Lektsiyi_z_analitichnoyi_geometriyi_Semestr_1

1.7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

51

Доказательство.		k,
	Пусть a1, . . . , ak базис L b1		, . . . , bl
l			k	+L	l	=
Lin(a1, . . . , ak), L	= Lin(b1	, . . . , bl). Следовательно, L

базис Ll. Тогда Lk =

Lin(a1, . . . , ak; b1, . . . , bl).

Очевидно, что

k

l

. Åñëè dim(Lk

+ Ll) = k + l, то сумма на-

dim(L

+ L

) ≤ k + l. Ясно, что если сумма прямая, то векторы

зывается прямой и обозначается Lk Ll

.

k

L

l

a1, . . . , ak; b1

, . . . , bl образуют базис в L

Åñëè Lk Ll прямая сумма, то для каждого z Lk Ll разложение z = x+y | x

k

k

Действительно, пусть

L , y L

единственно (то есть x è y однозначно определены). Тогда.

a1, . . . , ak

k

l

. Пусть z L

k

L

l

базис L

, b1, . . . , bl

базис L

k

l

z = ∑ xiai + ∑ xjbj .

|i=1{z } |j=1{z }

x Lk y Ll

Для данного z координаты xi, yj определены однозначно в силу единственности разложения по базису, а значит однозначно определены и векторы x Lk è y Ll

Упражнение 1.7.4 Доказать обратное утверждение, то есть если в сумме для каждого z Lk + Ll разложение z = x + y | x Lk, y Lk единственно , то сумма

Lk + Ll прямая.

Пересечение подпространств

Определение 1.7.3 Пусть Lk è Ll линейные подпространства в Ln. Пересечени- åì Lk ∩ Ll подпространств Lk è Ll называется множество

{x Ln| x Lk, x Ll}.

Предложение 1.7.3 Lk ∩ Ll подпространство в Ln.

Доказательство. Пусть x, y Lk ∩ Ll. Òàê êàê Lk è Ll подпространства, то справедливы следующие импликации:

x, y Lk λx + µy Lk	}	λx + µy		Lk	∩	Ll.
x, y Ll λx + µy Ll

Формула Грассмана

Предложение 1.7.4 Пусть Lk è Ll подпространства в Ln. Тогда dim(Lk + Ll) = dim Lk + dim Ll − dim(Lk ∩ Ll)

Если положить m = dim(Lk ∩ Ll), то формула Грасмана выпишется более лаконично: dim(Lk + Ll) = k + l − m.

Для доказательства формулы Грассмана нам потребуется лемма, используемая и в некоторых дальнейших утверждениях.

52	{	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
k). Тогда ее можно		}		L
Лемма 1.7.1 Пусть		q1, . . . , qm	линейно независимая система векторов в Lk (m <
	дополнить до базиса			k, то есть найдутся такие векторы
am+1, . . . , ak, что система векторов
образует базис Lk.		{q1, . . . , qm; am+1, . . . , ak}

Доказательство. Пусть q1, . . . , qm линейно независимы. Тогда линейная оболоч- ка Lin{q1, . . . , qm} является линейным подпространством в Lk. Обозначим его че- ðåç Lm. Åñëè Lm ≠ Lk, то существует x Lk такой, что x / Lm, òî åñòü x /

Lin(q1, . . . , qm). Следовательно, q1, . . . , qm, x линейно независимы. Положим am+1 =x. Тогда Lin(q1, . . . , qm, am+1) = Lm+1 Lk. Åñëè Lm+1 ≠ Lk, продолжим процесс. В

результате построим исчерпывающую цепочку подпространств

Lm Lm+1 . . . Lk.

На последнем шаге получим Lk = Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak).

