контрольная работа № 2

Ответ. BA 17 10 6 Тл 17 мкТл .

П р и м е р 2. 2

Два прямолинейных бесконечно длинных проводника скрещены под прямым углом (см. рисунок). По проводникам текут токи I1 4,0 A, I2 3,0 A.

Расстояния OA AC r 10 см . Найдите модуль вектора индукции магнитного поля заданных токов, создаваемых в точке А.

	Дано:	Анализ:
	I1 4,0 A	Поле в точке А создается
	I2 3,0 A	двумя бесконечно		длинными
	OA AC r 0,01 м	проводниками с токами I1 и I2.
		Согласно	принципа	суперпози-
	B – ?
		ции полей индукция магнитного поля в точке А
	находится как векторная сумма		B B1 B2 , где B1, B2 – векторы индукций

магнитных полей, создаваемых проводниками с током I1 и I2 соответственно.

Для определения величин этих векторов надо использовать формулу для вычисления величины индукции магнитного поля, создаваемого бесконечно

длинным проводником с током B 0 I . 2 r0

Векторы B1, B2 направлены по касательной к линиям индукции (силовым линиям) магнитного поля. Ход силовых линий рисуем и определяем их направления, используя правило правого буравчика.

Решение:

Сделаем рисунок, на котором покажем силовые линии полей токов I1 и I2,

которые проходят через точку А. Силовые линии

прямого тока расположены в плоскости, перпендикулярной проводнику с током. Это показано на рисунке.

31

Вектор B1 направлен перпендикулярно к плоскости рисунка, от нас, а

вектор B2 располагается в плоскости рисунка и направлен вверх.

Модуль вектора B суммарного поля токов вычислим по теореме

Пифагора, поскольку вектора B1, B2

перпендикулярны друг другу.

B

, B1 0 I1 , B2

0 I2

.

B12 B22

2 r

2 r

0

Окончательно получаем

B

I12 I22 ,

2 r

4 10 7

B

16 9 5 10 5 Тл .

2 10 2

Ответ. B 5 10 5 Тл .

П р и м е р 2. 3

Бесконечно длинный проводник с током I 10 A имеет изгиб радиусом

R 10 см . Найти индукцию магнитного поля в точке О.

Дано:	Анализ:
I 10 A	Разбиваем проводник на три
R 10 см	части – два прямолинейных полубеско-
	нечных проводника 1 и 3 и полукольцо 2. Так как точка О
Bo – ?
	находится на продолжении прямолинейных проводников 1 и 3,

то они вклада в величину вектора индукции не дают (см. пример 1). Решение задачи сводится к нахождению индукции магнитного поля в точке О,

создаваемой полукольцом.

Решение:

Величина вектора B в точке О определяется частью кольцевого тока, а

именно – его половиной:

B1 0 I 0 I ;

2 2R 4R

32

B 4 10 7 10 3,1 10 5 Тл . 4 0,1

Направление вектора B определяем по правилу правого буравчика:

вращаем ручку буравчика по направлению тока в полукольце, т.е по часовой стрелке, тогда буравчик будет ввинчиваться перпендикулярно плоскости рисунка от нас и вектор индукции магнитного поля будет направлен так же.

Ответ. B 3,110 5 Тл .

2.2. Сила Ампера, действующая на проводник с током в магнитном поле

Закон Ампера определяет силу dF , действующую на элемент тока со стороны магнитного поля:

dF Idl B ,		dF IBdl sin ,	Idl ^ B ,
где Idl – элемент тока;		α – угол между вектором элемента тока и вектором
индукции B магнитного поля.
Сила взаимодействия двух параллельных проводников с токами I1 и I2
		F 0 I1I2l	,
		2 d

где d – расстояние между проводниками; l – длина проводников.

Магнитный момент контура с током

Pm ISn,

где n – положительная нормаль к плоскости контура – единичный вектор,

направление которого связано с направлением тока в контуре правилом

«правого винта»; I – сила тока в контуре; S – площадь контура.

Механический (вращающий) момент, действующий на контур с током,

помещенный в однородное магнитное поле,

M Pm B , или M Pm B sin ,

33

где α – угол между векторами Pm и B.

Потенциальная энергия контура с током в магнитной поле:

W Pm B, или W Pm B cos .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 2. 4

По двум параллельным бесконечно длинным прямым проводам,

находящимся на расстоянии d = 10 см друг от друга, в одном направлении текут

токи	I1 = I2 = I = 100 А. Вычислить силу F, действующую на отрезок длиной
l = 1 м каждого провода.
Дано:		Анализ:
l = 1 м		Взаимодействие двух проводников, по которым текут
d = 10 см		токи, осуществляется через магнитное поле: каждый ток
I1 = I2	= I = 100 А	создает вокруг себя магнитное поле, которое действует на
Найти:		другой проводник с током.
F – ?		Приступая к решению задачи, надо нарисовать

силовые линии поля первого, второго токов, проходящие через те точки, где расположены токи, используя правило правого винта. Потом определить, как направлена индукция магнитного поля первого тока в том месте, где расположен второй ток, и наоборот. После этого найти величину этого поля и,

используя закон Ампера, вычислить силу, с которой поле первого тока действует на единицу длины второго проводника с током.

