Lektsiyi_z_analitichnoyi_geometriyi_Semestr_1

1.3. АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО

21

Матрица называется числовой, если ее элементами являются числа. Определителем
числовой матрицы M = ( c	d )	называется число ad − cb. Определитель матрицы
a	b
обозначается det(M) или "прямыми скобками" вида |M|. Например,
	a	b		a	b
det ( c							= ad − cb.
		d	) =	c	d
							a	b
Предложение 1.3.3 Определитель матрицы ( c								d ) равен 0 тогда и только то-
гда, когда ее строки (столбцы) пропорциональны, то есть a = λc, b = λd.
Доказательство. Действительно, если det ( c								d ) = 0, òî ad − cb = 0, òî åñòü
							a	b

ac = db = λ,

ãäå λ коэффициент пропорциональности.

Возвращаясь к уравнению плоскости, введем в рассмотрение три определителя

ay

az

ax

az

ax

ay

∆x =

by

bz

,

∆y =

bx

bz

,

∆z =

bx

by

,

составленных из координат векторов a è b.

Предложение 1.3.4 Два вектора a = {ax, ay, az} è b = {bx, by, bz} коллинеарны тогда и только тогда, когда ∆x = ∆y = ∆z = 0.

Доказательство. Действительно, равенство ∆z = 0 влечет пропорцию ax = ay ,

bx by

	а равенство ∆x	= 0 влечет пропорцию	ay	=	az	, а значит все координаты векторов
			by		bz

a è b пропорциональны. По признаку коллинеарности, векторы a è b коллинеарны. Обратное очевидно.

Предложение 1.3.5 Уравнение плоскости, проходящей через точку с радиусом-вектором

r0 = {x0, y0, z0}, в направлении векторов a = {ax, ay, az} è b =			{bx, by, bz} ( a b) ìîæ-
но записать в виде
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0,
ãäå A = ∆x, B = −∆y, C = ∆z.
	2 2	2
Доказательство. Òàê êàê a b, òî ∆x + ∆y		+ ∆z ̸= 0. Положим, что ∆z ̸= 0.

Рассмотрим параметрическое уравнение плоскости

x = x0 + uax + vbx,

y = y0 + uay + vby, z = z0 + uaz + vbz.

22			ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
и разрешим первые два уравнения относительно параметров u è v â âèäå
			−						−
u =	1		x x0	bx		, v =	1		ax x x0	.
	∆z		y − y0	by			∆z		ay y − y0

Подставим это решение в третье уравнение. Получим

				−	bx
1			x	x0
z − z0 = az ∆z			y	− y0 by

Перепишем полученное уравнение в виде

x − x0

∆z(z − z0) = az y − y0

и далее

			1			ax
	+ bz			∆z		ay
bx						ax
by			+ bz			ay

x − x0 y − y0 .

x − x0 y − y0

( ) ( )

∆z(z − z0) = az by(x − x0) − bx(y − y0) + bz ax(y − y0) − ay(x − x0) .

В правой части соберем коэффициенты при x − x0 è y − y0. Получим

∆z(z − z0) = (azby − bzay)(x − x0) − (azbx − bzax)(y − y0).
	−∆x				| {zy				}
|		{z		}

∆

Что и требовалось доказать.

Обратно, рассмотрим множество точек пространства, координаты котрых удовлетворяют уравнению

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0).

Покажем, что это есть плоскость, проходящая через точку M(x0, y0, z0). Сама точка очевидно принадлежит этому множеству. Положим, не нарушая общности, что C ≠ 0. Тогда все решения данного уравнения имеют вид

					A				B
				z = z0 −		(x − x0)		−		(y − y0),
					C				C
	причем			произвольны. Положим						A
			x è y				x − x0	= u, y − y0 = v и обозначим −C = p,
	B
	−C	= q. Тогда множество решений перепишется в виде
				x = x0 + u,
				y = y0 + v,						,
				z = z0 + pu + qv

что представляет из себя плоскость с направляющими векторами a = {1, 0, p} è b =

{0, 1, q}.

