1 + 2

x

.

22. y = e

,

y = 2

x + 1

.

2

log

(

x

−1)

y = (x 2 )log x 2 2 .

1

23.

y = 3

1 3

,

24. y = x

lg x

,

y = arctg (2

x

− 3).

log (x 2 −4)

26. y = log

x

log

2 ,

y = sin x +

sin x

.

25.

y = x

x

,

y =

sin x

+

cos x

.

2

x

y = 3 2−

x +1

.

28. y = 3log3 x 2

y = sin 4 x + cos4 x .

27.

y =

tg x

ctg x ,

,

1

30. y =

tg

x

− tgx

,

y =

2

.

29.

y = 1 −

1 + 2

x

,

y = log

x

x

.

2

2

x

+ 1

5. ,

.

log

(x 2 + y 2 − 3)

1.

y =

y − sin x

.

2.

x

>

0 .

x

+

y

− 8

x + y

3.

x y arcsin

> 0 .

4.

y ≥

x 2 − 4

x

+ 4 .

x − y

6 y 2 − 5xy + x 2 ≥ 0 .

5.

x ≥ 1 − y 2 .

6.

7.

xy + 1 ≤ 0 .

8.

xy > 1.

9.

1

≤ 1.

10. y ≥ 2

x + 1

.

xy

12.

2x 2 − x

.

11.

2 y − 3x

≥ 6 .

≥

y

13.

y − x

2

≥ 1.

14. log y ≥ 1.

x

15.

y

≥ 3

x

− x 2 .

16.

y − 2x − 1

+

2x − 4

≤ 4 .

17.

x 2 − 2

x

+ y 2 − 2

y

≤ 2 .

18. (

x

− x)2 + (

y

− y )2 ≤ 0 .

19.

x

−

y + 1

≥ 0 .

20. lg(y ctg x) < 0 .

2x 2

+ 3x − 2

21.

log y

x

> 1.

22. log(

x

y )

x

> 1.

23.

y − 1

+

2x − 4

≤ 4 .

24.

y +

y

≥ cos x .

25.

log

(x + y − 1) ≥ 0 .

26.

x + y

≥ 1 .

1 5

x − y

27.

x + y

+

x − y

≤ 2 .

28.

x + y

−

x − y

≤ 2 .

6.! (xn ) ,

, ?

,

" .

1.

x

=

100n

.

2.

x

= n cos πn .

n

0,001n + 1

n

3.

x

= n sin

πn

.

4.

x

=

n

.

3

n

2

n

n

+ 1000

=

(

)n

.

6. x =

(−1)n + 10

.

5. xn

39

n!

n

n 2 + 1

7.

x

=

100 − n3

.

8.

x

= n +

5

.

n

n

2

− 10

n

n

52n +1 + 2n

n 2 + 1 − n .

9.

xn =

10.

xn

=

.

1 − 25

n

11.

x

= (1 + (−1)n ) n .

12.

x

= 5n − 4n .

n

n

n

1

n

13.

x

= ∑

.

14.

x

=

.

n 2

+ 9

n

=

1

k

2

n

k

15.

xn =

1

.

16.

x

= sin

πn

.

n + (−1)n

−1

n

2

17.

x

=

π2n

.

18.

x

= 1 +

1

cos π n .

n

(2n + 1)!

n

n

19.

xn = (2n + 1) cos (π n).

20.

xn

=

n!

.

50 n

10

21.

x

= (2n + (−3)n ) .

22.

x

= n 2 sin

πn

.

n

n

4

23.

x

=

1 − n

.

24.

x

= ncos π n .

n

n 2 + 1

n

n + (−1)n

n

.

(−1) n

25.

x

=

+ (−1)

26.

x

= 2

n

− n .

n

3n − 1

n

= 0,5 ((−1) n −1) n .

28.

xn = (2 + (−1)n 2)

.

27.

x

n

n

29.

x

=

(−2)n + 5 2n

.

30.

x

=

2n − 4 − 4

.

n

2

n

n

9

7

n

+ 5

7. #, ,

1.

lim

5 + 7n

=

7

.

2.

lim

5 + 2n 2

= 2 .

n →∞ 9n + 5 9

n →∞

n 2

3.

lim

n

= 0 .

4.

lim

2n

= 1 .

n →∞ 2n

n →∞ 2n

+ 5n

5.

lim

− (n + 1)2 + 1

= −

1

.

6.

lim

sin n +

cos n

= 0 .

2n 2

n→∞

2

n →∞

n

(− 1)n

5

8.

n

= +∞ .

7.

lim

= 0 .

lim 5

n →∞ n + n + 1

n →∞

lim (1 − n

2

)= −∞ .

9.

