контрольная работа № 2

где n – вектор нормали к поверхности, захватываемой стержнем при его вращении.

По закону Фарадея для электромагнитной индукции

i d d B nl2t B nl 2 . dt dt

Разность потенциалов, возникающая на концах стержня, численно равна ЭДС индукции εi .

1 2 B nl2 ,

1 2 0, 4 3,14 16 0,01 0, 2 В .

Возникновение разности потенциалов на концах вращающегося стержня связано с перераспределением заряда в стержне под действием силы Лоренца,

являющейся в данном случае сторонней силой. На движущиеся вместе со стержнем свободные электроны будет действовать сила Лоренца, которая вызывает их перемещение вдоль стержня, что приводит к возникновению ЭДС индукции и разности потенциалов на концах стержня. Разделение зарядов происходит до тех пор, пока сила Лоренца не уравновесится кулоновской силой

Fk , действующей на заряды со стороны электрического поля, возникающего внутри проводника.

Ответ: 1 2 0, 2 В.

Пр и м е р 2. 1 2

Воднородном магнитном поле с индукцией В = 1,0 Тл находится прямой провод длиной l = 20 см, концы которого замкнуты вне поля. Сопротивление всей цепи равно R = 0,1 Ом. Найти силу F, которую нужно приложить к проводу, чтобы перемещать его перпендикулярно линиям индукции со скоростью = 2,5 м/с.

51

Дано:

В = 1,0 Тл

l = 20 см = 0,2 м

R = 0,10 Ом

= 2,5 м/с

Найти:

F – ?

Решение При движении проводника в магнитном поле в нем возникает ЭДС

индукции i , которую можно определить следующим образом:i ddtФ dtd BS cos 0 dtd Bl t Bl ,

где S – площадь поверхности, которую охватывает проводник при своём движении (см. рисунок).

Так как концы проводника замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля, то в контуре возникает электрический ток

Ii i Bl .

R R

В дальнейшем знак «–» в формуле, связанный с правилом Ленца, будем опускать.

Направление индукционного тока определяется по направлению движения положительного заряда в замкнутой цепи. На проводник с током со стороны магнитного поля

будет действовать сила Ампера, направление которой определяется по

«правилу левой руки» (см. рисунок). Как видно из него, эта сила тормозит движение проводника – она направлена противоположно скорости его движения.

Для равномерного прямолинейного движения проводника необходимо приложить к нему внешнюю силу F , равную по модулю силе Ампера и противоположно направленную к ней.

52

F FA 0, F FA Ii Bl Bl Bl B2l2 . R R

Здесь мы использовали формулу для силы Ампера и учли, что угол 90 .

Рассчитаем модуль силы F:

F 1 0,04 2,5	1 H .
0,1

Ответ: F = 1 H.

П р и м е р 2. 1 3

Внутри соленоида длиной l = 2,0 м, имеющего N = 500 витков, находится проволочное кольцо радиусом r = 2,0 см и сопротивлением R = 20 Ом. Плос-

кость кольца образует угол = 30 с осью соленоида. Какой ток будет идти по кольцу в конце второй секунды, если ток в соленоиде изменяется по закону

IC = kt2, где k = 1,0 А/с2. Считать соленоид длинным.

Дано:

l = 2,0 м

N = 500

r = 0,02 м

R = 20 Ом

IC = kt2

k = 1,0 А/с2

= 300 t = 2 c

Найти:

Iк – ?

Анализ:

На рисунке представлено поперечное сечение соленоида, проходящее через его ось. Магнитное поле соленоида однородное, силовые линии поля расположены параллельно оси соленоида и направлены слева направо в плоскости рисунка. Виток находится внутри бесконечно длинного соленоида,

53

на рисунке обозначены углы: α – угол между нормалью к плоскости витка и вектором индукции магнитного поля, β – угол между плоскостью витка и силовыми линиями магнитного поля.

Ток в соленоиде изменяется с течением времени пропорционально квадрату времени, поэтому и магнитное поле внутри соленоида будет изменяться. По закону Фарадея для ЭДС индукции величина ЭДС определяется скоростью изменения магнитного потока, проходящего через

площадь витка i ddt . Величина магнитного потока равна ВS cos . В

нашем случае величина площади витка и его положение в поле не изменяется.

