POLEred_061211(14 variantov)

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 901

1. Скалярное поле определено функцией ' = x42 + y92 + z42 : Найти градиент поля и построить поверхности уровня для : ' = 0 ; ' = = 1 ; ' = 4 ; ' = 5 :

2. Найти производную функции ' = xz2 + (1 ¡ xy )z2 + py z в точке A

¡!

(1,1,0) в направлении AB , где B(3,2,2) .

2x	~	x2~	2	~· потенциально
3. Показать, что поле вектора ~a = ( y	+ 1)i	¡ y2 j ¡ 6z

инайти его потенциал. Ответ проверить.

~2~

4.Найти векторные линии поля ~a = (z ¡ 1)i + (z ¡ x) j + (x ¡ 1)~·.

~~

5.Найти криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = yzi ¡ xzj по

дуге винтовой линии x = r cos t ; y = r sin t ; z = 28¼t ; от точки пересечения кривой с плоскостью z = 0 до точки ее пересечения с плоскостью z = ®.

~~ 2

6.Найти поток вектора ~a = 3xi ¡ 4yj + 7z ~·

(a)через поверхность сферы x2 + y2 + z2 = 1 ;

(b)через площадь круга x2 + y2 = 34 , z = 12 , в положительном направлении оси OZ .

~~

7.Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = yi+xj +(x¡y)~·; принимая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащую

в1-м октанте и образованную частями сферы x2 + y2 + z2 = a2 и плоскостей x = 0 ; z = 0 ; а за контур – линию пересечения этой поверхности с плоскостью y = 0.

8.Доказать формулу div (' ~a) = ' div (~a) + ~a grad ' , где ' - дифференцируемая функция.

9.Найти ( r ¢ ~a ) и [ r £ ~a ] для поля вектора ~a = ~c sin r , где ~c - постоянный вектор, ~r - радиус-вектор точки.

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 902

1.	Скалярное поле определено функцией ' =				12 z		: Найти градиент
					2	2
					x +y
	поля и построить поверхности уровня для : ' = 0 ; ' = §1 ; ' =
	= §3 :
2.	Найти производную функции ' = y2		+ y2	+ z22			в точке A(1,0,1) в
	AB	x	z		x
	направлении ¡! , где B(2,2,3) .
3.	y		~		x~		x y
	Показать, что поле вектора ~a = (z	+ 2 x)i + z j ¡ z2 ~· потенциально

инайти его потенциал. Ответ проверить.

~~

4.Найти векторные линии поля ~a = (z ¡ y)i + (z + 1)j + (y + 1)~·.

~z2~ y2

5.Найти криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = yzi+ x j+ x ~· по дуге окружности x = 4 ; y = 4 cos t ; z = 4 sin t; лежащей в первом октанте от т. А (4,4,0) до т. В (4,0,4).

~~ 2

6.Найти поток вектора ~a = 2x i ¡ (x + y) j + z ~· через :

(a)полную поверхность цилиндра x2 + z2 = 4 ; y = 0 ; y = 2 ;

(b)основание этого цилиндра , лежащее в плоскости y = 2 , в положительном направлении оси OY .

~~

7.Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = yi + xj + (x ¡y)~· принимая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащую

в1-м октанте и образованную частями сферы x2 + y2 + z2 = a2 и плоскостей y = 0 ; z = 0 ; а за контур – линию пересечения этой поверхности с плоскостью x = 0.

8. Найти div [~a £~c] , где ~a = r~r4 (~r - радиус - вектор точки поля) , ~c - постоянный вектор .

~

9. Найти (r¢~a) и [r£~a] для поля вектора ~a = ( 2x~¶+3y j+z ~· ) cos j~r j ; где ~r - радиус-вектор точки.

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 903

1. Скалярное поле определено функцией ' = 4x2+(y¡1)2 : Найти гра-

z2

диент функции и построить поверхности уровня для ' = 0 ; ' = 1 ; ' = 4 :

2. Найти производную функции ' = yz2 +

¡¡!

в направлении MN , где N(1,4,5).

~

3. Показать, что поле вектора ~a = yz i+zx

1+x2

его потенциал. Ответ проверить.

xy2 ¡xyz + 1 в точке M(2,2,3)

~

j+xy ~· потенциально и найти

y2z2

4.

Найти векторные линии поля градиентов функции ' = x + x z +

21 y2 ¡ z .

5.

Найти циркуляцию вихря вектора ~a = yz

2~

2 ~

2

~· по контуру,

i+x zj+xy

состоящему из дуги параболы y = x2 ;

z = 0 и отрезка прямой

y = x, в положительном направлении .