1.3. АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО

23

Общее уравнение плоскости в аффинном пространстве

Заметим, что уравнение плоскости в виде A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 можно

преписать как Ax + by + Cz + D = 0, положив D = −(Ax0 + By0 + Cz0).

Общим уравнением плоскости в A3 называется уравнение вида

Ax + By + Cz + D = 0.

Вектор

N = {A, B, C} называется вектором аффинной нормали данной плоскости.

Его геометрическое свойство аналогично геометрическому свойству аффинной нормали прямой на плоскости. А именно, введем в рассмотрение функцию

F (x, y, z) = Ax + By + Cz + D.

Тогда точкам плоскости отвечают решения уравнения F (x, y, z) = 0. Верхним (соот-

ветственно, нижним) полупространством относительно заданной плоскости называ- ется множество точек в A3, координаты которых удовлетворяют неравенству

F (x, y, z) > 0 ( соответственно F (x, y, z) < 0)

Упражнение 1.3.4 Пусть π : Ax + By + Cz + D = 0 плоскость в A3. Покажите, ÷òî

•Точки M1(x1, y1, z1) è M2(x2, y2, z2) принадлежат одному полупространству тогда и только тогда, когда F (x1, y1, z1) è F (x2, y2, z2) имеют один и тот же знак.

• вектор N = {A, B, C} направлен в верхнее полупространство относительно плоскости π.

Взаимное расположение прямой и плоскости в аффинном пространстве

Рассмотрим в пространстве A3 прямую l и плоскость π. Зададим прямую параметри-

чески, а плоскость общим уравнением. Взаимное расположение прямой и плоскости описывается следующим утверждением.

Предложение 1.3.6 Пусть прямая l и плоскость π заданы уравнениями

x = x0 + ax t

l : y = y0 + ay t , π : Ax + By + Cz + D = 0. z = z0 + az t

Тогда

à) l∩π = {единственная точка} тогда и только тогда, когда Aax +Bay +Caz ≠ 0; á) l π тогда и только тогда, когда Aax+Bay +Caz = 0 è Ax0+By0+Cy0+D ≠ 0;

â) l π тогда и только тогда, когда Aax+Bay+Caz = 0 è Ax0+By0+Cz0+D = 0.

24	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Доказательство. Будем искать множество общих точек прямой и плоскости. Если они имеют общую точку, то для точек прямой найдется такое значение параметра t = t0, что точка (x0 + axt0, x0 + ayt0, z0 + azt0) будет лежать на плоскости, а значит удовлетворять ее уравнению. Сделаем подстановку

A(x0 + axt0) + B(y0 + ayt0) + C(z0 + azt0) + D = 0

и приведем подобные относительно t0

(Aax + Bay + Caz)t0 + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0.

Åñëè Aax + Bay + Caz ≠ 0, то нужное значение параметра существует, причем единственное, что и доказывает а). Если Aax +Bay +Caz = 0, íî Ax0 +By0 +Cz0 +D ≠ 0 то нужного значение параметра не существует, а значит общей точки у прямой и плоскости нет, что доказывает б). Если Aax + Bay + Caz = 0 è Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 то при любом значение параметра точка прямой удовлетворяет уравнению плоскости, что доказывает в).

Упражнение 1.3.5 Пусть прямая и плоскость заданы параметрически в виде l : r =

r0 + pt è π : r = r1 + au + bv. Доказать, что

à) l ∩ π = {единственная точка} тогда и только тогда, когда векторы p, a, b не компланарны;

á) l π тогда и только тогда, когда векторы p, a, b компланарны, но векторы r1 −

r0, a, b не компланарны;

â) l π l π тогда и только тогда, когда оба вектора p è r1 − r0 компланарны

векторам a è b.

Взаимное расположение двух плоскостей в аффинном пространстве. Общее уравнение прямой в A3.

Рассмотрим взаимное расположение двух плоскостей а трехмерном пространстве, заданных своими общими уравнениями.

