Метода термодинамика(лекции)

H ≡ Ey Ix Hz .

(6.32)

Действие приложенного магнитного поля проявляется в повороте вектора

электрического поля от iEx				до iEx + jEy			на холловский угол ϕ
				tgϕ = Ey			Ex .				(6.35)
В отсутствие градиента температуры ( rT = 0 ) плотность тока (6.29)
примет вид
	e2		∂f	3	e2				∂(ηv) 3
			0
j = −		∫ τv E		d v −		∫ τv v H				d v = jE	+ jH . (6.36)
	m		∂v		mc
									∂v

Первое слагаемое отвечает за плотность тока, вычисленная раньше (6.31).

Второй интеграл зависит от производной ∂(vη)∂v . Для ее определения обратимся к уравнению (6.28) при нулевом градиенте температуры ( rT = 0 )

	eτ	∂f
ηv =		0		+
	E	∂v
	m

eτ			∂(vη)	.	(6.37)
	v H
			∂v
mc

Его решение ищем методом итераций. Предположим, что магнитное поле мало и главный вклад в ( ηv ) дает первый член, т.е. в первом приближении с учетом ∂f0 ∂v = mv ∂f0 ∂ε

∂(ηv)		eτ ∂			∂f0			∂f0
	=			E			=eτ		E .
∂v		m			∂v			∂ε
			∂v

Подставляя его в (6.37), получаем

	eτ ∂f0			e2τ2		∂f0			.
ηv =			Ev +				E v H
	m ∂v			mc		∂ε

После дифференцирования находим второе приближение

∂(ηv)			∂f0		e2τ2	∂f0			.
		=eτ		E +				E H
∂v			∂ε		mc
						∂ε

Если ограничиться этим приближением, то

jH = −mce3 ∫ τ2v ∂∂fε0 (v H E)d3v +a(H2 ) ,

(6.38)

(6.39)

272

где через a(H2 ) обозначен интеграл, возникающий за счет второго члена в

правой части (6.38). Так как H = Hz k , E = iEx + jEy , то

∫

τ2v

∂f0

v H Ed3v = ∫

τ2v

∂f0

(vyEx −vxEy )d3vHz =

∂ε

∂ε

=

1

2 3

∂f

dε

= −

2m2

2

3

(jEx

3

∫ τ v

∂ε

Hz

(jEx −iEy )

3h

3 τ

(µ)v

(µ) Hz

−iEy ) .

Здесь использована замена d3v = 4πv2dv = 4πvdεm и первое приближение

фермиевского интеграла.

Поскольку

v3(µ) = (2µ0 m)3 = 3nh3

8πm3 ,

магнитная составляющая плотности тока (6.39) принимает вид

j

=

eστ(µ)

(jE

−iE

)H +a(H2 ).

(6.40)

H

x

mc

y

z

Суммарную плотность тока найдем, подставляя (6.40) в (6.36)

j = σE −

eστ(µ)

(iE

− jE

)H +a(H2 ) .

(6.41)

y

mc

x

z

Из (6.41) с учетом того, что jz = jy = 0 , определим следующие выражения для составляющих тока и поля

j

=

σE

−

eHz τ(µ)σ

E

+a

(H2 ),

(6.42)

x

x

y

mc

x

eH

τ(µ)

ay (H2 )

E

= −

z

E +

.

(6.43)

y

mc

σ

Э.д.с. Холла содержит член, линейный по Hz . Иная ситуация для тока. Низшая степень магнитного поля, которая входит в выражение для тока, равна двум. В

этом можно убедиться, если подставить (6.43) для Ey в (6.42). Поскольку было принято предположение, что магнитное поле мало, членами, квадратичными по Hz , можно пренебречь. Тогда из последних формул следует

j		= σE	,	E		= −	eHz τ(µ)	E .	(6.44)
	x				y
		x					mc

Коэффициент Холла определяется выражением

273

		= −	eτ(µ)		= −	1	,	(6.45)
	H		mcσ
					nec

куда входит только плотность электронов, скорость света (в вакууме) и заряд электрона. Если ток переносится дырками, а не электронами, в (6.45) заменяется −e на +e . Следовательно, измеряя коэффициент Холла, можно получить информацию, как о знаке заряда носителей, так и о плотности свободных электронов.

274

ПРИЛОЖЕНИЯ

П. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

П.1.1. Определения и понятия теории вероятностей ( ТВ) . ТВ изучает количественную характеристику массовых явлений. Испытанием в ТВ принято называть реализацию точно установленных предписаний и условий, которые принципиально могут воспроизводиться неограниченное число раз. Результат испытания называется событием.

