контрольная работа № 2

Анализ:

Задачу можно разделить на две части:

первая – рассмотреть движение заряженной

частицы в ускоряющем поле, вторая – проанализировать прямолинейное и равномер-

ное движение частицы, которая приобрела некоторую скорость, в скрещенных электрическом и магнитном полях.

Выполним рисунок к задаче. В ускоряющем поле частица проходит от точки с

потенциалом φ1 до точки с потенциалом φ2 и работа сил электрического поля приводит к тому, что потенциальная энергия заряда переходит в кинетическую.

Частица влетает в скрещенные поля со скоростью 2. По условию задачи она движется в этих полях прямолинейно и равномерно, следовательно, у нее нет никакого ускорения – ни нормального, ни тангенциального. Учитывая второй закон Ньютона, можно сказать, что в таком случае векторная сумма сил,

действующих на заряд, равна нулю.

Дано:

Решение

U = 104 В

q

Отношение заряда частицы к ее

массе,

,

называется

E = 10 кВ/м

m

B = 0,1 Тл

удельным зарядом частицы. Проходя ускоряющую разность

потенциалов U= – (φ2 – φ1) , частица приобретает кинетическую

Найти:

q

?

энергию Wк. Согласно теореме о кинетической энергии,

A W ,

m

эл

K

m 2

где A qU

– работа сил электрического

поля,

W W

W

–

K

K 2

K1

2

изменение кинетической энергии частицы.

Подставляя выражение для А и WK , получаем

	qU			m 2
						.
				2
	q		2
Отсюда					.
	m
			2U

41

Скорость частицы найдем, рассматривая ее движение в скрещенных электрическом и магнитном полях. На движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

		. Направление силы определим по «правилу левой
1) сила Лоренца FЛ q B

руки». На рисунке показано направление силы Лоренца, она направлена в плоскости рисунка вверх;

2) сила Fэл	qE, действующая со стороны электрического поля,	сонаправлена
с вектором	напряженности E электрического поля (так как	частица имеет

положительный заряд). В плоскости рисунка эта сила направлена вниз.

Частица будет двигаться прямолинейно, равномерно в скрещенных полях,

если векторная сумма сил, действующих на нее, будет равна нулю.

FЛ Fэл

0 ,

т.е. FЛ

и Fэл должны быть равны

по модулю

и противоположны по

направлению.

В проекции на ось Oy это равенство приобретает вид

FЛ Fэл 0,

qE q B,

E

.

B

Подставим выражение для скорости частицы в полученную выше

формулу для удельного заряда частицы

q

2

E2

.

m 2U 2B2U

Рассчитаем удельный заряд частицы

q

108

4,8 107 Кл/кг.

0, 01 104

m 2

Ответ.

q

4,8 107 Кл/кг.

m

42

2.4. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.

Магнитный поток

Поток вектора B через контур площадью S :

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

Ф BS cos или		Ф Bn S,
где S – площадь контура; α – угол между нормалью к плоскости контура и
вектором магнитной индукции B ;	Bn – проекция вектора B на направление
нормали n ;
б) в случае неоднородного	поля	и произвольной поверхности

Bn dS (интегрирование ведется по всей поверхности).

S

Потокосцепление – полный поток вектора B через N витков:

N .

где Ф – магнитный поток через один виток; N – число витков тороида или соленоида

Работа по перемещению проводника или замкнутого контура с током I в

магнитном поле

А I Ф,

где 1 2 – изменение потока, проходящего через площадь контура, Ф1,

Ф2 – магнитные потоки, пронизывающие плоскость контура в конечном (Ф2) и

начальном (Ф1) состояниях.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 2. 8

Круговой контур радиуса R = 1,0 см, по которому течет ток I = 2,0 А,

находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл так, что вектор pм магнитного момента контура с током составляет угол 1 60 с

вектором B . Какую работу А′ надо совершить внешним силам, чтобы повернуть контур до угла 2 90 вокруг оси, совпадающей с диаметром контура?