Решение:

Вычислим силу F2,1 , с которой магнитное поле,

созданное током I1, действует на проводник с током I2.

Для этого сначала найдем направление и модуль индукции магнитного поля, созданного током I1 в том месте, где расположен проводник 2. Нарисуем линию

34

индукции магнитного поля тока I1 в месте расположения второго проводника.

На рисунке штрихпунктирной линией показана силовая линия поля тока I1. Она представляет собой окружность, центр которой совпадает с положением тока

I1. Вектор индукции B1 направлен по касательной к этой линии.

Величину вектора индукции магнитного поля B1 можно найти по формуле

B1 0 I1

2 d

(см. формулу для бесконечно длинного проводника с током из списка основных формул).

Направление силы F2,1 определяется по «правилу левой руки»: четыре пальца левой руки направляем по току, разворачиваем ладонь так, чтобы силовые линии поля входили в ладонь, тогда большой палец левой руки,

отставленный на 90, покажет нам направление силы Ампера (см. рисунок).

Согласно закону Ампера на отрезок длиной l второго проводника с током

I2 в магнитном поле с индукцией B1 действует сила

F2,1 I2 B1l sin 90 I2 B1l.

Подставив выражение для B1 в формулу для расчета F2,1 , получаем

F2,1 I2 0 I1 l 0 I1I2l .

2 d 2 d

Если учесть, что по условию I1 = I2 = I, тогда F2,1 0 I 2l . 2 d

По третьему закону Ньютона сила, действующая на первый проводник с током со стороны второго, будет равна найденной по модулю и противоположна ей по направлению.

		F F2,1 F1,2				I 2l
	Тогда				0				.
					2 d
		F	4 3,14 10 71002 1					0, 02Н.
			2 3,14 0,1

Ответ. F 0,02 Н.

35

П р и м е р 2. 5

Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны были параллельны проводу. По рамке течет ток I1 = 2,0 А, по проводу – ток I2 = 10 А. Найти силы,

действующие на каждую сторону рамки и на рамку в целом, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном l = 2,0 см, сторона

рамки а = 2,0 см.
		Анализ:
Дано:
I1	= 2,0 А	В		этом	случае	бесконечно
I2	= 10 А	длинный		проводник		с током	I2
l = 2,0 см		создает		поле	и оно	действует	на
а = 2,0 см		рамку	с током I1. Все стороны
Найти:		рамки	находятся на			различном расстоянии от тока,
F1 – ? F2 – ? F3 – ?		создающего поле, поэтому сила, действующая на рамку с
F4	– ? F – ?	током I1, равна векторной сумме сил, действующих на
		каждую сторону:
				F F1 F2 F3 F4 .

Направления всех четырех сил определим по «правилу левой руки». Их направления показаны на рисунке.

Стороны 1 и 3 параллельны прямому проводу и находятся от него на расстояниях l и (l+a), поэтому для них модуль вектора B постоянен по модулю.

Силы, действующие на стороны 2 и 4 рамки, противоположны по направлению и равны по модулю из-за симметрии их расположения в поле нити.

Сила, с которой магнитное поле действует на каждую из сторон рамки,

может быть найдена суммированием элементарных сил Ампера, действующих

на элементы тока:

Fi dF .

Решение:

Вычислим силы, действующие на стороны 1 и 3 рамки. Индукция магнитного поля, создаваемого током I2 в точках расположения сторон 1 и 3

36

рамки, может быть вычислена по формулам (см. формулу для бесконечно длинного проводника с током из списка основных формул)

B21	0 I2	, B23	0 I2
				.
	2 l		2 l a

Тогда по закону Ампера находим силы, действующие на стороны 1 и 3:

интеграл берется по всей стороне; все постоянные величины можно вынести за знак интеграла:

0

I

2

I I

2

a

I I

2

0

0

1

0

1

F1 I1B21 sin 90

dl I1 2 l

dl

dl

a ,

2 l

2 l

0

0 I2

0 I1I

a

0 I1I2

F3 I1B23 sin 90

0

dl I1

dl

2

dl

a .