Изменение потока происходит только из-за изменения индукции магнитного поля.

Решение При изменении тока в соленоиде будет изменяться и магнитный поток,

пронизывающий кольцо, следовательно, в кольце возникает ЭДС индукции и потечет индукционный ток Iк. Запишем закон Фарадея для ЭДС индукции:

i ddt .

Подставим сюда формулу для магнитного потока через поверхность,

ограниченную кольцевым проводником, и вынесем за знак производной постоянные величины:

i		d		d BS cos	S cos	dB	.
		dt		dt
						dt

Угол α показан на рисунке, его можно найти через заданный угол β.90 .

Площадь витка определим по формуле S r2 . Индукция магнитного поля бесконечно длинного соленоида вычисляется следующим образом:

B 0 In ,

54

где n – число витков на единицу длины соленоида n Nl , а зависимость силы

тока в соленоиде от времени задана в условии задачи. Учитывая все вышесказанное, получим формулу для вычисления ЭДС индукции,

возникающей в витке:

i		d	r2 cos 90	dB	.
		dt
				dt

Вычислим производную по времени от величины индукции В магнитного поля.

dB		d 0 In		d 0kt2n	0kn2	d t2		0kn2t .
dt		dt		dt		dt

Окончательно для ЭДС индукции получаем формулу

i r2 cos 900 0k Nl 2t .

По закону Ома можем найти силу индукционного тока, возникающего в витке.

Ik i 2 r2 0kN t cos 90 .

R Rl

Знак «–» учитывает в законе Фарадея правило Ленца, которое позволяет определить направление индукционного тока. При вычислении величины силы тока этот знак можно опустить.

Ik 2 3,14 0, 022 4 3,14 10 7 1 500 2 sin 30 4 10 8 A 0,04 мкА. 20 2

Мы получили величину индукционного тока. Теперь необходимо воспользоваться правилом Ленца и найти направление индукционного тока.

Ток в соленоиде с течением времени возрастает, следовательно, и индукция магнитного поля и поток вектора индукции через площадь витка увеличивают-

ся с течением времени. По правилу Ленца индукционный ток имеет такое направление, чтобы своим магнитным полем препятствовать изменению потока через площадь контура. Поскольку поток, проходящий через площадь витка,

возрастает, то надо не давать ему возрастать, а значит, вектор индукции поля индукционного тока должен быть направлен в обратную сторону основному

55

полю. На рисунке показано направление вектора Âi . Зная направление вектора

Âi и применяя правило правого винта, находим направление индукционного тока в витке (см. рисунок на с. 53).

Ответ: Iк = 0,04 мкА.

2.6. Самоиндукция. Индуктивность.

Энергия магнитного поля

Потокосцепление S самоиндукции для контура с индуктивностью L, по которому протекает ток силой I, следующее:

S = LI.

ЭДС самоиндукции

	S		d S	L	dI	– мгновенное значение ЭДС самоиндукции.
			dt		dt

Индуктивность соленоида

L 0n2V ,

где n – число витков на единицу длины соленоида; V – объем соленоида.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и

индуктивностью L:

					R	t
а)	I I0		e				(при замыкании цепи),
		1			L

где I0 ER – максимальное значение тока; t – время, прошедшее после замыкания цепи;

R t

б) I I0e L (при размыкании цепи).

Потокосцепление взаимной индукции контура 2 при протекании по контуру 1

тока силой I1

21 = М21 I1,

где М21 – взаимная индуктивность двух контуров.

Энергия магнитного поля катушки

56

W LI22 .