Предложение 1.3.7 Пусть плоскости π1 è π2 заданы уравнениями

π1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 π2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Рассмотрим вектры						= {A1, B1, C1, D1},
	N1 =	{A1, B1, C1}, N2	= {A2, B2, C2}, Q1
Q2 = {A2, B2, C2, D2}. Тогда
à) π1 ∩ π2 = {прямая} тогда и только тогда, когда N1					N2;
á) π1
	π2 тогда и только тогда, когда N1		N2, íî Q1		Q2
â) π1
	= π2 тогда и только тогда, когда Q1		Q2.

1.3. АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО

25

Доказательство. Будем искать множество общих точек заданных плоскостей.

Оно описывается системой

{

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Обозначим

B1 C1

A1

C1

A1

B1

Рассмотрим вначале

случай,

когда

2

2

C2

2

. Пусть

äëÿ

определенности

∆x =

B2

C2

, ∆y =

A2

, ∆z =

A2

B2

.

∆x

+ ∆y + ∆z

= 0

∆z ̸= 0. Перепишем систему в виде

̸

{

A1x + B1y = C1z D1

A2x + B2y =

−C2z

− D2

−

−

и разрешим ее относительно x è y. Решение имеет вид

1

C1z + D1

B1

1

A1 C1z + D1

x = −

∆z

C2z + D2

B2

,

y = −

∆z

A2 C2z + D2

.

Раскрывая определители,

получим

1

D1

B1

1

A1

D1

если положить

заметим,

что условие

что дает уравнение прямой,

z = t. Наконец,

x = −∆z (−∆xz +

D2

B2

),

y =

−

∆z

(∆yz +

A2

D2

)

2

2

2

∆x

+ ∆y

+ ∆z ̸= 0 эквивалентно условию N1

N2.

2

2

2

Пусть теперь ∆x

+ ∆y

+ ∆z = 0. Тогда N1

N2

и, следовательно, имеют место

равенства

A2 = λA1, B2 = λB1, C2 = λC1.

и система примет вид

{

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

λA1x + λB1y + λC1z + D2 = 0.

Умножим первое уравнение на λ и вычтем второе. Получим

λD1 − D2 = 0.

Если это равенство противоречиво, то система не совместна и плоскости не имеют общих точек. В этом случае, очевидно,

Q1 Q2. Если же равенство выполнено, то уравнения плоскостей отличаются некоторым множителем, а значит они совпадают.

В этом случае,
Q1	Q2.

Общим уравнением прямой в трехмерном аффинном пространстве называется

уравнение вида		{
			A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
			A2x + B2y + C2z + D2 = 0
с условием	= {A1	, B1, C1}
N1			N2 = {A2, B2, C2}.

26	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

1.4Евклидово пространство

1.4.1Скалярное произведение геометрических векторов

Пусть даны два ненулевых вектора a è b. Отложим их от одной точки O и представим

их направленными отрезками −−→

−−→

OM è ON, а именно,

a = −−→

b = −−→

OM,

ON.

ray(−−→

−−→

Äâà ëó÷à

OM) è ray(ON) определяют два угла, меньший из которых назовем

b

a

b

торов на косинус угла между ними. Скалярное

b).

углом между векторами a è b. Обозначим этот угол как a

Скалярным произведением векторов a è b называется произведение длин этих век-

будем обозначать символом

произведение вектора

на вектор

·

,

·

угловыми скобками

. То есть по определению,

Выведем основные свойства скалярного умножения. b

b.

a, b

= |a||b| cos φ,

ãäå φ = a

1.

Положительная

| |

2

≥

определенность: a,

= a

0, причем

a,

= 0

a = 0.

2.

Симметричность:

a, b = b, a .

3.

Линейность: λa, b = λ a, b .

Доказательство.

4.

Дистрибутивность по сложению:

a, b + c

= a, b

+ a, c .

Доказательство первых двух свойств тривиально. Действительно,

имеет место только для a = 0.

a, = |a|

2

≥

- угол между векторами a è a равен 0, а значит

0. Причем равенство

-по определению, угол между векторами и их длины не зависят от порядка, в котором мы будем брать векторы для скалярного умножения.