6.

~

Найти поток поля вектора ~a = 7x~¶ + yj + (x + z)~· через :

(a) полную поверхность тела , ограниченного параболоидом z =

x2 + y2 и плоскостью z = 9 ;

(b) площадь круга x2+y2 = 9 , z = 9 в отрицательном направлении

оси OZ .

7.

Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = 3y

2~

2~

2

~·;

i¡3z

j+3x

принимая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащую

в 1-м октанте и образованную частями сферы x2 + y2 + z2 = 4 и

плоскостей x = 0 ; y = 0 ; а за линию интегрирования – линию

пересечения этой поверхности с плоскостью

z = 0.

8.

Вычислить div [ f ( r ) ¢ ~r ] , где

f ( r ) =

sin r

. Доказать , что про-

r

~a

f

r

) ¢

~r

странственное поле вектора c

=

(

будет соленоидальным

только тогда, когда f ( r ) =

:

r3

9. Найти [r£ j~a~r j

~	~
] , где ~a = 2y i	+z j +3x~· , ~r - радиус-вектор точки.

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 904

1. Скалярное поле определено функцией ' = y¡z2 : Найти градиент

x2

поля и построить поверхности уровня для : ' = 0 ; ' = §1 ; ' = = §12 :

2. Найти производную функции ' = xy2 + y2+4y z2 ¡ zx в точке A(3,2,0)

¡!

в направлении AB , где B(5,4,1) .

1~ x ~

3.Показать, что поле вектора ~a = (yz + y )i + (xz ¡ y2 )j + xy~· потенциально и найти его потенциал. Ответ проверить.

4.Найти векторные линии поля градиентов функции y = x2 + y2 + z2 ¡ 2x + 2y ¡ z.

22 ~

5.Найти криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = z y~¶+x zj + y2x~· по прямой от т. M(2,3,-1) до т. N(4,6,-2) .

6. Найти поток вектора ~a = 3xy	2~	2~
	i	+ 3yx j + (5z + y)~· через :

(a) полную поверхность цилиндра x2 + y2 = 1 ; z = 0 ; z = 2 ;

(b) основание этого цилиндра, лежащее в плоскости z = 2 в положительном направлении оси OZ .

~~ 2

7.Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = zi+xj+(x¡y) ~·, принимая за контур интегрирования - окружность x = b cos t ; y = 0 ; z = b sin t, а за поверхность интегрирования часть плоскoсти X0Z, ограниченную окружностью.

8.Вычислить rot ( f ( r ) ¢ ~r ) , где f ( r ) - произвольная дифференцируемая функция от r .

9.Для поля вектора ~a = r~r3 найти потенциал , дивергенцию , вихрь и векторные линии , где ~r - радиус-вектор точки .

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 905

1. Скалярное поле определено функцией ' = 3y2+x : Найти градиент

z2

поля и построить поверхности уровня для : ' = §3 ; ' = 0 ; ' =

= §1 :

2.Найти производную функции ' = yx2 ¡ y2z+x + z3xy в т.A(0,1,2) в направлении , составляющем с осями координат углы ® = 600 ; ¯ = 450 ; ° - ? , зная , что ° > 900 .

			y	~	x	1 ~				xy
3.	Показать, что поле вектора ~a = (z			+ z)i + (z		¡		)j + (x ¡ z2 )~·
							y2
	потенциально и найти его потенциал. Ответ проверить.
4.	Найти векторные линии поля градиентов функции ' = y + yz +
	21 x2 ¡ z .
5.	Найти криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = yz								2~	2 ~
									i+x zj +
	xy2~· по прямой
	x = a t ; y = b t ; z = c t от т. M(a,b,c) до т. N(2a,2b,2c) .
6.	Найти поток вектора ~a = 2y	2~	2~
		i + x j + 4xz~· через :

(a) полную поверхность призмы , получающейся при пересечении плоскостей x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; z = 2 ; x + y = 3 .

(b) сечение призмы плоскостью x = y в положительном направлении оси OX .

~	~
7. Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = yzi	+(xz +4x)j +

xy~· принимая за контур интегрирования - эллипс 4x2 +y2 = 4 ; z =

(4x2 + y2 = 4 ;

0 · z · 2 ; z = 2 :

8.Непосредственным вычисланием показать что поле градиентов ска- лярной функции ' = 6x3y ¡ 2xy4 + z4x2y - безвихревое .0 , а за поверхность интегрирования - часть поверхности цилиндра

9. Дано поле вектора ~a = ~c sin r , где ~c - постоянный вектор , ~r - радиус-вектор точки . Найти ( r ¢ ~a ) и [ r £ ~a ] .