43

Дано:

R 0,01 м

I 2,0 A

B 0,1 Тл

1 602 90

Найти:

А′– ?

Решение

1-й способ. Работа сил магнитного поля по перемещению контура с током определяется следующим образом (формула (14)):

A I 2 1 ,

где 1, 2 – магнитные потоки, пронизывающие плоскость контура в начальном и в конечном состоянии соответственно. Для расчета 1 и 2 воспользуемся следующей формулой:

BdS cos BS cos ,

S

где учтено, что магнитное поле является однородным, а угол α – это угол между вектором B и вектором n нормали к плоскости контура (его направление связано с направлением тока правилом правого буравчика).

Тогда

BS cos 60		1	B R2	,			BS cos 90 0,
						2
1	2
	A I 2 1				IBR2 .
					2

Работа А′ внешних сил связана с работой А сил магнитного поля формулой

A' A 2 IBR2 .

A' 3,142 2 0,1 10 2 3, 2 10 3 Дж .

44

Pm , сила

A' 3, 2 10 3 Дж .

2-й способ. Работа внешних сил равна приращению потенциальной энергии контура с током в магнитном поле:

A' W2 W1 pm B cos 90 pm B cos 6012 pm B 12 ISB 2 IBR2 3, 2 10 3 Дж,

где мы использовали формулы для потенциальной энергии контура с током в

магнитном поле и магнитного момента pm контура с током. Вектор pm

перпендикулярен плоскости контура, его направление связано с направлением тока правилом правого буравчика.

Ответ.

П р и м е р 2. 9

Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток силой I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле

(В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол φ = 60°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной. Изобразим контур с током в магнитном поле. Как известно, на контур с током в магнитном поле действуют силы Ампера, которые в данном случае образуют вращающую пару сил. Вращающий момент пары сил по

определению есть произведение плеча на силу и синус угла между ними.

	M	aF sin aIaB sin Ia2 B sin ;
		M Pm B sin ,
где Pm IS	Ia2	магнитный момент контура. Это вектор, численно равный

Pm и направленный перпендикулярно площади контура.

φ – угол между плечом и силой, а плечо перпендикулярно перпендикулярна B , следовательно, φ – угол между векторами.

45

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом вращательный момент равен нулю (М = 0), а

значит, φ = 0, т.е. векторы Pm и B совпадают по направлению.

Это положение контура с током в магнитном поле называется устойчивым равновесием. Если внешние силы выводят контур с током из положения равновесия, то возникает момент сил, стремящийся возвратить контур в исходное положение – положение устойчивого равновесия.

Против этого момента и будет совершаться работа внешних сил. Так как момент сил переменный (зависит от угла повороты φ), то для подсчета работы применим формулу для работы при вращательном движении в дифференциальной форме

dA Md .

Подставляем сюда выражения для М, получаем

dA IBa2 sin d .

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте контура на любой конечный угол

A IBa2 sin d .

0

Работа при повороте на угол φ = 90°

/3				0 /3	IBa	2
A IBa2 sin d IBa2		( cos )					.	(1)
					2
0

Выразим численные значения в единице СИ (I = 100 A; В = 1 Тл; А = 0,1 м) и

подставим в выражение (1)

A 100 1(0,1)2 12 Дж 0,5 Дж.

Задачу можно решить и другим способом. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур:

46

А I I ( 1 2 ),

(2)

где Ф1 –

магнитный поток, пронизывающий

контур до его

перемещения

(поворота); Ф2 – то же, после перемещения (поворота).

Если φ1 = 0, то Ф1 = BS;

/ 3, то Ф

BS cos / 3

BS

;

2

2

2

А I (BS

BS

)

IB

S

IB

a2

,

2

2

2

что совпадает с полученным выше выражением (1).