Проверим линейность. Если λ = 0, то проверка очевидна. Пусть λ ≠ 0. Обозначим

φ = a b. Тогда

Åñëè λ > 0			(λa)	b	b =	{	φ, λ > 0,
	то имеем:						π	−	φ, λ < 0.
b
Åñëè λ < 0	òî	λa, b	= |λa| |b| cos φ =					|λ| |a| |b| cos φ = λ a, b .

λa, b = |λa| |b| cos (π − φ) = −λ |a| |b|(− cos φ) = λ a, b .

Для проверки дистрибутивности, введем понятие проекции вектора на ось. Обозначим через ea единичный вектор, сонаправленный с a, называемый ортом вектораa. Очевидно,

aea = |a|.

: L × L → R, обладающее

По свойству линейности, множитель

1.4. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

27

Вектор ea определяет ось (т.е. прямую с выбранным на ней направлением). Будем обозначать ось вектора a через la.

Ортогональной проекцией вектора

b íà îñü la называется вектор

−→la

b = |b| cos(a

b) ea =

b, ea

ea.

Ï

Пусть a, b, c произвольные векторы наbплоскости или в пространстве. Тогда век-

òîðû

→− la

b

−→la

c

Ï

è

Ï

коллинеарны и равенство

−→la

−→la

b +

−→la

c =

(b + c)

Ï

Ï

Ï

становится очевидным, если воспользоваться правилом сложения направленных отрезков.

Далее имеем:	→− la	b =		b, ea				ea,		−→la	c = c, ea ea,
а значит
	Ï									Ï
	−→la		b +			−→la c =			( b, ea + c, ea )ea.
	Ï					Ï
С другой стороны,			−→ (b + c) = b + c, e e .
					la						a a
			Ï

Воспользовавшись векторным равенством для проекций, имеем:

( )

b, ea + c, ea ea

Откуда следует равенство

b,	a	+	c,	a
	|a|			|a|

= b + c, ea ea.

= b + c,	a	.
	|a|

1

|a| из каждого слагаемого можно вынести и сократить на него. В результате, приходим к равенству

b, a + c, a = b + c, a .

1.4.2Скалярное произведение в An

Рассмотренные в предыдущем параграфе свойства скалярного умножения можно аксиоматизировать и ввести понятие скалярного умножения в произвольном аффинном

пространстве An. Пусть L линейное пространство, ассоциированное с An. Скаляр-

ным произведением в L называется отображение , следующими свойствами:

• a, = |a|2 ≥ 0, причем a, = 0 a = 0.

.

• a, b = b, a

28 ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

.

• λa, b = λ a, b

.

• a, b + c = a, b + a, c

Линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называется евклидовым. Соответственно, аффинное пространство, ассоциированное пространство которого является евклидовым, называется аффинным евклидовым пространством или просто евклидовым. Обозначать евклидово n- мерное пространство будем через

En.

√

a

b

Пусть a, b E два вектора в E . Косинусом угла между

Длиной (модулем) вектора в En называется величина

|a| =

a, .

è íàçû-

n

n

векторами

вается следующая величина:

Проверить

b

a, b

cos(a

b) =

a

b

.

|

| | |

Упражнение 1.4.1

корректность определения, а именно, что

a

b ≤ 1.

a, b

|

|| |

1.4.3Метрическая форма евклидова пространства

Рассмотрим, вначале, случай n = 2. Обозначим через e1 è e2 векторы базиса плоско-

сти. Пусть a è b произвольные два вектора плоскости. Разложим их по базису

a = a1e1 + a2e2,

1 2

b = b e1 + b e2.

Тогда, используя свойства скалярного умножения, можно записать:

1 1 1 2 2 1 2 2

a, b = e1, e1 a b + e1, e2 (a b + a b ) + e2, e2 a b .

Введем обозначения:

g11 = e1, e1 , g12 = e1, e2 , g22 = e2, e2 .

Тогда выражение для скалярного произведения перепишется в виде

1 1 1 2 2 1 2 2

a, b = g11a b + g12(a b + a b ) + g22a b .

