Метода термодинамика(лекции)

(∆V )2 = kT(−∂p∂V )T =V N .

Таким образом, минимально измеряемая температура есть

∆T = (∆T)2 =T N .

Если термометр содержит всего 10−4 моля газа (т.е. объем его 0.02 л), то

N = 6 1023 10−4 = 6 1019 и (∆T)2 10−9T . Флуктуация настолько мала,

что все реально измеряемые изменения температуры чрезвычайно велики по сравнению с пределом чувствительности. Чувствительность газового термометра практически не ограничивается флуктуациями температуры.

Приведенные примеры показывают, что степень влияния флуктуаций на предельную чувствительность приборов широко изменяется в зависимости от конструкции прибора и измеряемого физического параметра.

5.4.2. Электрические флуктуации . Электрические флуктуации (шумы) суть хаотические изменения потенциалов, токов или зарядов в электрических цепях и линиях связи, обусловленные дискретной структурой электричества и тепловым движением носителей заряда (естественные флуктуации), а также случайными изменениями ряда макроскопических параметров элементов цепей (температуры электродов, сопротивлений, напряжения источников и т.д.) (технические флуктуации). Они определяют предел чувствительности приборов регистрации слабых электрических сигналов, а также объясняют особенности физических явлений в элементах радиоаппаратуры, в частности, в электронных и плазменных лампах, транзисторах.

Характер естественных флуктуаций различен в зависимости от условий движения носителей заряда. Различают два крайних случая: флуктуации токов и напряжений вметаллических проводниках притермодинамическом равновесии с излучением (тепловой шум сопротивлений), предсказанные А. Эйнштейном в

1907 г, ифлуктуацииэлектронноготокаввакуумномдиоде(Шоттки, 1918 г). 232

Тепловой шум в металлических проводниках обусловлен тепловым движением носителей зарядов (электронов проводимости). Благодаря этому, на концах разомкнутого проводника возникает флуктуирующая разность потенциалов, а в замкнутом проводнике – флуктуирующий макроток. Из-за большой плотности электронов проводимости (свободных электронов) и малой длины их свободного пробега в металлических проводниках происходит частый обмен энергией между частицами. Как правило, тепловые скорости электронов во много раз превосходят направленную скорость дрейфа, обусловленную внешним полем, поэтому собственное тепловое движение электронов можно считать не зависящим от приложенного тока.

Шумы в электронных и ионных лампах, транзисторах (дробовой шум)

объясняется статистическим характером эмиссии электронов с катода. Так как движение отдельного электрона (до момента вылета из катода) определяется как внешним полем, так и взаимодействием с другими частицами, то эмиссию отдельных электронов можно рассматривать как статистически независимые события во времени и по поверхности катода. За одинаковые промежутки времени полный ток эмиссии с катода испытывает случайные колебания вблизи среднего значения. При отсутствии взаимодействия между электронами в пространстве анод-катод (что для диода соответствует режиму насыщения) флуктуации эмиссии будут точно повторяться в анодном токе лампы.

Таким образом, дробовой шум в лампах, в отличие от теплового шума проводника, возникает при существенно неравновесном процессе, когда движение носителей осуществляется благодаря внешнему полю в отсутствие их взаимодействия, как со средой, так и друг с другом.

По вопросам, связанным с техническими флуктуациями, рекомендуем читателю обратиться к специальной литературе, в частности: 1) Рытов С.М., Теория электрических флуктуаций и теплового излучения, М., 1953; 2) МакДональд, Введение в физику шумов и флуктуаций, пер. с англ., М., 1964. Здесь ограничимся упрощенным вариантом теории естественных флуктуаций.

233

5.4.3. Предельная чувствительность токовых приборов. Выделим проводник длиной l и площадью поперечного сечения S , по которому течет ток I . Назовем элементом тока произведение Il = jSl = jV

и определим его через среднюю скорость v электрона (−e ) и их среднее число N в объемеV (n – концентрация электронов):

Il = −evnV = −evN

.

(5.24)

В таком представлении элемент тока проводника есть сумма элементов тока отдельных электронов (−ev ). Это положение считаем справедливым не только для средних, но и для мгновенных значений:

I(t) = −(e l)∑vmx .	(5.25)
m
Здесь vmx – мгновенная проекция скорости m –го электрона на направление

тока (ось Ox ). Сумма берется по всем электронам, которые образуют элемент тока. Отсюда следует, что ток есть случайная величина, его неопределенность вызвана двумя причинами: а) случайностью величины компоненты скорости теплового хаотического движения электрона; б) случайным числом электронов в проводнике (число слагаемых в сумме флуктуирует).