Если событие A при N одинаковых испытаниях происходит KN (A) −

раз, то величина
WN (A) = KN (A) N	(П.1.1)

представляет собой частоту повторения события A в заданной серии испытаний. Если выражение (П.1.1) при N → ∞ стремится к предельному значению

W(A) = lim KN (A) N ,	(П.1.2а)
N →∞

то последнее называется вероятностью события. Вероятность некоторого k - го состояния системы может быть определена по формуле

W(k) = lim ∆tk	T ,	(П.1.2б)
T →∞
где ∆tk − время пребывания системы в	k -ом	состоянии, T − время
наблюдения.

Следует отметить, что характер приближения к вероятности при увеличении числа испытаний отличается от “стремления к пределу” в математическом смысле слова. При возрастании числа испытаний частота приближается к вероятности, но не с полной достоверностью, а с большой вероятностью, которая при большом числе опытов может рассматриваться

275

как практическая достоверность. (Строгое определение вероятности см. в соответствующих учебниках).

Если случайная величина (СВ) x имеет непрерывный спектр значений, то вероятность того, что она будет находиться в интервале от x до x +dx равна

dW(x) = f(x)dx ,

(П.1.2в)

где f(x) − функция статистического распределения (функция распределения).

Ее еще называют плотностью вероятности, так как она имеет смысл вероятности отнесенной к единичному интервалу изменения СВ.

П.1.2. Свойство вероятностей. Из определения (П.2) следует, что

0 ≤W(A) ≤1.

(П.1.3)

Два события A и B называются несовместимыми (несовместными), если при испытании они не могут произойти одновременно. Суммой или объединением двух событий

C = A B

называется наступление одного из двух событий. Знак означает “или − или”. Вероятность наступления одного из двух несовместимых событий A или B определяется теоремой сложения вероятностей

W(A B) =W(A) +W(B).

(П.1.4)

Эта теорема, следующая из (П.1.2), распространяется на случай любого числа несовместных событий, как с дискретным, так и непрерывным спектром значений.

k

k +1

n

n

k

(

1

2

)

x2

W(...x

x

) =

∑

=

∫

f(x)dx . (П.1.5)

... x

W(x

); W x [x

,x

]

k=1	x1

Вероятность того, что СВ принимает значение, меньшее некоторого заданного числа x , равна

W(xi < x) = Φ(x) = ∑W(xi ).

xi <x

276

Если СВ имеет непрерывный спектр значений из ограниченного или бесконечного интервала, то

x0

W(x < x0 ) = Φ(x0 ) = ∫ f(x)dx .

− ∞

Совокупность всех событий, которые могут произойти при одном испытании, называется полной системой. Вероятность реализации хотя бы одного события из полной системы есть достоверное событие (условие нормировки):

N	∫ f(x)dx = 1.
∑W(xk ) = 1;		(П.1.6)

k =1

Здесь суммирование (интегрирование) ведется по всем возможным событиям (значениям).

Если полная система состоит из двух событий A и A, A− противоположное событие, заключающееся в том, что событие A не происходит, то этот факт можно представить формулой

A A =U ,

гдеU − достоверное событие. В этом случае

W(A A) =W(U ) = 1; W( A ) = 1 −W(A).

(П.1.7)

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность реализации другого. Сложное событие C , состоящее в одновременной или последовательной реализациях двух независимых A и B , называется пересечением (или произведением) составляющих его событий

C = A ∩B .

Знак ∩ имеет смысл “как − так и”.

Для двух независимых событий выполняется теорема умножения вероятностей

W(A ∩B) =W(A)W(B); dW(x,y) = dW(x) dW(y). (П.1.8)

277

Эта теорема обобщается на произвольное число независимых событий. Если событие A изменяет условия испытания и тем самым вероятность

наступления события B , то эти события называются взаимозависимыми. Вероятность наступления события B в предположении, что событие A произошло, называется условной вероятностью и обозначается символом

W(BA). Для одновременного или последовательного наступления двух взаимозависимых событий A и B теорема умножения принимает вид

W(A ∩B) =W(A)W(B A) =W(B)W(A B).

(П.1.9)

П.1.3. Основные характеристики случайной величины. В качестве важных параметров распределения в теории вероятностей рассматривают среднее значение СВ:

= ∑xi W(xi ),

(П.1.10)

x

x

= ∫ x f (x)dx ,

i

ее среднеквадратичное отклонение (флуктуацию)

= ∑(xi −

)2W(xi ) , σ = ∫ (x −

)2

f(x)dx .

