Случайная величина y
1) Интервальный вариационный ряд:
Разобьём выборку, например, на пять интервалов. Вычислим шаг .
Частичный интервал |
Сумма частот вариант интервала ni |
Относительные частоты wi = ni/n |
Плотность относительной частоты wi/h |
23-24,6 |
1 |
0,01 |
0,00625 |
24,6-26,2 |
31 |
0,31 |
0,19375 |
26,2-27,8 |
27 |
0,27 |
0,16875 |
27,8-29,4 |
35 |
0,35 |
0,21875 |
29,4-31 |
6 |
0,06 |
0,0375 |
|
100 |
1 |
|
Дискретный вариационный ряд:
yi |
23 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
0 |
23 |
ni |
1 |
8 |
23 |
27 |
25 |
10 |
4 |
2 |
100 |
1 |
2) Полигон и гистограмма относительных частот:
-
Эмпирическая функция распределения.
|
0 |
y<=23 |
|
0,01 |
23<y<=25 |
|
0,09 |
25<y<=26 |
|
0,32 |
26<y<=27 |
F*(y)= |
0,59 |
27<y<=28 |
|
0,84 |
28<y<=29 |
|
0,94 |
29<y<=30 |
|
0,98 |
30<y<=31 |
|
1 |
y>31 |
График
-
Числовые характеристики выборки:
Выборочная средняя .
Выборочная дисперсия .
Выборочное среднее квадратическое отклонение .
Выборочный коэффициент асимметрии .
Выборочный коэффициент эксцесса:
5) Исходя из механизма образования СВ, а также по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значениям выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса сделаем предварительный вывод о том, что СВ распределена по нормальному закону.
6) Дифференциальная функция распределения:.
Интегральная функция распределения: .
7) Проверка гипотезы о нормальности закона распределения с помощью критерия согласия .
Получение теоретических частот:
Найдём интервалы () по формулам , учитывая, что . Затем теоретические вероятности и теоретические частоты .
yi |
yi+1 |
y* |
zi |
zi+1 |
Ф(zi) |
Ф(zi+1) |
pi |
ni' |
23 |
24,6 |
23,8 |
- |
-1,8472 |
-0,5 |
-0,4678 |
0,0322 |
3,22 |
24,6 |
26,2 |
25,4 |
-1,8472 |
-0,7191 |
-0,4678 |
-0,2642 |
0,2036 |
20,36 |
26,2 |
27,8 |
27 |
-0,71915 |
0,40893 |
-0,2642 |
0,1591 |
0,4233 |
42,33 |
27,8 |
29,4 |
28,6 |
0,408926 |
1,537 |
0,1591 |
0,4382 |
0,2791 |
27,91 |
29,4 |
31 |
30,2 |
1,536997 |
|
0,4382 |
0,5 |
0,0618 |
6,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона:
ni |
ni' |
(ni-ni')^2/ni' |
1 |
3,22 |
1,530559006 |
31 |
20,36 |
5,560392927 |
27 |
42,33 |
5,55182849 |
35 |
27,91 |
1,801078466 |
6 |
6,18 |
0,005242718 |
100 |
100 |
14,44910161 |
Для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = 5 – 3 = 2 (5 - число интервалов) находим . Так как , то гипотезу о нормальном распределении выборки отвергаем.
8) Так как гипотеза о нормальном законе распределения отвергнута, то интервальные оценки не находим.
9) а) корреляционная таблица
|
23 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
126 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
127 |
1 |
|
10 |
5 |
|
|
|
|
128 |
|
2 |
6 |
10 |
2 |
|
|
|
129 |
|
|
7 |
8 |
9 |
2 |
|
|
130 |
|
|
|
4 |
10 |
3 |
|
|
131 |
|
|
|
|
4 |
4 |
2 |
|
132 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
б) выборочный коэффициент корреляции:
.
в) Вычислим наблюдаемое значение критерия:
.
По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы k = 100 – 2 = 98 находим по таблице критическую точку . Поскольку , то гипотеза о равенстве нулю выборочного коэффициента корреляции отвергается. Значит X и Y коррелированны, т. е. связаны линейной зависимостью.
г)
д) Эмпирическая функция регрессии Y на X:
Y = aX+b |
Y = 0,74X - 68,52 |
График ………
Эмпирическая функция регрессии X на Y:
X = aY+b |
X = 0,88Y +104,77 |
График……….