RIADred(13 variantov)2012

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание 811

1.	Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:
	1			3	5		7					1			2					2	3			3	4			4
	(a)		+		+		+			+ : : : ;		(b)			¡ µ				¶		+ µ		¶		¡ µ		¶	+ : : :
		3		9		27			81					3			5					7				9
2.	Найти области сходимости и абсолютной сходимости степенного ряда
											1 2n2 (x ¡ 1)n2 :
											n=0
											X
							1
3.	Разложить f(x) = ln										в ряд по степеням x ¡ 1. Определить область
								x2¡2x+2
	сходимости полученного ряда.
4.	Вычислить cos 100 c точностью до 0,000001.
5.	Разложить функцию F (x) = Zx p															dx в ряд по степеням x и указать
													1 + x3

0

область сходимости полученного ряда.

6. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком y 6

1

	-¼ - 2						¼	-	x
						2
¼						¼
				-1
7. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию
	f(x) = 1 ¡ x;					0 < x < 1:
8. Вычислить сумму ряда				11)n		+ 3n!i¸:
	n=1 ·		(n
1							n
	X			¡

9. Найти радиус круга сходимости и построить круг сходимости ряда

X1 2n¡1 ¢ z2n¡1

n=1 (2n ¡ 1)2 :

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание 812

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

(a) 1 +	1	+	1		+	1	+ : : : ;	(b)	1		¡	4	+	9	¡	16		+ : : :
	3a		5a			7a			3			9		27		81

2. Найти области сходимости и абсолютной сходимости степенного ряда

X1 2n(x ¡ 1)n pn :

n=1

3. Вычислить	1			c точностью до 0,0001.
	p
		e
	3

1

Z2

4. Вычислить ln(1 + x) dx; разлагая подынтегральную функцию в степен- x

0

ной ряд и беря три члена ряда. Оценить погрешность результата.

5. Найти три ненулевых члена разложения в ряд решения дифференциального уравнения y0 = y + xy2 при начальных условиях: y = 1 при x = 0:

6. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком y 6

¼

2

@						@
@							@	-			x
@		¼				¼	@
							¼	@
¡	¼@		¡2			2
		@			¡¼2			@

7. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию

f(x) =	½ 0; 0 < x < 2:
	2; 0 < x < 1;
8. Вычислить сумму ряда		¡ n! ¸:
n=1 ·n(n + 2)
1	1	2ni
X

9. Найти радиус круга сходимости и построить круг сходимости ряда

X1 (¡1)n 3n ¢ zn : n2

n=1

X1 zn

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание 813

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

(a) 1 +

1000

+

10002

+

10003

+ : : : ;

(b)

1

¡

1

+

1

¡

1

+ : : :

1

1 ¢ 2

1 ¢ 2 ¢ 3

2 ¢ 5

3 ¢ 6

4 ¢ 7

5 ¢ 8

2.Найти область сходимости и абсолютной сходимости степенного ряда x + 2x2 + 3x3 + : : : и определить его сумму.

3.

Разложить f(x) =

2

в ряд Маклорена. Определить область сходимости

1¡3x

2

полученного ряда.

Вычислить с точностью до 0,001 интеграл Z0

1

4.

3

sin(x2) dx:

5.

Разложить в ряд Zx

p

dx

и указать область сходимости полученного

1 x4

ряда.

0

¡

6.

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком

y

6

¼

@

@

@

@

@

@

@

@

@

-

¡2¼ ¡¼

0

¼ 2¼

x

7. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг

f(x) = x ¡ 1;					0 < x < 1:
8. Вычислить сумму ряда	·n! ¡			³	4	´	¸:
n=1
X		i			3		n
1

9. Найти радиус круга сходимости и построить круг сходимости ряда

n=1 (1 ¡ 3i)n :