(П.1.11)

σ =

(∆x)2

x

x

i

и дисперсию −D = σ2 . Последняя характеризует разброс СВ относительно ее среднего значения. Относительной флуктуацией называется величина

			δx = (∆x)2	x = σ x .		(П.1.12)
Наряду со средними значениями СВ используют понятие среднего
значения функций СВ:
					= ∫ F(x)f(x)dx .
	F(xi ) = ∑F(xi ) W(xi ),			F(x)		(П.1.13)
		i
Или с учетом условий нормировки:
F(xi ) = ∑F(xi ) W(xi )			∑W(xi ), F(x) = ∫ F(x)f(x)dx ∫ f(x)dx . (П.1.14)
i			i

Среднее значение суммы СВ равно сумме их средних значений

278

	= ∑		,
∑xi		xi		(П.1.15)

среднее значение произведения независимых СВ равно произведению их средних значений

∏xi	= ∏	xi	.	(П.1.16)
i=1	i=1

Здесь под xi понимается совокупность произвольных СВ.

П.1.4. Функции распределения. Если в каждом из N независимых испытаниях вероятность наступления события A равна w , то вероятность, что это событие реализуется в точности k раз, не учитывая порядка событий, определяется биномиальным законом распределения (или распределением Бернулли):

W (k) =C k wk (1 −w)N −k = N !wk (1 −w)N −k		(k !(N −k)!). (П.1.17)
N	N

Эта формула обобщается на несколько независимых событий Ai (i = 1,2,...).

Если их вероятности соответственно равныwi(A i ), то вероятность, что в N

испытаниях точно ki раз произойдет событие A i (N = ∑ki ), равна

i

WN (k1,k2,...) = N ! (w1k1 w2k2 w3k3 ...) (k1 ! k2 ! k3 !...) = N !∏(wiki ki !). (П.1.18)

i

Вероятность, что событие A осуществляется в N опытах по крайней мере k

раз, есть сумма N −k +1 первых членов разложения бинома(w +q)N :

N −k
∑CNj wN −j (1 −w)j = wN +CN1 wN −1q +... +CNk wkqN −k ,			(П.1.19)
j=0
где q = 1 −w − вероятность события A .
Распределение Бернулли удовлетворяет условию нормировки
N
∑WN (k) = 1 .			(П.1.20)

k=0

279

При биномиальном распределении среднее число реализаций случайного события равно произведению числа испытаний и его вероятности при одном испытании

		N
k = ∑kWN (k) = Nw .			(П.1.21)
		k =0

Дисперсия такого случайного события равна произведению трех сомножителей

(∆k)2 = k2 −k2 = Nw(1 −w).

Асимптотическими выражениями распределения Бернулли является нормальное гауссовское и распределение Пуассона, когда при большом числе испытаний (N >> k ) вероятность w события – малая величина (w <<1 ) (закон редких явлений):

W (k) = (Nw)ke−N w	k !.	(П.1.22)
N

Оно является математической моделью радиоактивного распада, количества экстремальных ситуаций, дробового эффекта и других “редких событий”. Среднее значение и дисперсия случайного события, распределенного по этому закону, совпадают и равны

k = (∆ k)2 = Nw .

(П.1.23)

280

П.2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ

П.2.1. Гамма−функция. Тождественные интегральное и факториальное представления гамма−функции Γ(z) для всех вещественных или комплексных

значений z имеютвид:

∞
Γ(z) = ∫e−x xz−1dx			для	Re z > 0 ,			(П.2.1)
0
∞
Γ(z, β) = ∫e−βxxz−1dx = β−z Γ(z)				для β > 0 ,			(П.2.2)
0
Γ(z) = lim		m ! mz				,	(П.2.3)
		+1)	... (z +m)
m→∞ z(z

При произвольных значениях аргумента справедливы следующие рекуррентные соотношения

Γ(z +1) = zΓ(z); Γ(z)Γ(1 −z) = −zΓ(z)Γ(−z) = πsin πz . (П.2.4)

Когда z является положительным целым или полуцелым числом, то

Γ(n +1) = n ! ;							2n	(n !)		;	(П.2.5а)
				Γ(n +1 2) = (2n)! π 2
Γ(1 2) =	π ;		Γ(1 2 −n) = (−1)n 2n (n !)					π (2n)! .			(П.2.5б)
Через гамма-функцию определяется интеграл Пуассона
∞		− βy2			−(z +1) 2
∫e			z	dy = 0.5β		Γ					(П.2.6)
			y				(z +1) 2 .
0
П.2.2. Функции		Гаусса и			вероятности			ошибок			( e r r o r

f u n c t i o n ) . Функцией Гаусса называют нормированную зависимость вида:

ψ(x) = exp(−x2	2δ2 )	2πδ2 .	(П.2.7)
Ее ширина 2δ есть расстояние между точками x = −δ			и x = δ, где вторая
производная равна нулю.

281