Доказательство формулы Грассмана. Обозначим:						Lm = Lk∩Ll. Пусть q1, . . . , qm
базис Lm. Дополним его до базисов в Lk è Ll
		Lk : q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak,
			l
		L : q1, . . . , qm, bm+1, . . . , bl.
							k	+ L	l. Для этого следует
Покажем, что q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl базис L
проверить, что
а) любой вектор из Lk + Ll			является линейной комбинацией векторов
q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl;
б) векторы q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl линейно не зависимы.
Пусть z Lk + Ll. Тогда z = x + y, ãäå x Lk, y Ll.
Òàê êàê q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak базис в Lk, òî
		x = ë.ê.(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak).
Аналогично,
		y = ë.ê.(q1, . . . , qm, am+1, bm+1).
Следовательно,
z = x + y = ë.ê.(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl).
Пусть существует нетривиальная
ë.ê.		(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak
					, bm+1, . . . , bl) = 0.
Разобъем ее на две части:
ë.ê.	(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak) +				ë.ê.
					(bm+1, . . . , bl) = 0.

1.7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ						53
Заметим, что л.к.(bm+1, . . . , bl) нетривиальна, так как если бы она была тривиальной,
òî ë.ê.	(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak)		была бы нетривиальной и равной		, что невозможно,
				0
òàê êàê q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak базис Lk. Положим
			w = ë.ê.(bm+1, . . . , bl).

Тогда с одной стороны, w Ll как линейная комбинация векторов базиса Ll. С другой стороны,

ë.ê(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak) = −w,

а значит w Lk как линейная комбинация векторов базиса Lk. Следовательно, w Lk ∩ Ll. Но векторы q1, . . . , qm образуют базис Lk ∩ Ll. Следовательно,

w = ë.ê.(q1, . . . , qm),

причем линейная комбинация в правой части равенства нетривиальная, так как w ≠ 0.

Таким образом, имеем две нетривиальных линейных комбинации, выражающие вектор w:

	w = ë.ê.(bm+1, . . . , bl)
	w = ë.ê.(q1, . . . , qm)
Следовательно,
	ë.ê.(q1, . . . , qm) = ë.ê.(bm+1, . . . , bl).
Мы получили нетривиальную л.к.						, что невозможно, так
		(q1, . . . , qm, bm+1, . . . , bl) = 0
			l.
êàê q1, . . . , qm, bm+1, . . . , bl базис L

1.7.3Взаимное расположение двух плоскостей в An

Пусть

∑k

πk : r = r1 + tiai

i=1

k-мерная плоскость в An. Точка M1 с радиусом-вектором r1 называется начальной точкой плоскости πk. Векторы a1, . . . , ak линейно независимы, а t1, . . . , tk ïðî- извольные параметры. Это означает, что уравнение плоскости πk можно записать в

âèäå

πk : r = r1 + Lin(a1, . . . , ak)

или еще короче

πk : r = r1 + Lk,

ãäå Lk = Lin(a1, . . . , ak) называется направляющим подпространством плоскости πk.

54	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Параллельность плоскостей а An

Пусть

πk : r = r1 + Lk,

πl : r = r2 + Ll

две плоскости в An, причем k ≤ l. Плоскости πk è πl называются параллельными (πk πl), åñëè Lk Ll.

Взаимное расположение двух параллельных плоскостей в An описывается следу-

ющим утверждением.

Теорема 1.7.1 . Пусть

πk : r = r1 + Lk,	(k ≤ l)
πl : r = r2 + Ll,

две параллельные плоскости а An. Положим w = r2 − r1. Тогда

•åñëè w / Ll, òî πk ∩ πl = ;

•åñëè w Ll, òî πk πl.

Доказательство.	Пусть a1, . . . , ak базис Lk. Поскольку Lk Ll, дополним
l
a1, . . . , ak до базиса в L	: a1, . . . , ak, bk+1, . . . , bl. Тогда
πk : r = r1 + Lin(a1, . . . , ak),
π		l	: r = r2 + Lin(a1
				, . . . , ak, bk+1	, . . . , bl).

