RIADred(13 variantov)2012

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание № 801

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

1

1

5

7

9

(a) 1 +

2p

+

3p

+ : : : ;

(b) 3 ¡

+

¡

+ : : :

1 ¢ 2

1 ¢ 2 ¢ 3

1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 4

2

3

2. Найти области сходимости и абсолютной сходимости степенного ряда

X1 3n(x ¡ 1)2n :

n

n=1

3.Разложить e2x в ряд по степеням (x ¡ 3). Определить область сходимости полученного ряда.

4.Найти пять первых членов разложения решения дифференциального уравнения y00 = yex в степенной ряд с начальными условиями y = 1; y0 = 0 при x = 0.

Z0;6p

5. Вычислить c точностью до 0,001 интеграл

1 + x3 dx:

0

6. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком

y 6 1

				-		x
	-2¼	-¼	¼	2¼
			-1

7.	Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию
	f(x) = x2 + 1;						0 < x < 1:
8.	Исследовать сходимость ряда
	1			1				n
	X
		n2	¡	4n + 5		+ i	1000n + 1:
	n=1
9.	Найти и построить круг сходимости ряда
			1				zn
			X
				(3 ¡ 4i)n			n	:
			n=1

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание № 802

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

(a)

(1!)2

+

(2!)2

+

(3!)2

+ : : : ;

(b) 2 ¡

3

+

4

¡

5

+ : : :

2!

4!

6!

4

9

16

2. Найти области сходимости и абсолютной сходимости степенного ряда

X1 (2n + 1)xn :

n!

n=1

3.Разложить в ряд по степеням x функцию f(x) = ln(2 + x) и определить область сходимости ряда.

4.

Вычислить с точностью до 0,001 интеграл Z01

e¡x2 dx:

5.

Показать, что ряд

sin 2x

sin 3x

sin x +

+

+ : : :

22

32

абсолютно сходится при любом вещественном значении x:

6.

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком.

y

6

2

-

x

-2¼

-¼

¼

2¼

7. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию

f(x) = x2 + 1;

8. Исследовать сходимость ряда

X1 1

n=1 n2 ¡ 4n + 5

0 < x < 1:

n

+ i1000n + 1:

9. Найти и построить круг сходимости ряда

1	zn
X
(3 ¡ 4i)n	n	:
n=1

(¡1)n¡1

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание № 803

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

(a)

1

+

1

+

1

+ : : : ; (b)

cos e

¡

cos 2e

+

cos 3e

¡

cos 4e

+ : : : ;

1 ¢ 11

2 ¢ 12

3 ¢ 13

e

e2

e3

e4

где e = 2; 71828.

2. Определить области сходимости и абсолютной сходимости степенного ря-

да

1 ¡ 3x2 + 5x4 ¡ 7x6 + : : :

и найти его сумму.

3. Разложить в ряд Маклорена функцию sin(x2). Какова будет погрешность, если за приближенное значение этой функции на отрезке [0; ¼4 ] принять сумму четырех первых членов полученного разложения?

4. Найти три ненулевых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y0 = e2xy + 1 при начальных условиях: y = 0

при x = 0.

p

5. Взяв два члена биномиального ряда, вычислить 3 130: Оценить погрешность приближенного значения этого корня.

6. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком

y 6 1

					-		x
-23 ¼		-	¼	¼		23 ¼
			2	2
				-1

7. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг.

f(x) = x2; 0 < x < 2:

8. Установить сходимость ряда и найти его сумму.

X1 51n + i(n ¡ 1)!2n¡1 :

n=1

9. Найти и построить круг сходимости ряда

1	n
X		(z ¡ 3 + 4i)n:
n=1	2n + 1

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание № 804

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

(a)

2

+

4

+

8

+ : : : ;

(b)

ln 2

¡

ln 3

+

ln 4

¡

ln 5

+ : : :

1 ¢ 2

1 ¢ 2 ¢ 3

1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 4

2

3

4

5

2. Найти области сходимости и абсолютной сходимости степенного ряда

X1 n3n(x + 1)n : 4n2 + 1

n=1

3.Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = sin (x + ¼4 ): Определить область сходимости полученного ряда.

0;25e¡x

4.

Вычислить c точностью до 0,001 интеграл

0Z;1

dx:

x

5.

Взяв два члена биномиального ряда, вычислить p3

: Оценить погреш-

400

ность приближенного значения этого корня.

6.