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 906

1. Скалярное поле определено функцией ' = ln j~r j , где ~r - радиусвектор точки поля . Найти градиент поля и построить поверхности уровня для : ' = 0 ; ' = §1 ; ' = §2 :

2. Найти производную функции ' = xz22 + zy3 + xyz в точке A(0,1,1) в

¡!

направлении AB, где B(6,7,8) .

1z ~ 1 x ~ 1 y

3.Показать, что поле вектора ~a = (y ¡ x2 )i + (z ¡ y2 )j + (x ¡ z2 )~· потенциально и найти его потенциал. Ответ проверить.

4.Найти векторные линии поля градиентов функции ' = z2 + xy + x ¡ y:

x2~

5. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = z i +

x2~

z j + xy~· по дуге окружности x = cos t ; y = sin t ; z = 1; лежащей

в1 октанте , от т.A(1,0,1) до т.B(0,1,1).

~2~

6.Найти поток вектора ~a = 2yi ¡ 2x j + 4z(x ¡ 1)~· через :

(a)полную поверхность цилиндра x2 + y2 = 4 ; z = 0 ; z = 4 ;

(b)сечение этого цилиндра плоскостью z = 0 .

~~

7.Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = (y ¡z)i + zj + y~· принимая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащую

в1-м октанте и образованную частями параболоида y = 9 ¡ x2 ¡ z2 и плоскостей x = 0 ; z = 0 , а за контур – линию пересечения этой поверхности с плоскостью y = 0 .

~ ~ ~ ~ ~ ~

8. Найти div [~a £ [ ~r £ b ]] , где ~a = i + j ¡ ~· , b = i + 2j ¡ 4~· , а ~r - радиус-вектор точки .

~~

9.Найти rot~a и ( r ¢ ~a ) для поля вектора ~a = (3xi + 2yj + z~·) sin r , где ~r - радиус-вектор точки .

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 907

1. Скалярное поле определено функцией ' = 9x2+y2¡1 . Найти гради-

z2

ент поля и построить поверхности уровня для : ' = 0 ; ' = 1 ; ' =

= 9 .

2.Найти производную функции ' = yz2 ¡ 2xzy + z2y в точке M(3,1,1) в направлении, составляющем с осями координат углы ® = 600 ; ¯ < < 900 ; ° = 600 .

z~ 1 ~ 1 y

3.Показать, что поле вектора ~a = (y ¡ x2 )i + (x + z )j + (x ¡ z2 )~· потенциально и найти его потенциал. Ответ проверить.

4.Найти векторные линии поля градиентов функции ' = y2 + xz + x ¡ z:

~~

5.Найти криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = xi ¡ yj + (x + y ¡ 1)~· по ломаной OAB, где O(0,0,0), A(1,1,1), B(2,3,4).

~

6. Найти поток вектора ~a = xy~¶ + yzj + xz~· через :

(a) полную поверхность цилиндра x2 + y2 = 4 ; z = 0 ; z = 2 ;

(b) верхнее основаеие этого цилиндра в положительном направлении оси OZ .

2~ 2 ~

7.Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = 3x zi + 3y xj + 3z2y~· принимая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащую в Y октанте и образованную частями параболоида z = ¡1 + x2 + y2 и плоскостей z = 0; y = 0; а за линию интегрирования – линию пересечения этой поверхности с плоскостью x = 0.

8.Доказать формулу rot('¢~a) = 'rot~a+[ grad ' £~a ]; где ' -скалярная функция, ~a - переменный вектор .

9.Вычислить div ( cos r ¢~c ) , где ~c - постоянный вектор , ~r - радиусвектор точки.

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 908

1.Плоское скалярное поле определено функцией ' = ln 1r , где r - длина радиуса-вектора точки. Найти градиент ' и построить поверхности уровня для : ' = 0 ; ' = 1 ; ' = ¡2 .

2. Найти производную функции ' = arcsin	p	x	в точке M(1,1,1) в
		x2+y2
MN
направлении ¡¡! , где N(3,-1,3) .

1~ ~ x

3.Показать, что поле вектора ~a = (z cos x + z )i ¡ sin yj + ( sin x ¡ z2 )~· потенциально и найти его потенциал. Ответ проверить.