Пусть w = r2 − r1 / Ll, но предположим, что πk ∩ πl ≠ . Пусть M πk ∩ πl. Тогда

			rM = r1 + ë.ê.(a1, . . . , ak)
			rM = r2 + ë.ê.(a1, . . . , ak, bk+1				, . . . , bl).
Вычитая, находим:
				ë.ê.
			0 = −w +		(a1, . . . , ak, bk+1, . . . , bl),
						l. Противоречие.
òî åñòü w = ë.ê.(a1, . . . , ak, bk+1, . . . , bl)						L
Пусть w		l							=
	L . Это означает, что r2					− r1 = ë.ê.(a1, . . . , ak, bk+1, . . . , bl). Тогда r2
r1 + ë.ê.(a1, . . . , ak) + ë.ê.(bk+1, . . . , bl). Следовательно,
	πk : r = r1 + Lin(a1, . . . , ak),
	π	l
			: r = r1 + ë.ê.(a1, . . . , ak) + Lin(a1, . . . , ak, bk+1					, . . . , bl).

Положим r0 = r1 +ë.ê.(a1, . . . , ak). В уравнении πk выделим найденную л.к.(a1, . . . , ak) из линейной оболочки Lin(a1, . . . , ak). Получим

πk : r = r1 + ë.ê.(a1, . . . , ak) +Lin(a1, . . . , ak),

{z1

}

1

k k+1

l

|1 +

(

k

r0

π

l

: r = r

ë.ê. a

, . . . , a ) +Lin(a , . . . , a , b

, . . . , b ).

|

{z0

}

r

1.7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ				55
Таким образом,
πk : r = r0 + Lin(a1, . . . , ak),
l	: r = r0
π		+ Lin(a1, . . . , ak) + Lin(bk+1	, . . . , bl).

Теперь очевидно, что πk πl, òàê êàê πk можно получить из уравнения πl, âçÿâ

нулевую Lin(bk+1, . . . , bl).

Посним доказательство теоремы для случая прямой и плоскости.

π1 : r = r1 + at,

			2	: r = r2
			π		+ ua + vb,
			w = r2 − r1.
Пусть w
	Lin(a, b). Например, пусть w = 2a + 3b. Тогда r2 = r1 + 2a + 3b и имеем
	π1 : r = r1 + at,
	2	: r = r1
	π		+ 2a + 3b + ua + vb = r1			+ 2a + ua + (v + 3)b =

r1 + 2a + ua + µb

Выделим в уравнении "плоскости" π1 линейную комбинацию r1 + 2a:

π1 : r = r1 + a(t + 2 − 2) = r1 + 2a + a(t − 2) = r1 + 2a + au.

Полагая r0 = r1 + 2a, получаем
π1	: r = r0	+ au,
2	: r = r0
π		+ ua + µb.

Очевидно, что π1 π2. Достаточно положить µ = 0.

Скрещивающиеся плоскости в An

Две плоскости πk è πl â An называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны. Взаимное расположение двух непараллельных плоскостей в An описывается следующим утверждением.

Теорема 1.7.2 Пусть
πk : r = r1 + Lk,	(k ≤ l)
πl : r = r2 + Ll
две непараллельные плоскости в An. Положим

w = r2 − r1, Lm = Lk ∩ Ll, Ls = Lk + Ll.

Тогда

•åñëè w / Ls, то плоскости скрещиваются;

•åñëè w Ls, òî πk ∩ πl = πm (т.е. плоскости пересекаются по плоскости размерности m).

56	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
Доказательство.	Åñëè πk πl, то существуют плоскости p1s è p2s такие, что

ps1 πk, ps2 πl, ps1 ps2.

Действительно, пусть q1, . . . , qm базис Lm. Дополним q1, . . . , qm до базисов в Lk è Ll:

		Lk : q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak,
			l
		L : q1, . . . , qm, bm+1, . . . , bl.
					s. Рассмотрим две плоскости:
Тогда q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl				базис в L
s	: r = r1						s
p1		+ Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1				, . . . , bl) = r1	+ L ,
s	: r = r2						s
p2		+ Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1				, . . . , bl) = r2	+ L .