Объемная плотность энергии магнитного поля

	BH		B2		H 2	,
					0
	2		2 0		2

где В – магнитная индукция; Н – напряженность магнитного поля.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 2. 1 4

Соленоид содержит N = 800 витков. Сердечник из немагнитного материала имеет площадь сечения S = 6,0 см2. Длина соленоида l = 40 см. По обмотке соленоида течет ток I = 2,5 А. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции, которая возникает в соленоиде, если ток уменьшается

практически до нуля за время t 0,8 мс.
Дано:	Решение:
N = 8·102	Запишем закон Фарадея для случая самоиндукции:
S = 6·10-4 м2		s			d		,		(1)
l = 0,4 м					dt
I1 = 2,5 А; I2 = 0	где – потокосцепление контура.
t 0,8 ·10-3 с	Потокосцепление конура							LI ,	(2)
= 1,0	где L – индуктивность контура.
0 = 4π·10-7 н/А2	Подставляя (2) в (1) и учитывая, что L=const, имеем
		d Li				di
Найти:	s			L					(3)
s = ?		dt				dt
– это выражение для мгновенного значения				ЭДС самоиндукции, а по условию

задачи нам надо определить среднее значение ЭДС, поэтому в законе надо использовать конечные приращения тока и времени:

	s	L	I	,	(4)
			t

57

где изменение силы тока I I2 I1 I1 , так как конечное значение силы тока равно нулю.

Выразим индуктивность бесконечно длинного соленоида через заданные

величины, учитывая, что n Nl – число витков на единицу длины соленоида,

а 1, так как по условию сердечник изготовлен из немагнитного материала.

L 0 n2V 0

N 2

Sl 0 N 2

S

.

(5)

l2

l

Подставим полученное выражение для индуктивности соленоида в

формулу (4) для расчета s :

s

0

N

2

I

S

1

.

(6)

l

t

Получим численное значение искомой величины:

4 3,14 10 7 1 64 104 6 10 4

2,5

3,8 В.

s

0, 4 0,8 10 3

Ответ: s

3,8 В.

Пр и м е р 2. 1 5

Вцепи, состоящей из катушки индуктивностью L = 1,0 Гн и сопротивлением R = 10 Ом протекает постоянный ток силой I0 = 1 А. Найдите:

1) энергию Wм магнитного поля, запасенную в катушке; 2) время t1, по истечении которого сила тока при размыкании цепи уменьшится в n = 10 раз; 3)

количество теплоты, которое выделяется в цепи за время t1 (Q1) и за все время убывания тока до нуля (Q).

58

Дано:

L = 1,0 Гн

R = 10 Ом

I0= 1 A

n II0 10

WM – ? t1 –? Q1 –? Q –?

Решение:

1. Энергию Wм магнитного поля, запасенную в катушке индуктивности, можно рассчитать по формуле

W	LI	2	;W	1 1		0,5Дж .
	0
м	2		м	2

2. Зависимость силы тока I от времени t при размыкании цепи определяется формулой

	I I0 e	R		I0		R
			t , отсюда		e		t
		L				L
				I

Прологарифмируем обе части этого уравнения:

		I0		R			R
			ln e		t , или	ln n		t , тогда
	ln			L
		I
							L

	t	L ln n		.
			R
Подставим численные значения:	t		1, 0 ln10		0, 23 c .
	1	10

3. Для вычисления Q1 воспользуемся законом Джоуля-Ленца. В нашем случае сила тока I, протекающего по цепи, изменяется с течением времени по экспоненциальному закону, поэтому выделившееся тепло за определенный интервал времени можно вычислить, только взяв интеграл

t1	t1		2R		t1	2R
Q1 I 2 Rdt I02		Re		t	dt I02 R e		t dt .
			L			L
0	0				0

Для того чтобы взять получившийся интеграл, надо умножить и разделить

подынтегральное выражение на множитель

2R

, тогда получим

L

t1

2R

t

L

t1

2R

t

2R

2

R e

2

e

Q1 I0

L

dt I

0

R

L

d

t .

0

2R

0

L

Используя табличные интегралы, получаем

I 2 L

2 R

t

Q

0

e

L

.

1

2

59

Подставляя пределы интегрирования, получим выражение для вычисления искомой величины

	I 2 L			2 R	t1
Q1	0	e		L		1 .
	2

После подстановки численных значений, получаем

		1 1					2 10	0,23
					e		1			0,5 0,99 0, 495	Дж.
Q1				1
		2

4. По закону сохранения энергии при размыкании цепи энергия магнитного поля катушки индуктивности расходуется на выделение теплоты Q

при протекании тока через сопротивление R. Q Wм 0,5 Дж .

Ответ: Wм 0,5 Дж;

t1 0,23 с;

Q1 0,495 Дж;

Q 0,5 Дж .

60