2(l a)

2(l a)

2(l a)

0

При вычислении сил, действующих на стороны 2 и 4, рамки необходимо учесть, что вдоль каждой из этих сторон величина вектора B непрерывно изменяется по модулю, поэтому формула для вычисления модуля В имеет вид

B 0 I2 , где r – кратчайшее расстояние от проводника с током I2 до рассматри-

2 r

ваемой точки. Сила Ампера, действующая на элемент проводника с током на

стороне 2 или 4, равна dF				0 I2	I dr sin 90 , с учетом этого получаем
				2 r		1
l a		I	2			I I		2	l a dr			I I		2		l a
F2 F4 I1	0			dr		0	1					0	1		ln		.
	2 r					2				r		2				l
l									l

Проведем расчет модулей сил, действующих на каждую сторону рамки:

F1=

4 10 7 2 10 0, 02

4 10 6 H 4 мкН ,

2 0,02

F3

0 I1I2

a F1

l

2 мкН ,

2 (l a)

l

a

F2

= F4

=

4 10 7 2 10

ln

0, 04

2,8 10 6 H 2,8 мкН .

2

0, 02

Как видно из рисунка, равнодействующая всех сил, приложенных к рамке,

направлена к прямому проводнику с током и равна по модулю:

37

F = F1 – F2 = 4 10-6 – 2 10-6 = 2 10-6 H.

Ответ. F1 = 4 10-6 H, F3 = 2 10-6 H, F2 = F4=2,8 10-6 H, F = 2 10-6 H.

2.3. Сила Лоренца, действующая на заряд,

движущийся в магнитном поле

Сила Лоренца:

Fл q B , или Fл q B sin ,

где υ – скорость заряженной частицы; α – угол между векторами и B .

Направление силы Лоренца определяется по «правилу левой руки»:

четыре пальца левой руки расположить по направлению скорости движения частицы, силовые линии должны входить в ладонь, тогда отогнутый на 90

большой палец покажет направление силы Лоренца. Это сформулировано для положительного заряда, для отрицательного заряда направление силы Лоренца будет прямо противоположное.

Параметры винтовой траектории (радиус R, период Т обращения, шаг h),

описываемой частицей в общем случае, когда частица влетает в магнитное поле под углом к силовым линиям поля ( 0 90 ):

R

m

sin

,

T

2m

,

h vT cos .

q

B

q

B

В случае, когда заряженная частица влетает перпендикулярно силовым линиям поля, она будет двигаться по окружности в плоскости,

перпендикулярной силовым линиям поля. Радиус траектории и период

обращения заряда в поле равен	R		mv			,	T		2 m		.
			q		B				q
										B

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 2. 6

В однородном магнитном поле с индукцией B = 2,0 Тл движется протон.

Траектория его движения представляет собой винтовую линию радиуса

R = 1,0 мм и шагом h = 6,0 мм. Вычислить кинетическую энергию WК протона.

38

Дано:

B = 2,0 Тл

R = 1,0·10-3 м h = 6,0·10-3 м

m = 1,67·10-27 кг q = 1,6·10-19 Кл

Найти:

WK-?

Анализ:

Заряд влетает в магнитное поле под углом α к силовым линиям поля.

Вектор скорости удобно разложить на два составляющих вектора и .

Вектор скорости совпадает по направлению с направлением силовых линий поля, а расположен перпендикулярно силовым линиям магнитного поля.

Сила Лоренца, действующая на заряд со стороны магнитного поля, лежит в плоскости, перпендикулярной силовым линиям магнитного поля, поэтому составляющая скорости (см. рисунок) не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Составляющая скорости под действием силы Лоренца непрерывно изменяет направление, оставаясь постоянной по модулю.

Таким образом, движение протона в магнитном поле можно рассматривать как сумму двух движений: равномерного, прямолинейного движения со скоростью параллельно линиям индукции и движения по окружности со скоростью (постоянной по модулю) в плоскости перпендикулярной силовым линиям магнитного поля.

Решение Поскольку протон участвует в двух независимых движениях: равномерном

и прямолинейном со скоростью параллельно линиям индукции магнитного поля и по окружности с постоянной по модулю скоростью в плоскости,

39

перпендикулярной к вектору B , то кинетическую энергию движущейся частицы можно выразить формулой

m 2

2

2

2

W

,

где

II

.

K

2

Для расчета

и

воспользуемся формулами для радиуса R,

шага h

винтовой линии и периода T обращения частицы в магнитном поле

h T ,

T

2 m

,

R

mv

и

получим

в результате

несложных алгебраических

q

B

q

B

преобразований выражения для вычисления

и :

h

Bh

q

BR

q

,

.

T

2 m

m

Тогда, подставив эти скорости в выражение для кинетической энергии

протона, получим

mV 2

m

2 2

q2 B2

h2

WK

R2

.

2

2

2m

4

2

Вычислим численное значение кинетической энергии протона

1, 6 10

19

2

2

6

36, 0 10

WK

1, 0 10 6

5,9 10 17 Дж.

2

27

4 3,14

2

1, 67 10

Ответ. WK 5,9 10 17 Дж.

П р и м е р 2. 7

Положительно заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (E = 10 кВ/м) и магнитное (B = 0,1 Тл) поля. Найти отношение

заряда частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям,

частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории. Силой тяжести при движении частицы пренебречь.

40