10.

lim

2

+ 3

n

− n

= −∞ .

n →∞

n →∞

11.

lim

ln(1 + n 2 )

= 0 .

1 − 5n 2

12.

lim

= −∞ .

2n

n → ∞

n →∞

2n

n

2

5n

13.

lim

= 0 .

14.

lim

= 0 .

n →∞ n !

n →∞ n !

15.

lim

1 − 5n 2

5

.

16.

lim

2n

= 0 .

= −

n →∞ 3n 2 + 2n

3

n →∞ 5n

lim n

lim (n 2 − n)= +∞ .

17.

a = 1.

18.

n →∞

n →∞

19.

lim

2n

4

= −∞ .

20.

lim (− 1)n n = ∞ .

n →∞ − n3

+ 1

n →∞

21.

lim (n 2 + 4)= +∞ .

22.

lim (2n − n)= +∞ .

n →∞

n →∞

23.

lim ln(2n + 1) = +∞ .

24.

lim

n 2

= 0 .

n→∞

n →∞ 2n

n k

26.

lim

n

1 .

25.

lim

= 0 .

n =

n →∞ 2n

n→∞

! ", " . . 27-30

.

27.

xn = (−1)

n

+ 2 .

28. x = 2n + 1 .

n

29.

x

= n(−1) n +1 .

30. xn = sin

π n

.

n

4

8.

$

$

(

),

" .

1.	xn		=							1						.						2.	xn =						2											.
					5n + (−1)n																				n 2				+ (−1)n −1
3.	xn		= arccos													100					.	4.	xn =						3										.
												200n					+ (−1)			3n					n	3			+ (−1)							n −1
5.	x		=			4n								.								6.	xn =						3									.
		n																							6n + (−1)n
					5n 2 − 2
				n
7.	xn		=				.															8.	xn =			n							.
				n
																									3	n +1
			2
9.	xn = sin											1							.			10.	xn = cos													1							.
									n	2		+ (−1)n −1
																															(−1)n +1							+ 3n
					e	n																12.	xn = sin						5													.
11.	xn		=				.
																													10n + (−1)												n
					n!
13.	xn		= tg									1						.				14.	xn = sin										n		.
								3n + (−1)n
																															2n
15.	xn		= sin								n				.							16.	xn = tg										n	.
									3n + 2																				4n

17. x

= 10 11 ...

n + 9 .

18. x

= 9 10 ...

n + 8 .

n

1 3

2n − 1

n

1 3

2n − 1

19. x

= 8 9

n + 7 .

20. x

= 7 8 ...

n + 6 .

n

1 3

2n − 1

n

1 3

2n − 1

1

1

1

1

1

22. xn

21. xn = 1 +

2

1 +

4

1 +

... 1 +

2

n

.

= lg 1 +

2

+ (−1)

n −1 .

8

n

1

1

24. xn

23. xn = lg 1 +

2n

+ (−1)

n +1 .

= ln 1

+

n − 5

.

3

25. x

n

26. x

= log

n

= ln 1 +

n

.

1 +

n

.

n

2

n

5

3

1

21

27. x

= log

1 +

.

28. x

=

.

3

n

n

2

n

(−1)

n −1

n

100n + (−1)

+

29. xn = arctg

1

.

30. x

= arcsin

4

.

n 2 + (−1)n −1

n

5n + (−1)n − 2

9. .

1.

lim

1

+

3

+

... +

2n + 1

2.

lim

2

4

+ ...

2n

n 2

n 2

.

+

+

.

n →∞ n

2

n →∞ n 2

n

2

n 2

3.

lim

1

+

1

+ ...

+

1

(3n − 1)(3n + 2)

.

n →∞ 2 5 5 8

4.

lim

1 + 6 + 11 + …+ (5n − 4)

5n + 1

−

.

n →∞

n + 2

2

5.

lim

3 + 8 + 13 + …+ (5n − 2).

6.

lim 1 + 6 + 11 + …+ (5n − 4).

n →∞ 4 + 9 + 14 + …+

(5n − 1)

n →∞

25n

4

+ 4n

2

+ 1

7.

lim 1 − 4 + 6 − 7 + 11 − 10 + …+ (5n − 4)− (3n + 1).

n →∞

4n

2

+ 1

+ 4n

2

− 4n + 1

8.

lim 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + …+ (2n − 1)− 2n .

n →∞

n

2

+ 1

+

n

2

− n + 1

9.

lim

(2n + 1)2

.

10.

lim

2n + 5 − 3 125n6 + 1

.

(5n − 1)

n →∞ 4 + 9 + 14 + …+

n →∞ 4 + 9 + 14 + …+ (5n − 1)

2

+ 2

2

+ …+ n

2

1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2)

11.

lim

1

.

12.

lim

.

2n3 + 5

n 4 + 1

n→∞

n →∞