Уравнение спирали Корню в параметрической форме имеет вид

, .

Эти интегралы называются интегралами Френеля. Они не берутся в элементарных функциях, однако имеются таблицы, по которым можно находить значения интегралов для разных .

Смысл параметра заключается в том, что дает длину дугикривой Корню, измеряемую от начала координат.

Числа, отмеченные вдоль кривой на рис. 3.3.13, дают значения параметра . Точки и, к которым асимптотически приближа­ется кривая при стремлении к и, называются фоку­сами или полюсами спирали Корню. Их координаты равны

, для точки,

, для точки.

Правый завиток спирали (участок ) соответствует зонам, рас­положенным справа от точки , левый завиток (участок) -зонам, расположенным слева от точки .

Найдем производную в точке кривой, отвечающей дан­ному значению параметра . Приращению на соответствует

, .

Следовательно, . Вместе с тем, где- угол наклона касательной к кривой в данной точке. Таким образом,

.

Отсюда следует, что в точке, отвечающей , касательная к кри­вой Корню перпендикулярна к оси . Приуголравен,так что касательная параллельна оси . Приуголравен, так что касательная снова перпендикулярна к оси , и т. д.

Спираль Корню дает возможность найти амплитуду световогоколебания в любой точке экрана. Положение точки будем характе­ризовать координатой , отсчитываемой от границы геометрической тени (см. рис. 3.3.9).Для точки , лежащей на границе геометриче­ской тени , все штрихованные зоны будут закрыты. Колеба­ниям от не штрихованных зон соответствует правый завиток спи­рали. Следовательно, результирующее колебание изобразится век­тором, начало которого находится в точке, а конец - в точке(рис. 3.3.14, а). При смещении точкив область геометрическойтени полуплоскость закрывает все большее число не штрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора перемещается по правому завитку в направлении полюса F₁ (рис. 3.3.14, б). В ре­зультате амплитуда колебания монотонно стремится к нулю.

Если точка смещается от границы геометрической тени впра­во, в дополнение к не штрихованным зонам открывается все возрас­тающее число штрихованных зон. Поэтому начало результирую­щего вектора скользит по левому завитку спирали в направлении к полюсу . При этом амплитуда проходит через ряд максимумов(первый из них равен длине отрезка на рис.3.3.14, в) и минимумов (первый из них равен длине отрезка на рис. 3.3.14, г).При полностью открытой волновой поверхности амплитуда равна длине отрезка (рис. 3.3.14, д), т. е. ровно в два раза превыша­ет амплитуду на границе геометрической тени (см. рис. 3.3.14, а). Соответственно интенсивность на границе геометрической тени составляет 1/4 интенсивности , получающейся на экране в отсут­ствие преград.

Зависимость интенсивности света от координатыдана нарис. 3.3.15. Из рисунка видно, что при переходе в область геомет­рической тени интенсивность изменяется не скачком, а постепенно стремится к нулю. Справа от границы геометрической тени распо­ложен ряд чередующихся максимумов и минимумов интенсивности.

Вычисления дают, что прим имкм координаты макси­мумов (см. рис.3.3.15) имеют следующие значения: мм, мм, мм,мм и т. д. С изменением расстоя­ния от полуплоскости до экрана значения координат макси­мумов и минимумов изменяются как . Из приведенных данных следу­ет, что максимумы располагаются до­вольно густо. С помощью кривой Корню можно также найти относи­тельную величину интенсивности в максимумах и минимумах. Для первого максимума получается значение , для первого минимума.

Дифракция от щели. Бесконечно длинную щель можно обра­зовать, расположив рядом две обращенные в разные стороны полу­плоскости. Следовательно, задача о дифракции Френеля от щели может быть решена с помощью спирали Корню. Волновую поверх­ность падающего света, плоскость щели и экран, на котором наблюдается дифракционная картина, будем считать параллельными друг другу (рис.3.3.16).

Для точки , лежащей против середины щели, начало и конецрезультирующего вектора находятся в симметричных относительно начала координат точках спирали (рис. 3.3.17). Если сместиться в точку , лежащую против края щели, начало результирующего

вектора переместится в середину спирали . Конец вектора пере­местится по спирали в направлении полюса. При углублении вобласть геометрической тени начало и конец результирующего век­тора будут скользить по спирали и в конце концов окажутся на наименьшем расстоянии друг от друга (см. на рис. 3.3.17 вектор, соответствующий точке ). Интенсивность света достигнет при этом минимума. При дальнейшем скольжении по спирали начало и конец вектора снова отойдут друг от друга и интенсивность будет расти. То же самое будет происходить при смещении из точки в противоположную сторону, так как дифракционная картина сим­метрична относительно середины щели.

Если изменять ширину щели, сдвигая полуплоскости в противо­положные стороны, интенсивность в средней точке будет пульси­ровать, проходя попеременно через максимумы (рис. 3.3.18, а) и отличные от нуля минимумы (рис.3.3.18, б).

Итак, френелевская дифракционная картина от щели представ­ляет собой либо светлую (в случае, изображенном на рис. 3.3.18, а), либо относительно темную (в случае, изображенном на рис. 3.3.18, б) центральную полосу, по обе стороны которой располагаются сим­метричные относительно нее чередующиеся темные и светлые по­лосы.

При большой ширине щели начало и конец результирующего вектора для точки лежат на внутренних витках спирали вблизи полюсов и . Поэтому интенсивность света в точках, расположенных против щели, будет практически постоянной. Только на границах геометрической тени образуется система густо расположенных узких светлых и темных полос.

Заметим, что все полученные в данном параграфе результатысправедливы при условии, что радиус когерентности падающей на преграду световой волны намного превосходит характерный раз­мер преграды (диаметр отверстия или диска, ширину щели и т. п.).

Принцип Гюйгенса – Френеля позволяет достаточно просто рассчитать интенсивность света для разных случаев дифракции. При отыскании точных решений необходимо преодоление следующих трудностей, с которыми теория Френеля справиться не могла:

1. в теории Френеля предполагается, что амплитуды и начальные фазы колебаний в точках поверхности, закрытых непрозрачными экранами, такие же, как и в отсутствии последних. Это предположение неправильно, так как граничные условия в точках поверхности экрана зависят от его материала.

2. Теория Френеля дает неправильное значение фазы результирующей волны. Для того, чтобы избежать этой ошибки, в фазе надо считать, что колебания всех вторичных источников, расположенных вдоль некоторой поверхности S₁ совершаются с опережением по фазе π/2 по сравнению с колебаниями в соответствующих точках поверхности S, вызываемых первичной волной.

3. Теория Френеля базируется на чисто качественном допущении о зависимости амплитуды вторичных волн от угла α между рассматриваемым направлением излучения и нормалью к фронту первичной волны.