Очевидно, что ps1 ps2 (направляющие пространства совпадают). При этом ps1 πk.

Действительно,

s

p1 : r = r1 + Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak) + Lin(bm+1

, . . . , bl).

è π

k

задается как Lin(bm+1, . . . , bl) = 0.

Аналогично p2s πl.

s

Тогда s

s

s

s

=

. Следовательно,

k

∩ π

l

=

.

Пусть w / L ..

Тогда p1

p2 è p1

∩ p2

π

Пусть w Ls

	w = r2 − r1 = ë.ê.(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl),
òî åñòü
r2 = r1 + ë.ê.(am+1, . . . , ak) + ë.ê.(q1, . . . , qm, bm+1						, . . . , bl)
Теперь уравнения плоскостей можно выписать с общей начальной точкой
			r0 = r1 + ë.ê.(am+1, . . . , ak).
А именно
l	: r = r1
π			+ ë.ê.(am+1, . . . , ak) + Lin(q1, . . . , qm, bm+1, . . . , bl),
πk : r = r1 + Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak) =
	r1 + ë.ê.(am+1, . . . , ak) + Lin(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak).
И более того, направляющие пространства этих плоскостей ращепляются в виде
	l
	π	: r = r0 + Lin(q1, . . . , qm) + Lin(bm+1, . . . , bl),
	πk : r = r0 + Lin(q1, . . . , qm) + Lin(am+1, . . . , ak).
Рассмотрим плоскость.			πm = r0 + Lin(q1, . . . , qm). ßñíî, ÷òî πk πm è πl πm, òî
åñòü πk ∩ πl πm							. Тогда
Покажем, что πk ∩ πl πm. Действительно, пусть M πk ∩ πl
	rM = r0 + ë.ê.(q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak) = r0 + Q1 + A,
	rM = r0 + ë.ê.(q1, . . . , qm, bm+1			, . . . , bl) = r0	+ Q2	+ B,

1.7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

57

где обозначено, соответственно,

= ë.ê.(q1

Q1

, . . . , qm), A = ë.ê.(am+1, . . . , ak) в первом выражении rM ,

= ë.ê.(q1

Q2

, . . . , qm), B = ë.ê.(bm+1

, . . . , bl) во втором выражении rM .

Вычитая, получим

ë.ê.

0 = Q1

− Q2

+ A − B =

(q1

, . . . , qm)+

ë.ê.(am+1, . . . , ak) − ë.ê.(bm+1, . . . , bl).

Из линейной независимости векторов q1, . . . , qm, am+1, . . . , ak, bm+1, . . . , bl следует, что

.

Q1

= Q2

, A = B = 0

Следовательно, rM = r0 + ë.ê.(q1, . . . , qm) πm, что завершает доказательство.

Частичная параллельность плоскостей в An

Пусть πk è πl две плоскости в An. Плоскость πk параллельна порядка m плоскости πl (обозначим это через πl m πl ), если их направляющие пространства Lk è Ll имеют пересечение размерности m.

Равенство m = min(k, l) соответствует ситуации параллельности плоскостей, в то время как m = 0 означает отсутствие параллельных направлений и в этом слу- чае плоскости естественно называть вполне непараллальными . Если при этом πk è πl имеют общую точку, то есть πk ∩ πl ≠ , òî πk è πl называются пересекающимися трансверсально.

Предложение 1.7.5 Пусть πk è πl äâå m−параллельные плоскости. Тогда πk содержит (k − m) параметрическое семейство плоскостей, параллельных πl. πk ñî- держит (l − m) параметрическое семейство плоскостей, параллельных πk.

Доказательство. Действительно, пусть q1, . . . , qm базис пересечения Lk ∩Ll. Тогда πl è πk могут быть заданы соответственно:

{	πk : r = r1 + Lin(q1, . . . , qm) + Lin(am+1, . . . , ak),
	πl : r = r2 + Lin(q1, . . . , qm) + Lin(bm+1, . . . , bl).

