Лабораторная работа №2. Краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона

Элементы теории

Краевая задача для уравнения Пуассона является математическим описанием разнообразных технических задач: задачи изгиба мембраны, задачи стационарного распределения температуры в конструкциях, задачи кручения стержня, входит главной составной частью в задачи теории упругости и т. д.

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольной области (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Ее математическая формулировка имеет вид:

(2.1)

где — оператор Лапласа.

Здесь все величины заданы, кроме функции U(x,y) – искомой функции.

Разобьем исходную прямоугольную область на мелкие прямоугольники с помощью сетки с шагом по первому направлению и с шагом- по второму направлению (рис. 2.2):где— число узлов сетки по первому и второму направлениям.

Рис. 2.2

Будем рассматривать задачу (2.1) в узлах сетки. Каждый узел сетки имеет номер, определяемый двумя величинами (i, j):

i=0, 1, . . . , N₁- номер узла по направлению осиx,

j=0, 1, . . . , N₂- номер узла по направлению осиy.

Обозначим

Вторые производные для внутренних узлов сетки (i,j)по каждому направлению заменим вторыми разностями.

Тогда краевая задача в конечных разностях примет вид

j=1, 2, . . . ,N1-1 , i=1, 2, . . . , N2-1– внутренние точки. При этом для граничных точек

(2.2)

Таким образом, для определения во внутренних точках достаточно решить систему изуравненийcнеизвестными, используя заданные значенияна границе.

С алгоритмической точки зрения наиболее простыми способами решения такой системы являются итерационные, в частности, метод Зейделя и метод простой итерации.

Для этого, выделив из уравнений (2.2) диагональный член , получим

.

Далее, задав начальное приближение для внутренних точек и присвоив заданные значениядля граничных точек, реализуем алгоритм метода Зейделя в виде

(2.3)

Здесь и в дальнейшем k= 1, 2, …— номер итерации.

Счет ведется до тех пор, пока не будет выполнено условие

(2.4)

где — заданная точность, величинаz— оценка погрешности.

Задание

Решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольной области для N₁N₂точек, N₁=8 иN₂=6.

Варианты задания

. (2.5)

Краевые условия: при x=0иx=l₁

U=,(2.6)

при y=0иy=l₂

U=,(2.7)

где l₁=1, l₂=1, S —номер варианта.

Пример выполнения задания

• Выделяем прямоугольник A3:J10 и задаем границу таблицы (снаружи и внутри). Для построения наклонной черты ячейки А3 следует использовать меню Формат —Ячейки — Граница.

• Для заполнения строки значений координат Х, в ячейку В3 следует ввести число 0, в ячейку J3 — число 1, выделить ячейки B3:J3 и воспользоваться менюПравка —Заполнить —Прогрессия.

• Заполнение строки значений координат Yвыполняем аналогичным образом.

• Ниже строки 12 вводим исходные данные. При этом рекомендуем каждой ячейке присвоить имя соответствующей переменной. Для переменных S,N₁,N₂,l₁,l₂вводим константы из задания. Для остальных переменных — соответствующие формулы: для F — формулу (2.5),h₁=l₁/N₁, h₂=l₂/N₂.

• В ячейку В4 вводим формулу (2.7) и протаскиваем ее в ячейкиС4:J4; копируем ячейкиB4:J4 в ячейкиB10:J10 как массив (т.е. выделяем ячейкиB10:J10, нажимаем в строке формул =, выделяем ячейкиB4:J4 и нажимаем {Ctrl+Shift+Enter}). В ячейкуВ5 вводим формулу (2.6)и протаскиваем ее в ячейкиВ6:В9; копируем ячейкиВ5:В9 в ячейкиJ5: J10 как массив.

• В ячейку С5 вводим формулу (2.3) и протаскиваем ее в ячейкиС6:С9, затем выделяем ячейкиС5:С9 протаскиваем их до ячеекI5:I9.

• Для выполнения итерационного процесса во вкладке Вычисления диалогового окна Параметры меню Сервис устанавливаем флажок Итерации, предельное число итераций — 1000 и относительную погрешность — 0,001.

Литература: Ж. И. Мсхалая, Ю. В. Осипов, А. Б. Павлов. ОСНОВЫ СОВРЕМЕН-НОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ ТЕХНОЛОГИИ. Москва, 2008 г. Гл. 4.2.4.2.8.