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком.

y

6

@

¡@

¼

¡@

¡

@

¡ @

¡

@

¡

@ ¡

@

¡

@

¡

-

@¡

@¡

@¡

x

-2¼ -¼

¼

2¼

7.

Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию

f(x) = 1 + 3x;

0 < x < 1:

8.

Установить сходимость ряда

µn + 1¶

n=1 tg4n + i

:

1

¼

n

n

X

9. Найти и построить круг сходимисти ряда

X1 (z + i)n : n=1 2n(1 ¡ i)n

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание № 805

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

	1	+ µ	2	¶	2	+ µ	3	¶	3	sin 2®		sin 3®		sin 4®
(a)									+ : : : ; (b) sin ® ¡		+		¡			+ : : :
	2		3				4			4		9		16

2. Найти области сходимости и абсолютной сходимости степенного ряда

n=1	µ2 + n2 ¶			2n	:
1		1 + n		(x + 2)n
X

3.Найти в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения y0 = y2 + x3 при начальных условиях: y = 12 при x = 0:

4.Разложить в ряд по степеням x функцию f(x) = e¡3x и найти область сходимости полученного ряда. Какова будет погрешность, если за приближенное значение e¡3x на отрезке [0,1] принять сумму первых четырех членов полученного разложения?

0;5

5.

Вычислить приближенно интеграл Z0

p

dx

; взяв два члена разложе-

1 + x3

ния в ряд подынтегральной функции. Оценить погрешность полученного

результата.

6.

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком.

y

6

¡

¼ ¡

¡

¡

¡

¡

-

x

¡

¡

¡

¡ -2¼ -¼ ¡

¼

¡

2¼

¡

¡

-¼

¡

7.

Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию

f(x) = j sin xj:

8.

Установить сходимость ряда и найти его сумму.

1

1

+ i

(¡1)n+1

:

n=1 n(n + 1)

2n¡1(n

¡

1)!

X

9.

Найти и построить круг сходимисти ряда

X1 zn n=1 n(3 ¡ 2i)n :

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание № 806

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

2

4

8

1

2

3

4

(a) 1+

p

+

p

+

p

+: : : ;

(b)

¡

+

¡

+: : :

2

1 + 24

1 + 34

1 + 44

5 ¢ 5

9 ¢ 52

13 ¢ 53

2. Найти области сходимости и абсолютной сходимости степенного ряда

1	n	xn
X	(¡1)	2np3		:
n=2			n

3.Разложить в ряд по степеням x функцию f(x) = ln(x + 10) и определить область сходимости полученного ряда.

	0;5	arctg x
	4. Вычислить приближенно интеграл Z		dx с точностью до 0,01.
		x

0

p

5. Взяв два члена биномиального ряда, вычислить 3 220. Оценить погрешность полученного результата.

6. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком.

			y	6
				¼
				2
@	¡		@		¡		@	¡
@	¡	@		¡		@		¡
@¡		@¡				@¡ -			x
		-¼
-2¼	-3¼				¼	3¼		2¼
	2	2			2	2

7.	Разложить в		ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию
	f(x) = cos x		в промежутке		¡	0; ¼ .
8.	Установитьj	сходимостьj		ряда		2 ¢

X1 1

n=1 (n + 1) ln2(n + 1)

9. Найти и построить круг сходимисти ряда

X1 (z ¡ 2i)n n=1 (p3 ¡ i)n :

+in3 :

2n

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание 807

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды :

(a)	1	+	1	+	1	+ : : : ;	(b) 1 ¡	3		+	4	¡	5		+ : : :
	1 ¢ 3		2 ¢ 4		3 ¢ 5			4			8		16

2.Определить области сходимости и абсолютной сходимости степенного ряда 1 + x + x22 + x33 + : : : и найти его сумму.

3.Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = sin2 x и определить область сходимости полученного ряда.

4.Найти три ненулевых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y0 = x2y2 ¡ 1 при начальных условиях: y = 2 при x = 0:

¼=4
5. Вычислить приближенно интеграл Z	cos x	dx; беря сумму первых трех
	x

¼=6

членов разложения в степенной ряд подынтегральной функции. Оценить погрешность полученного результата.

6. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком.

				y	6
					¼
		@	¡			@	¡
					2
		@	¡			@	¡
		@¡				@¡	-			x
-3¼		-¼ -¼			¼	¼	3¼
2			2		2		2

7. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию

f(x) = x; 0 < x < 2:

8. Доказать абсолютную сходимость ряда

1		¼		¼
X		³sin				´:
n=1	1			+ i cos
	3n		n		n

9. Найти и построить круг сходимости ряда

1			n n
X		¢
	(z + 2)p¢			2		:
					n
n=1	(1 + i		3)

X1 3n(x + 1)n p

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание 808

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

		7			22 + 52			23 + 53	1		1		1		1
	(a) 1 +			+			+		+ : : : ; (b) p		¡ p		+ p		¡ p		+ : : :
		10			102			103
										2		4		6		8

2. Найти области сходимости и абсолютной сходимости степенного ряда

n=1 (3n ¡ 2):

3.Разложить в ряд по степеням x функцию f(x) = cos2 x и найти радиус сходимости полученного ряда.

4.Найти в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения

y0 = y2 + cos x; удовлетворяющее начальным условиям: y = 0 при x = 0 (определить три ненулевых члена).

	1=3
5. Вычислить сточностью до 10¡3	Z0	p	dx	:
			1 + x4

6. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком

y

6

¡

¼

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

-

¡2¼¡¼

0

¼

2¼

x

7.Разложить по синусам кратных дуг функцию f(x) = 2x ¡ 3; 0 < x < 1:

8.Установить сходимость и найти сумму ряда

	X				¡
	1	1		( 1)(n+1)		(¼)2n¡1
	n=1 µ		+ i	¡
		2n		(2n 1)!62n¡1

9. Найти и построить круг сходимости ряда

X1 2n ¡ 1 zn:

n=1 2n2 + 1

¶

:

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание 809

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды.

(a) sin

¼

+ 2 sin

¼

+ 3 sin

¼

+ : : : ;

(b) 1 ¡

1 + 2

+

1 + 3

¡

1 + 4

+ : : :

3

9

27

1 + 22

1 + 32

1 + 42

2. Найти области сходимости и абсолютной сходимости степенного ряда

X1 µn + 1¶n (x ¡ 1)n: n

n=1

p

3. Используя подходящее разложение в ряд Маклорена, вычислить 3 130 с точностью 10¡4.

4. Разложить функцию f(x) = 2x по степеням разности (x ¡ 2). Определить область сходимости ряда.

Z0;5

5. Вычислить интеграл arcsin x dx; разлагая подынтегральную функцию

0

в степенной ряд и беря два члена разложения. Сравнить с точным значением интеграла полученный результат.

6. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком

y

6

¡

¼

¡

¡

2

¡

¡

¡

¡

-

x

¡

¡

¼

¼

¡

¼

¼

¡

2

2

¡

¡¡

¡¼2

¡

¡

¡

7.	Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию
	f(x) = x2; 0 < x < 2¼:
8.	Установить сходимость ряда и найти его сумму.
	1		1	+ i	(¡1)n¡1¼2n¡2				:
	X
		µ2n			(2n	¡	2)!32n¡2		¶
	n=1

9. Определить и построить круг сходимости ряда

X1 zn(3 ¡ i)n : n=1 (n + 1)!

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Уральский государственный технический университет Кафедра прикладной математики

Домашнее задание 810

1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:

(a)

1 ¢ 2

2 ¢ 3

+

3 ¢ 4

4 ¢ 5

+ : : : ;

(b)

1

+

2!

+

3!

+

4!

+ : : :

3

¡

32

33 ¡ 34

2

3

4

5

2. Найти сумму, а также области сходимости и абсолютной сходимости ряда

	(x	¡	1)	¡	(x ¡ 1)2	+	(x ¡ 1)3	¡	(x ¡ 1)4	+ : : :
					2		3		4

3.Используя подходящее разложение в ряд Маклорена, вычислить arctg1=2 с точностью 10¡3.

4.Найти три ненулевых члена степенного ряда, задающего решение дифференциального уравнения y0 = xy + y2 при начальных условиях: y = 1 при x = 0:

p

3

5. Вычислить приближенно интеграл Z0

3

x3arctgx dx; с точностью 10¡4.

6. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиком

y

6

¼

@

¡@

¡

@

¡ @

¡

¡

@

¡

@

¡

@

¡

@

@¡

@¡

-

x

-2¼

-¼

¼

2¼

7. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию

f(x) = 4 ¡ 2x; 0 < x < 2:

8. Вычислить сумму ряда

n=1 µ2n 1 n! + 3in ¶:

1

X

¢

9. Найти радиус круга сходимости и построить круг сходимости ряда

X1 zn :

n=1 n!