П р и м е р 2. 1 0

Дано:

Анализ:

а = 0,20 м

Квадратный

контур со стороной а = 20 см,

в котором те-

I = 8,0 A

чет ток I = 8 А, находится в магнитном поле с индукцией 0,5 Тл.

B = 0,5 Тл

Плоскость контура образует с направлением линий индукции

Α = π/3

угол α = 60°. Какую работу совершат силы Ампера, если при

неизменной силе тока в контуре его форму изменить с квадрата

А – ?

на окружность?

Решение:

Работа сил магнитного поля равна

А1,2

I ( 2 1 ),

(1)

где Ф1 и Ф2 – магнитные потоки сквозь площадь квадрата и окружности. Если считать, что магнитное поле в пределах контура однородно, а поверхность контура плоская, то

BS cos(90 ) BS sin ,		(2)
то есть
1	BS1 sin ;	(3)
2	BS2 sin ;	(4)

47

	S1 a2 ;	(5)
	S2 R2 ,	(6)
где R – радиус окружности,
но	4а = 2πR, R = 2a/π.	(7)

Подставляя (3), (4), (5), (6), (7) в (1), имеем:

А I ( a2 4a2 / )B sin IBa2 (							4	1) sin ;
1,2
					А Н м2
	А		А Тл м2			Н м Дж;
	1,2				А м

А1,2 8 0, 5 0, 4( 43 1) 0,867 3,8 10 2 Дж.

2. 5. Электромагнитная индукция

Закон Фарадея для ЭДС индукции

i N d d , dt dt

где i – электродвижущая сила (ЭДС) индукции, возникающая в проводящем контуре.

Знак « – » в уравнении отражает правило Ленца, которое позволяет определить направление индукционного тока: индукционный ток,

возникающий в контуре, имеет такое направление, которое своим магнитным полем препятствует изменению потока, его вызывающего.

Поток вектора B через контур площадью S:

а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности

BS cos или Bn S,

где S – площадь контура; α – угол между нормалью к плоскости контура и

вектором магнитной индукции B ; Bn – проекция вектора B на направление

нормали n ;

48

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности Bn dS

S

(интегрирование ведется по всей поверхности).

Потокосцепление – полный поток вектора B через N витков:

N ,

где Ф – магнитный поток через один виток; N – число витков тороида или соленоида

В случае, когда контур находится в изменяющемся по модулю с течением времени магнитном поле, ЭДС индукции, возникающая в рамке равна

i

d

d

BS cos

dB

S cos

для мгновенного значения ЭДС;

dt

dt

dt

для среднего значения имеем

cp

B S cos , при этом величина

t

t

площади контура и его расположение в поле не изменяются.

ЭДС индукции, возникающая в рамке, содержащей N витков, площадью S

каждый, вращающейся с угловой скоростью в однородном магнитном поле с индукцией В (ось вращения перпендикулярна вектору B ), равна

i = NBS sint.

Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью

в магнитном поле,

Blsin ,

где l – длина проводника; α – угол между векторами и B .

Заряд, протекающий по замкнутому контуру за время изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур, равен

q R ,

где R – сопротивление контура.

49

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пр и м е р 2. 1 1

Воднородном магнитном поле с индукцией В = 0,4 Тл в плоскости,

перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной l = 10 см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциалов U на концах стержня при частоте вращения n 16 c-1 .

Дано:

В = 0,4 Тл

l = 10 см = 0,1 м

n 16 c 1

1 2 – ?

Решение:

При движении стержня в магнитном поле с течением времени изменяется площадь, захватываемая стержнем:

S l2 , где – угол поворота стержня.

2

При равномерном вращении угол поворота зависит от времени по следующему соотношению:

t 2 nt , где n – частота вращения.

Тогда

S 2 ntl2 ntl2 .

2

Как видно из полученного соотношения, площадь, захватываемая стержнем при вращении, линейно возрастает с течением времени.

Следовательно, изменяется поток вектора магнитной индукции через эту

поверхность:

2
BS cos B nl t,	B , n			0,

50