Выразим мгновенную скорость электрона и их числа в проводнике следующим образом

vmx = vd +∆vmx ;	N = N	+∆N ,
где vd – дрейфовая скорость электрона,	∆vmx – отклонение компоненты

тепловой скорости от ее среднего значения, равного нулю. Заметим, что

			N			N
∆vmx = 0,			mx = vd , ∑vmx			+∆N)vd + ∑∆vmx . Тогда согласно
				=(N
		v
			m=1			m=1

определению, для дисперсии тока имеем

			2	2	N			2	2
2				= (e l)		∑vmx	−vd N		= (e l)
(∆I)	= I(t) −I
					m=1

	N	2
	+ ∑
∆N vd		∆vmx .
	m=1

Мгновенные значения тепловых скоростей разных электронов независимы,

т.е. ∆vmx ∆vpx = 0 , когда p ≠ m . Также независимы флуктуации числа

234

электронов в проводнике и их тепловые скорости ∆N ∆vmx

= 0 . Поэтому

вычисление среднего значения квадрата суммы дает

N

2

N

2

2

2

2

∆N vd

+ ∑∆vmx

= vd (∆N )

vd (∆N ) +N(∆vx ) .

+ ∑

∆vmx

m=1

m=1

Таким образом, дисперсия тока состоит из двух слагаемых

		(∆I)2 = (∆Id )2 +(∆IT )2 ,
где
			= (e l)2 vd2			;		(5.26)
		(∆Id )2		(∆N)2
		(∆IT )2	2
			= (e l) N	(∆vx )2 .				(5.27)
Первое из них (∆Id )2 (дробовой шум, шум Шоттки)								обусловлено

флуктуациями числа электронов и проявляется только тогда, когда по проводнику идет ток (vd ≠ 0 ). Вторая составляющая (∆IT )2 (тепловой или джонсоновский шум) связана с флуктуациями скоростей электронов и не зависит от силы тока (скорости дрейфа), существует и в его отсутствие.

Если рассматривать электроны в проводнике как невырожденный газ (например, в проводнике с малой концентрацией электронов), то, согласно

классической статистике идеального газа (5.21), (∆N )2			= N и с учетом (5.24)
		= eI ,	(5.28)
	(∆Id )2
		t0

где t0 =lvd – среднеевремя, закотороеэлектронпроходитпроводникдлиной l .

Для вычисления флуктуаций числа частиц вырожденного газа в s –ом состоянии удобно использовать формулу (5.20б), которая для Ферми-газа

(ns	= exp((εs	−µ) kT )−1 −1 ) дает

(∆ns )2 = ns (1 −ns ) .

235

В силу статистической независимости флуктуаций различных ns

после

суммирования этой формулы по группе из Gj

близких друг к

другу

состояний, содержащих всего Nj = ∑ns

частиц, получим

N

2

j

(∆N )

=G n (1 −n ) = N

−

,

(5.29)

1

j

j j

j

G

j

j

где nj – общее значение близких друг к другу ns , Nj = njGj .

Здесь мы ограничимся анализом дробового шума исходя из модели невырожденного электронного газа, т.е. формулы (5.28). Каждый электрон,

перемещаясь по проводнику с дрейфовой скоростью vd , создает импульс тока длительностью, равной времени его пролета. Генерация этих импульсов случайна в том смысле, случаен момент их возникновения (не все электроны

проходят путь l ). Считаем, что амплитуда отдельного импульса	во
временном интервале −t0 2 <t < t0 2 равна F(t) = A = const.	Для

определения реакции токовой цепи, подключаемой к проводнику, на дробовой шум целесообразно его представить в виде спектрального разложения (суммы синусоидальных сигналов):

1

∞

1

t0

2

At0

sin(ωt0 2)

S(ω) =

∫ F(t)e−iωtdt =

∫

Ae−iωtdt =

.

2π

2π

2π

−∞

−t

0

2

ωt

0

2

Энергия спектральной составляющей с частотой пропорциональна квадрату модуля спектральной плотности (рис. 5.1).