Рассмотрим плоскость πk. Зафиксируем произвольную линейную комбинацию am+1, . . . , ak,

например, t1a

m+1

+

· · ·

+ tk−ma . Тогда в πk "вырезается"плоскость, задаваемая урав-

0

0

k

нением

r = r

+ t1a

m+1

+

· · ·

+ tk−ma

+Lin(q , . . . , q ).

1

0

0

k

1

m

r0

пространство

m лежит в

l, а следовательно, эта плоскость парал-

Ее направляющее

|

L

{z

L

}

лельна Ll. Ее начальная точка r0 определяется (k − m) независимыми параметрами

t1	, . . . , tk−m
0	0 .

58	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

1.7.4Практический способ выяснения взаимного размещения плоскостей в An

Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме

			Ax = b,
ãäå A матрица размером m		n, x =	x...1		столбец неизвестных, b =			b...1
	×		xn					bn
столбец правых частей.
Введем в рассмотрение векторы столбца матрицы A:							.
a1 = a...1	, a2 =		a...2		, . . . , an =	a...n
1			1			1
a1m			a2m			anm
Тогда система уравнений Ax = b можно переписать в виде:
		1		n
		x a1 + · · · + x an = b.

Таким образом, решение системы линейных уравнений дает ответ на вопрос, принадлежит ли вектор

b линейной оболочке заданных векторов a1, . . . , an)?

В частности, если	, то соответствующее решение дает ответ на вопрос, явля-
b = 0
ются ли векторы a1, . . . , an) линейно зависимыми?
Построение базиса суммы подпространств
Пусть подпространства Lk è Ll заданы своими базисами:
				Lk = Lin(a1, . . . , an),
				L	l
						= Lin(b1			, . . . , bn).
										/ Lin(a1, . . . , an). Тогда
Возьмем {a1, . . . , an}. Предположим,что найдется bj1
									k	l
		Lin(a1, . . . , an, bj1 ) L + L .
		k		l, то поищем
Åñëè Lin(a1, . . . , an, bj1 ) ̸= L			+ L
			bj2 / Lin(a1, . . . , an, bj1 )
							k		l и т.д. Процесс, очевидно, конечен и
и рассмотрим Lin(a1, . . . , an, bj1				, bj2 ) L				+ L

заканчивается нахождением базиса суммы пространств. Количество векторов построенного базиса даст размерность суммы.

Описанный процесс реализуется алгебраически следующим образом. Пусть

a1	=	a...1	, a2	=	a...2	, . . . , ak =	a...k	,
		1			1		1
		a1m			a2n		akn

1.7. ЭЛЕМЕНТЫ МНОГОМЕРНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ									59
b1	=	b...1	, b2	=	b...2	, . . . , bl =	b...l
		1			1		1
		b1n			b2n		bln

векторы базисов Lk è Ll стлбцов) матрицы

a11

A = ..

.

an1

соответственно. Сформируем из их координат (как из

. ..... a...k1		,	B =	b...11 . .....	b...l1		,
. . . akn				b1n . . .	bln

Напомним, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы, а это число равно, в свою очередь, иаксимальному размеру минора матрицы, отличному от нуля. Ясно, что rg(A) = k. Составим матрицу

(A B) =		1	1		1	1
		.a.1. .. .. ..	.a.k.		.b.1. .. .. ..	.b.l.
|		an . . .	an		bn . . .	bn
		1	k		1	l

Последовательное добавление к столбцам матрицы A столбцов матрицы B, увеличи- вающих на каждом шаге ранг матрицы (A|B) дает в конечном итоге максимальную линейно независимую систему векторов в сумме пространств Ll + Ll. Таким образом,

s= dim(Lk + Ll) = rg(A|B),

àбазис суммы образуют столбцы, которые отвечают базисному минору матрицы

(A|B).

