- •Раздел 10. Кратные интегралы. §. Начальные понятия и определения
- •§. Определение кратного интеграла
- •§. Свойства кратных интегралов.
- •§. Замена переменных в кратных интегралах.
- •§. Криволинейные интегралы 1го рода.
- •§. Криволинейные интегралы 2го рода.
- •§. Условия независимости криволинейного интеграла 2го рода от пути интегрирования.
- •Если u(X, y, z) такая, что,
- •§. Задача о нахождении площади поверхности.
- •§ .Поверхностные интегралы 2рода.
- •§. Скалярные поля.
- •§. Векторные поля.
- •§. Теорема Гаусса-Остроградского.
- •§. Теорема Стокса.
- •§. Задача о движении твердого тела.
- •Криволинейные и поверхностные интегралы
§. Криволинейные интегралы 2го рода.
Def :Пусть вЕ3задана вектор-функция,и при этомx(t),y(t),z(t)C[a,b],C1[a,b], т.е. вЕ3задана гладкая криваяL.
Пусть на кривой Lзадана векторная функция:
.
Рассмотрим промежуток [a,b] изменения параметраt , и на [a,b] зададим разбиениеPс отмеченными точками ξ, т.е. зададим (P,ξ). Разбиение (Р,ξ) отрезка [a,b] индуцирует разбиение кривойLс отмеченными точками. И рассмотрим:
.
Если такой предел существует, то он называется криволинейным интегралом 2города и обозначается:.
Геометрический смысл криволинейного интеграла 2города – работа силового полявдоль кривойL.
10. Если ,и при этомx(t),y(t),z(t)C[a,b],C1[a,b],
=
= .
Эта формула дает способ вычисления криволинейного интеграла 2города сведением к интегралу Римана, и следует из определения, в котором в левой части фактически записана интегральная сумма для интеграла стоящего в правой части.
20. Формула для вычисления криволинейного интеграла 2-города:
.
Здесь – единичный вектор касательной к кривой, а– его направляющие косинусы.
30. .
40. Формула Грина.ПустьG– плоская область и γ – кусочногладкий контур, являющийся границей областиG. Пусть взаданыP(x,y) иQ(x,y), непрерывные вGвместе си. Тогда: .
З амечание:γ+- означает, что контур γ проходится в положительном направлении – т.е. против часовой стрелки (при обходе контура левая рука все время находится в области.
Δ. Рассмотрим:
= .
Здесь учтено, что интегралы иравны нулю из-за того, что на промежуткахBCиDA.
Таким образом: =. Аналогично: =.
После сложения двух полученных формул, получаем доказываемую формулу. ▲
Примеры :
10.Вычислить, если криваяLсоединяет точки от (0,0) до (1,1).
a.y =x;б.y =x2;в.x =y2.
а). J = .
б). J= .
в). J =.
Выясняется, что интегралы получаются разные, т.е. значение интеграла зависит не только от начальной и конечной точек кривой, но и от самой кривой L.
20. Вычислитьвдоль тех же кривых, что и в предыдущей задаче.
a)J = . б)J= .
в) J= .
а в данной задаче на всех трех исследованных путях результат один и тот же. Это не означает, что и на других путях так будет, но…
г) Рассмотрим J=.
Проведенная выкладка показывает, что интеграл действительно не зависит от пути интегрирования (здесь нет никакого конкретного пути), а зависит только от начальной и конечной точки дуги.
Когда же будет наблюдаться такое явление?
§. Условия независимости криволинейного интеграла 2го рода от пути интегрирования.
Т0.Пусть функцииP(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) определены и непрерывны в
области G, лежащей на гладкой поверхностиS, и γ – граница областиG.
Тогда эквивалентны следующие условия:
A*). Для любого замкнутого контура γ вG ;
B*). Для любыхA,BєGне зависит от кривой, соединяющей
точки AиB, и лежащей в областиG;
С*). ВыражениеPdx+Qdy+RdzвGявляется полным дифференциалом
некоторой функции U(x,y,z), т.е.U=U(x,y,z) такая,чтоdU=Pdx+Qdy+Rdz;
D*). Для функцийP(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) в областиGвыполняются условия:
; ; .
При этом : (*)
Последнюю формулу можно назвать формулой Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов.
Замечание 1.(связь А*и В*).не зависит от кривойL, соединяющей точкиАиВ.
Замечание 2.(связь С*иD*).