		S(ω)		2 =	A2t02		sin2 (ωt0 2)
					4π2		(ωt0 2)2

Она максимальна при ω = 0 и близка к нулю вне интервала ω > 2π t0 . Чтобы оценить полосу частот, в которой дробовой шум отличен от нуля, заменим

236

реальную	функцию		S(ω)		2
							S(ω)		2

прямоугольника, как это показано на рис. 5.1 пунктиром. Высота его

равна S(0)2 , а ширина (2∆ω )

выбирается такой, чтобы площадь

прямоугольника равнялась площади

2∆ω

под кривой

S(ω)

2 :

−2π t0

2π t0

2

∞

2 dω

0

2∆ω

S(0)

= ∫

S(ω)

Рис. 5.1.

−∞

Откуда следует

∞ sin2 (ωt0 2)

2

∞

sin2 y

2∆ω = ∫

dω =

∫

dy

=

2

2

−∞

(ωt0 2)

t0 −∞

y

.

∞

2

∞

∞

sin

y

2 sin y cos y

2

sin 2y

2π

2

∫

∫

=

t0

−

y

+

y

dy

=

t0 −∞

y

dy =

t0

.

−∞ −∞

Таким образом, полоса частот, в которой дробовой шум отличен от нуля,

равна ∆fd = 1 2t0 , и формула (5.28) принимает вид

(∆I	)2 = 2eI∆f .	(5.30)
d	d

Устройство, подключенное к шумящему проводнику может реагировать не на все частоты спектра дробового шума. Если полоса пропускания устройства ∆f больше ∆fd , то шум в нем определяется мощностью пропущенных спектральных составляющих в интервале ∆fd ; в противном случае, ∆f << ∆fd , мощность шумов в устройстве зависит только от его собственной полосы пропускания ∆f0 . С учетом этого замечания дисперсия шумового тока, напряжения и мощности на проводнике сопротивлением R определяются следующими функциями:

237

(∆Id )2 = 2eI∆f ; (∆Ud )2 = 2eIR2∆f ;	W = (∆Id )2R = 2eIR∆f . (5.31)
Поскольку дисперсия компоненты	тепловой скорости равны

(∆vx )2 = vx2 = kT m , то для дисперсии тока теплового шума, согласно (5.27),

имеем

(∆IT )2 =e2nVkT l2m .

(5.32)

Предлагаемая модель учитывает столкновительные процессы, которые изменяют дрейфовую скорость электрона. В промежутке времени τ между столкновениями он под действием напряженности поля ε увеличивает свою

скорость	от нулевой до v1	= −eτε m . Выразим через		среднее значение
скорости	v = −eτε 2m	проводимость	материала		проводника
σ = −env ε=e2nτ 2m . Теперь дисперсию			шумового	тока	(5.32) можно
определить через проводимость

(∆IT )2 = 2σSkT lτ ,

А учитывая известное равенство R = lσS , имеем

		(∆IT )2 = 2kT Rτ.						(5.33)
	Предположим, что время		τ между	vmx
столкновениями отдельного			электрона
одинаково независимо от его скорости
и длины пути. Тогда проекция его
тепловой скорости на ось времени есть
последовательность		импульсов			τ	2 τ	3 τ	4 τ
одинаковой длительности, но разной								t
амплитуды (рис. 5.2). Поэтому переход						Рис. 5.2
к	спектральному	представлению

осуществляется так же, как и в случае дрейфового тока:

238

(∆I	)2 = 4kT∆f R ,	(5.34а)
T	T

где ∆fT = 1 2τ – полоса частот теплового шума.

Поскольку τ очень мало (порядка 10−12 с при комнатных температурах), то спектр теплового шума практически равномерен от нулевой частоты до частот, которые соответствуют миллиметровому диапазону длин волн.

Учитывая, как и раньше, роль полосы	пропускания	прибора ∆f
(практически она всегда меньше ∆fT > ∆f ), найдем
(4∆IT )2 = 4kT∆f	R .	(5.34б)

Дисперсия напряжения и мощность теплового шума определяются выражениями

(∆UT )2 = 4kTR∆f , P = 4kT∆f .

(5.35)

Последние три соотношения называются формулами Найквиста.