4.Найти векторные линии поля градиентов функции ' = x2 + yz + y ¡ z:

5.	Найти криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = yz				2~	2 ~
					i+x zj +
	y2x~· по прямой x = 2t ; y =	t	; z = t от т. M(2; 1	; 1) до т. N(4,1,2).
	2		2
6.	~		~
	Найти поток вектора ~r = xi + yj + z~· через :

(a) полную поверхность тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 = z ; z = 2 ;

(b) площадь круга x2 + y2 = 2 ; z = 2 .

2~ 2 ~

7.Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = y zi + z xj + x2y~·; принимая за контур интегрирования - окружность x2 + y2 = 4; z = 2; а за поверхность интегрирования - круг ограниченный этой окружностью .

8.Вычислить дивергенцию и вихрь вектора ~a = ~rr :

9.Доказать формулу: grad ( ' ¢ à ) = ' grad à + à grad ' и проверить, что rot gradà = 0:

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 909

1.Скалярное поле определено функцией ' = arcsin x2x2++2yz2 . Найти его градиент и построить поверхности уровня для : ' = §¼4 ; ' = §¼6 .

2.Найти производную функции ' = xy2 + yz2 + zx2 ¡ x2yz в т.A(1,2,1) в направлении, образующем равные острые углы с осями координат.

3.Показать, что поле вектора

p

y ~

p

z ~

x

~a = ( z +

2p

)i + ( x +

)j + (p

y

+

2p

)~·

2p

x

z

y

потенциально и найти его потенциал. Ответ проверить.

~~

4.Найти векторные линии поля ~a = y(z ¡ 1)i + x(z ¡ 1)j ¡ xy~· .

~~

5.Найти криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = yi ¡ xj + z~·

вдоль замкнутой линии, составленной из отрезков осей координат и дуги кривой x = a cos3 t; y = a sin3 t; z = 0 между точками A(a,0,0) и B(0,a,0) .

~~ 2

6.Найти поток вектора ~a = xi + yj + z ~· через :

(a)полную поверхность конуса x2 + y2 = z2 ; z = 2 (z > 0) ;

(b)основание этого конуса .

7.	Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = yz	2~	2~
		i + zx j+
	+xy2~· , принимая за контур интегрирования - окружность x2 +y2 =
	9; z = 1; а за поверхность интегрирования - любую поверхность,
	проходящую через эту окружность.
8.	Найти (r¢~a) и [r£~a] для вектора ~a = r3 ~r , где ~r - радиус-вектор
	точки.

9.Доказать формулу div (à grag Ã) = à 4 à + ( grad à )2; где à - произвольная дифференцируемая функция.

Министерство общего и профессионального образования РФ Уральский государственный технический университет

Теория векторного поля

Домашнее задание 910

1. Скалярное поле определено функцией ' = arctg2x+z2 . Найти его

x2+y2

градиент в т. M(0,1,1) и построить поверхности уровня для: ' =

§¼4 ; ' = §¼6 .

2.Найти производную функции ' = ln( xy ) + p3 xz + yz в т.A(-1,-2,-1) в направлении, составляющем равные тупые углы с осями координат.

x1 ~ 1 1 ~ z x+y

3.Показать, что поле вектора ~a = (e + z )i + (z + y )j + (e ¡ z2 )~· потенциально и найти его потенциал. Ответ проверить.

~~

4.Найти векторные линии поля ~a = x¡i 2 + y¡j 1 ¡ ~·z :

2~

5.Найти криволинейный интеграл 2-го рода вектора ~a = (yz ¡ x )i +

(xz¡

2 2

~

¡y )j+(xy¡z )~· по дуге окружности x = r cos t ; y = r sin t ; z = 0;

лежащей в 1 октанте, от т. M(r,0,0) до т. N(0,r,0).

~~ 3

6.Найти поток поля вектора ~a = yi + xj + z ~· через :

(a)	поверхность сферы x2 + y2 + z2 = 9;
(b)	сечение этой сферы плоскостью x = p		:
		5

~~

7.Проверить формулу Стокса для поля вектора ~a = (y¡z)i+(z¡x)j+ +(x ¡ y)~·; принимая за контур интегрирования - окружность x2+ +y2 = a2; z = 0; а за поверхность интегрирования - любую поверхность, проходящую через эту окружность.

8. Найти rot ( r2 ¢ ~r ) , где ~r - радиус-вектор точки.

23 ~ 3 ~ 2 2 2

9.Для поля вектора ~a = (3x y + 2xz )i + (x ¡ 2yz)j + (3x z ¡ y )~·

вычислить ( r ¢ ~a ) , [ r £ ~a ] и r ( r ¢ ~a ) или grad ( div~a ):