POLEred_061211(14 variantov)

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 911

1.Скалярное поле определено функцией ' = x2 ¡ 2y2 + z2 . Найти градиент функции ' и построить поверхности уровня для : ' = = 0 ; ' = §1 ; ' = §4 .

2.	Найти производную функции ' =			4 + x2 + y2 ¡ z2 в т. A(2,1,1) в
	AB		p
	направлении ¡! , где B(1,0,1) .
			~ ~
3.	Показать, что поле вектора ~a =		xi+yj+z~·		потенциально и найти
		(x2+y2+z2)3

его потенциал. Ответ проверить.

4.Определить векторные линии поля градиентов функции ' = x2+ +yz + y ¡ z:

5.	Показать, что поле вектора ~a =		1~	1		x	~	y	~· является по-
			y i + (z		¡ y2 )j ¡ z2
	тенциальным и вычислить линейный интеграл этого вектора от т.
	A(-2,-3,-1) до т. B(4,6,2).
6.	Найти поток вектора ~a = xy	2~	~	2	~· через:
		i ¡ yj + zx

(a) полную поверхность цилиндра x2 + y2 = 1 ; z = 0 ; z = h;

(b) верхнее основание этого цилиндра в отрицательном направлении оси OZ.

7.	Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = (4x		2	2	~		¡
				+ x	y)i
	4y	2~				2
		j + z~·; принимая за контур интегрирования - окружность x					+

y2 = a2 ; z = 0; а за поверхность интегрирования - часть поверхности цилиндра x2 + y2 = a2 , 0 · z · 4:

8.При каком значении n поле вектора ~a = z~rn будет соленоидальным.

9.Доказать формулу rot ( '¢~a ) = ' rot~a+[ grad ' ;~a] , где ' -скалярная функция, ~a - переменный вектор.

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 912

		Скалярное поле определено функцией ' = ep									: Найти гра-
	1.								x2+y2+z2
		диент поля в точке А(1,0,-1). Построить поверхности уровня для:
		' = 1 ; ' = e ; ' = 4:
	2.	Найти производную функции ' = arctgx				+		z		в точке A(1,0,1) в
							x¡y
		AB			z
		направлении ¡! , где B(3,-2,2) .
			2~	2~	2	~·
	3.	Показать, что поле вектора ~a =	x i+y j+z				потенциально и найти
			x3+y3+z3

его потенциал. Ответ проверить.

4.Определить векторные линии поля градиентов функции

' = x2 + y2 + z2 ¡ 2x + 2y ¡ z .

5.Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = (y ¡

~	~
1)i	+ (x ¡ 2)j¡

¡z~· по дуге окружности x = a ; y = a cos t ; z = a sin t; лежащей в первом октанте от т. А(a,a,0) до т. В(a,0,a).

~~ 2

6.Вычислить поток вектора ~a = (y + x)i ¡ (y + z)j + (x + z )~· через:

(a)полную поверхность пирамиды, вершины которой S(0,0,0), A(3,0,0), B(0,3,0), C(0,0,3);

(b)грань ASC в положительном направлении оси OY.

7. Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = (4x						2	2	~
							+ x	z)i+
~		¡4	2	~·;	принимая за контур интегрирования - окружность				x	2
yj			z								+
+	2
+z		= 9 ; y			= 1, а за поверхность - часть поверхности цилиндра

x2 + z2 = 9; 1 < y < 5 и y = 5:

8.Определить дивергенцию и вихрь поля вектора ~a = r~r3 :

9.Доказать формулу rot ( ' ¢~a ) = ' rot~a + [ grad ' ¢~a ]; где ' - произвольная дифференцируемая функция.

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 913

1. Скалярное поле определено функцией ' = arcsin		p	z	: Найти
			x2+y2
градиент функции и построить поверхности уровня для: ' =					§	¼ ;
' = ¼ ; ' = ¼ :						4
6	3

2. Найти производную функции ' = ln r в точке A(1,2,2) в направле-

¡!

нии AB; где B(4,2,2).

y	~	x		1 ~		xy
3. Показать, что поле вектора ~a = (z	¡ 1)i	+ (z	+		)j	+ (1 ¡ z2 )~·
				y2

потенциально и найти его потенциал. Ответ проверить.

~~ 2

4.Найти векторные линии поля ~a = yi + xj + (x ¡ y) ~·:

5.Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = (2xy ¡

~	2 ~
z)i	+ x yj+

+(2z ¡ x)~· по дуге окружности x = a ; y = a cos t ; z = a sin t; расположенной в 1 октанте от т. A(a,a,0) до т. B(a,0,a).

~2~

6.Вычислить поток вектора ~a = 3xi ¡ 2y j + 7z~· через:

(a)полную поверхность цилиндра x2 + z2 = 9 ; y = 0 ; y = 4;

(b)основание этого цилиндра , лежащее в плоскости y = 4:

7. Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = yz	2~	2~
	i	+ zx j +

xy2~·; принимая за контур интегрирования - окружность x2 + y2 = 16 ; z = 4; а за поверхность интегрирования - любую поверхность, проходящую через эту окружность.

8.Вычислить дивергенцию и вихрь вектора ~a =

9.Найти rr f ( r ) или div ( grad f ( r )) , где r каком случае div ( grad f ( r )) = 0?

~r¢lnr r :

p

=x2 + y2 + z2 . В

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 914

1.Скалярное поле определено функцией ' = arcsin j~r j, где ~r - радиусвектор точки. Найти градиент поля и построить поверхности уровня для: ' = §¼4 ; ' = ¼3 ; ' = ¼2 :

2.Найти производную функции ' = qxy + pyz + pxz в т.A(1,1,1) в

¡!

направлении AB; где B(3,3,0).

~~ y

3.Показать, что поле вектора ~a = yi + (z1 ¡ yx2 )j ¡ z2 ~· потенциально и найти его потенциал. Ответ проверить.

~~

4.Найти векторные линии поля ~a = (y ¡ 2)i + (x ¡ 2)j + (z + 2)~·:

5.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = 2xy

2

z

2~

i+

2yz

2

2~

x j+

+2zx2y2~· по прямой от т. M(2,0,1) до т. N(4,2,3).

6.

Найти поток вектора ~a = 2y

2~

2~

2

~· через:

i + x j + 4z

(a) полную поверхность конуса x2 + y2 = z2 ; z = 1;

(b) основание этого конуса.

7.

Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = yz

2~

2~

i + zx j+

+xy2~· , принимая за контур интегрирования - часть параболы x2+

+y = 4 ; z = 1 и замыкающей ее прямой y = 0 ; z = 1; а за поверх-

ность интегрирования - любую поверхность, проходящую через эту

линию.

8.

~

~

Найти rot [~a¢f ( r ) ] , где ~a = yi¡2j +xz~· , ~r - радиус-вектор точки,

a f ( r ) - произвольная дифференцируемая функция.

~~ e ~r

9.Найти (r E) , где E = r3 - вектор напряженности электростатического поля, образованного одним зарядом электричества е, помещенным в начале координат.