5.5. Рассеяния света флуктуациями

Флуктуации плотности вещества вызывают рассеяние света, когда он проходит его объем. Считаем, что вещество не имеет потерь (идеальный диэлектрик), а частотный диапазон излучения превышает ультрафиолетовую границу спектра; здесь можно не учитывать сложных явлений в области собственных частот молекул вещества и рентгеновских лучей. Интенсивность светового пучка при прохождении через вещество уменьшается. В отсутствие поглощения рассеяние объясняется отклонением светового пучка от исходного направления распространения. По этой причине рассеивающее вещество становится видимым. Газ с однородной плотностью не рассеивал бы световых лучей и оставался совершенно прозрачным и невидимым. При облучении светом кристалла с абсолютно правильным расположением атомов он также оказался бы совершенно

239

прозрачным. Наблюдающееся рассеяние света обусловлено отклонением молекул от равномерного, регулярного распределения. Причина этих отклонений – тепловое движение молекул и, как следствие, флуктуации их плотности ρ. Флуктуации возникают в весьма малых объемах δV , масштаб которых меньше длины волны падающего света. Такие локальные «рои» молекул и есть те неоднородности, на которых рассеивается свет.

Диэлектрическая проницаемость ε в объеме		δV отклоняется от среднего
значения на величину	∆ε = (∂ε ∂ρ)∆ρ, которые приводит к изменению
вектора поляризации	(P = (ε−1)E 4π)	∆P = ∆εE 4π. Поскольку

напряженность меняется по гармоническому закону E = E0 cos ωt , то отклонение вектора поляризации от среднего значения изменяется по тому же закону, и дипольный момент объема δV оказывается равным

∆P(δV ) = ∆P δV = δ4Vπ ∆εE0 cos ωt .

Считая этот дипольный момент точечным, интенсивность (квадрат напряженности) его поля излучения в волновой зоне описывается формулой

′

2

[∆P(δV )]

∂t

2

2

r

2

=

∆I = A

∂

0

= A′

(∆ε)2

ω4(δV )2 (E0

cos ωt)2

= A I0

(∆ε)2(δV )2

(5.36)

2

2

2 4

,

(4π) r

r λ

где I0 – интенсивность возбуждающего поля, r

– расстояние от диполя до

точки наблюдения. При непрерывном и быстром изменении по времени плотности газа средняя интенсивность рассеянного на произвольном объеме

δVj света есть

			2		2			2
			(δVj )
					∂ε		∆ρ
∆I		= A		ρ				.	(5.37)
	j		4 2				ρ
			λ r		∂ρ

В реальности рассеяние света происходит от объемов газа или жидкости, намного больших по сравнению с длиной волны. Такой объем V можно

240

представить	состоящим	из	малых,	но	макроскопических
слабовзаимодействующих частей δVj			(V = ∑δVj	). Флуктуации плотности в
			j

них, а, следовательно, и рассеяние света ими происходит независимо друг от друга, т.е. некогерентно. При некогерентном рассеянии суммируются не амплитуды, а сами интенсивности. Поэтому полная интенсивность света, рассеянного от объема V , равна сумме интенсивностей излучения от его составных элементов. Общее их число в объеме V , очевидно, равно VδV и

∑(δVj )2

=(δV )2V δV . Поэтому

j

I

2

2

∑

0

∂ε

∆ρ

∑

2

I =

∆I

= A

ρ

(δV

)

=

j

4

2

ρ

j

j

λ r

∂ρ

j

(5.38)

I

∂ε

2

∆ρ

2

0

= A

ρ

V δV.

4

2

∂ρ

ρ

λ r

Относительная флуктуация плотности в объеме δV ранее было вычислена

(∆ρ ρ)2

= kT γT δV , ее подстановка в формулу дает общее выражение для

интенсивности света, рассеянного объемомV :

I0

2

∂ε

γ .

(5.39)

I = A

ρ

V

kT

4

2

T

λ r

∂ρ

Очевидна сильная зависимость рассеянной интенсивности от длины волны λ, она резко возрастает с её уменьшением. При переходе от волны красной части спектра (λ = 0, 66 µ) к крайней фиолетовой (λ = 0, 44 µ)

интенсивность увеличивается в 5,1 раза. Если коэффициент при V невелик, то для получения заметной интенсивности рассеяния свет должен проходить через большие толщи вещества.

Видеальномгазеизотермическая сжимаемость γT = −(∂V∂p)T V = 1 p

и kT γT =V N = 1 n , где n – среднее число молекул в единице объема.

241