3. Арифметическое n-мерное пространство

Чтобы перейти к понятию функции от n независимых переменных (), введем еще несколько определений.

Назовем (n-мерной) «точкой» упорядоченный набор из n вещественных чисел , сами числа–координатами этой «точки» М. Множество всех n-мерных «точек» составляет n-мерное пространство (которое иногда называют арифметическим).

«Расстояние» между двумя (n-мерными) «точками»

и

вычисляется по известной из аналитической геометрии формуле:

== = .

При или 3 это «расстояние» совпадает с обычным расстоянием между двумя геометрическими точками.

4. Примеры областей в n-мерном пространстве

Приведем несколько примеров.

1. Множество точек , координаты которых независимо одна от другой удовлетворяют неравенствам

…,

называется (n-мерным) «прямоугольным параллелепипедом», который можно обозначить так:

.

Если в указанных неравенствах исключить равенство, то полученная система строгих неравенств

…,

будет определять открытый «прямоугольный параллелепипед»

,

в отличие от которого первый будет называться замкнутым.

Окрестностью точки будем называть любой открытый «параллелепипед»:

) с центром в точке .

Если все , то получаем «куб».

2. Множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

, ,

называют замкнутым симплексом (если неравенства строгие, то открытым). При эта система неравенств определит равнобедренный прямоугольный треугольник (рис. 10 (а)) с длиной катетов, а при– тетраэдр (рис. 10 (б)).

Рис. 10

3. Множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству

(или ),

где – некоторая фиксированная точка, а – положительное постоянное число, образуютзамкнутый (или открытый) n-мерный «шар» радиуса с центром в точке. Приэто будет круг, а при– обыкновенный шар.

Открытый «шар» любого радиуса с центром в точке можно рассматривать как окрестность этой точки, которую можно назвать«сферической» окрестностью, в отличие от «параллелепипедальной» окрестности.

Следует заметить, что если точка окружена окрестностью одного из типов, то ее можно окружить окрестностью второго типа так, чтобы эта окрестность полностью содержалась в первой, и наоборот. Это можно легко доказать, используя рассуждения, приведенные для случая плоских множеств.

5. Общее определение открытой и замкнутой области

Точка называетсявнутренней точкой множества D, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой достаточно малой своей окрестностью (безразлично, какого типа).

Для открытых «параллелепипеда» и «шара» каждая их точка является внутренней.

Множество, целиком состоящее из внутренних точек, будем называть открытой областью.

Точка называетсяточкой сгущения множества D, если в каждой ее окрестности содержится хотя бы одна точка множества D, отличная от .

Точки сгущения для открытой области, не принадлежащие ей, называются граничными точками этой области. Множество всех граничных точек открытой области образуют границу области.

Открытая область вместе со своей границей называется замкнутой областью.

Утверждение. Замкнутой области принадлежат все ее точки сгущения.

6. Функции nпеременных

Пусть имеем n переменных , значения которых могут выбираться произвольно из некоторого множества точек n-мерного пространства. Эти переменные называются независимыми. Определение функции и все сказанное выше по поводу него для случая двух независимых переменных непосредственно переносится на рассматриваемый случай.

Если точку обозначитьM, то функцию от этих переменных иногда называют функцией точкиM и обозначают тем же знаком: .

Предположим теперь, что в некотором множестве D точекm-мерного пространства (m не связано с n) заданыnфункций отmпеременных:

_{или, короче, (1)}

где означает точкуm-мерного пространства.

Допустим, кроме того, что когда точка изменяется в пределах множестваD, соответствующая ей n-мерная точка M с координатами (1) не выходит за пределы n-мерного множества , где определена функция =.

Тогда переменную u можно рассматривать как сложную функцию от независимых переменных (в множествеD) – через посредство переменных :

.

Процесс определения сложной функции по функциям и функцииназываетсясуперпозицией.

11