Построение базиса пересечения подпространств
			}	базис L		k	+L	l. Перенумеруем векторы так, чтобы базис
Пусть a1, . . . , ak; bj1	, . . . , bj
{ принял вид:	s−k
Lk + Ll
				{a1, . . . , ak; b1, . . . , bs−k}
Тогда {a1, . . . , ak} базис L		k	,							l. ßñíî, ÷òî
		b1, . . . , bs−k, bs−k+1							. . . , bl} базис L
	bs−k+1, . . . , bl				Lin(a1, . . . , ak; b1, . . . , bs−k).

Найдем соответствующие линейные комбинации как решения l + k − s := m систем линейных уравнений. Тогда получим:

		=
bs−k+1			ë.ê.(a1, . . . , ak; b1			, . . . , bs−k),
. . .		. . . . . .
bl		= ë.ê.(a1, . . . , ak; b1				, . . . , bl−1).
Разобъем полученные выражения так:
				=	ë.ê.(a1, . . . , ak),
bs−k+1	− ë.ê.(b1		, . . . , bs−k)
. . .				. . . . . .
				=	ë.ê.(a1, . . . , ak)
bl − ë.ê.(b1		, . . . , bl−1)

60	ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

и заметим, что левые части равенств лежат в Ll как линейные комбинации векторов базиса Ll, а правые части лежат в Lk по аналогичной причине. Поэтому векторы

q1 := bs−k+1				− ë.ê.(b1	, . . . , bs−k) = ë.ê.(a1, . . . , ak),
. . . . . . . . .
							, . . . , ak)
qm := bl − ë.ê.(b1, . . . , bl−1) = ë.ê.(a1
лежат в Lk ∩ Ll. Покажем, что q1, . . . , qm линейно независимы. Действительно,
		∑		m
				∑i
		i	qi =	i		ë.ê.
		λ		λ bs−k+i +		(b1, . . . , bk−s) = 0
				=1
и следовательно λ	i						l		, . . . , qm
		= 0, òàê êàê b1, . . . , bl базис L . Таким образом, q1

линейно независимы, лежат в пересечении подпрострвнств и их количество равно размерности пересечения. Поэтому найденные векторы образуют искомый базис.

Описанный процесс реализуется алгебраически следующим образом. Составим матрицу

		1	1		1	1
(A B) =		.a.1. .. .. ..	.a.k.		.b.1. .. .. ..	b.s−. .k
|						−
		an . . .	an		bn . . .	bn
		1	k		1	s k

b1s−k+1

. . .

bns−k+1

.. .. ..	1
	.b.l.
. . .	bln

первые s столбцов которой являются векторами базиса суммы. Для каждого по-

следующего столбца найдем решение системы уравнений с этим столбцом в каче- стве столбца правых частей. Если для столбца с номером s − k + i набор чисел

λ1

, . . . , λk ; µ1, . . . , µs−k

есть решение, а именно,

i

i i

i

b

s−k+1

= λ1a +

· · ·

+ λka + µ1b

1

+

· · ·

+ µs−kb

s−k

,

1

1

1

k

1

1

òî

qi = bs−k+i − µi1b1 − · · · − µis−kbs−k

или, эквивалентно,

qi = λi1a1 + · · · + λikak.

Выяснение взаимного размещения плоскостей

Пусть

πk : r = r1 + Lin(a1, . . . , ak) = r1 + Lk,

l

l

π

: r = r2 + Lin(b1

, . . . , bl) = r2 + L .

k

+ L

l

k

∩

l

Найдем базисы L

è L

L

. Пусть это будут векторы a1, . . . , ak; b1

, . . . , bs k è

тогда и только тогда, когда имеет−

q1, . . . , qm. Вектор w := r2 −r1 принадлежит Lk + Ll

решение система:	a...1 .. .. ..	a...k
	1	1
	a1n . . .	akn

b1 . . .	b1
1	s−k
.	.
.. . . .	..
bn . . .	bn
1	s−k

		n	.
	w. .1.
	w