Правая часть полученного выражения называется метрической формой евклидовой плоскости. Образуем матрицу

()

	g =	g11	g12	.
		g12	g22

Матрица g называется матрицей метрической формы евклидовой плоскости. Обратно, матрица метрической формы определяет скалярное произведение векторов. Зада-

дим, например,
g = (	3	2	) .
	2	5

1.4. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

29

1

2

1

2

}. Тогда

Пусть a = {a , a

} è b = {b

, b

a, b = 3a1b1 + 2(a1b2 + a2b1) + 5a2b2.

Если задать векторы конкретно, скажем, a = {1, −2}, b = {3, 1}, òî

= 3

1

3 + 2(1

1 + (

2)

3) + 5

(

2)

1 =

11,

a, b

a =

√

a,·

· = 3

12

·+ 2(1

−(

2)· + (

2)·

−1) +· 5 (−

2)2 = √

15,

·

· −

− ·

√

| |

2

2

· −

+ 2 · (3 · 1 + 1 · 3) + 5

· 1

= 44.

|b| = √ b, b = 3 · 3

С геометрической точки зрения, в рассмотренном примере мы выбрали на плос-

кости базис такой , что
√		√			e1, e2 = 2.
|e1| = 3, |e2| = 5,

Заметим, что метрическую форму плоскости можно записать в бескоординатном виде, используя матричные операции. Для этого, сформируем из координат векторов

столбцы	( a2	) , b =	(	) .
a =
	a1		b1
			b2

Поизведение матрицы на вектор определяется по правилу "строка на столбец то есть

g11 g12		a1	) =			g11 a1 + g12 a2	) .
( g21 g22 )	· ( a2				( g21 ·· a1 + g22 ·· a2
Определим транспонированный столбец				at	как строку , вида
		at = [a1, a2]
и определим произведение строки на столбец правилом
at · b = [a1	, a2] · (			b1	) = a1 · b1 + a2 · b2.
				b2
Тогда для метрической формы будем иметь
ãäå ( )t означает				= a	t	· g · b,
	a, b

транспонирование.

В общем случае имеет место полная аналогия. Пусть {e1, . . . , en} базис в En. Ðàç-

ложим произвольные векторы a è b по выбранному базису

1

e1

n

1

e1

+ · · · + b

n

en.

a = a

+ · · · + a en, b = b

G n

gik = ei, ek . Тогда

Образуем симметричную матрицу

с компонентами

∑

i

b

k

= a

t

· g · b,

a, b =

gika

i,k=1

30	a1				b1	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
ãäå a =			,	b =		.
	· · ·				· · ·
	an				bn

Базис евклидова пространства En называется ортонормированным , если

|ei| = 1, ei, ek = 0 (i ≠ k, i, k = 1, n).

Матрица метрической формы En относительно ортонормированного базиса имеет

âèä:
g =		1	0	0	. . .	0	.
	... ... ...				...	...
		0	1	0	. . .	0
		0	0 . . .		1	0
		0	0 . . .		0	1

В частности, при n = 2 имеем

()

	g =	1	0	.
		0	1

Тогда для векторов, заданных своими координатами

1 2		1	, b	2	},
a = {a , a	}, b = {b

относительно ортонормированного базиса, имеем

	√(a1)2 + (a2)2.
a, b = a1b1 + a2b2, |a| =

Ниже мы покажем, что на плоскости или в пространстве всегда можно выбрать ортонормированный базис. В дальнейшем, если не оговорено иное, будем считать, что рассматриваемый базис ортонормированный. Если система координат использует выбран ортонормированный базис, то такая система координат называется декартовой прямоугольной .

1.4.4Прямые и плоскости в евклидовом пространстве

Наличие в евклидовом пространстве скалярного произведения позволяет извлечь дополнительную информацию из уравнения прямой и плоскости.

Пусть l прямая на плоскости. Запишем ее параметрическое уравнение

r = r0 + ta

Вектор

N, перпендикулярный прямой l, называется ее вектором нормали. Пусть

Nx, Ny координаты вектора N относительно ортонормированного базиса. Так как

a лежит на прямой, то N, a = 0, а значит для всех t

N, r − r0 = 0.

Это уравнение называется векторным общим уравнением прямой на евклидовой плоскости. Переходя к координатам, имеем

Nx(x − x0) + Ny(y − y0) = 0