- •Федеральное агентство по образованию
- •Цель работы: исследование проводимости полупроводников с собственной и примесной проводимостью.
- •1.Краткие теоретические сведения
- •1.1. Зонная теория твердого тела
- •1.1.1. Уравнение шредингера для твердого тела
- •1.1.2. Одноэлектронное приближение
- •1.1.3. Функции блоха
- •1.1.4. Свойства волнового вектора электронов в кристалле. Зоны бриллюэна
- •1.1.5. Энергетический спектр электронов в кристалле. Модель кронига-пенни
- •1.1.6. Заполнение зон электронами. Металлы, диэлектрики, полупроводники
- •1.1.7. Эффективная масса электрона
- •1.2. Электрические свойства полупроводников
- •2.1.1.Энергетические уровни примесных атомов в кристалле
- •2.1.2. Собственная проводимость полупроводников
- •2.1.3.Электропроводность примесных полупроводников
- •2.1.4.Элементарная теория электропроводности полупроводников
- •1.2.5.Статистика электронов и дырок в полупроводниках
- •1.2.5.1.Плотность квантовых состояний
- •1.2.5.2.Функция распределения ферми-дирака
- •1.2.5.3.Степень заполнения примесных уровней
- •1.2.5.4.Концентрация электронов и дырок в зонах
- •1.2.6.Зависимость проводимости полупроводника от температуры
- •2.Методика эксперимента и экспериментальная установка
- •3. Порядок выполнения исследований
- •4. Требования к оформлению отчета
- •5. Контрольные вопросы
- •Примечание
- •Раздел 1 теоретических сведений предназначен только для студентов фрэи, для студентов других специальностей – на усмотрение преподавателя.
- •6.Список литературы
1.1.2. Одноэлектронное приближение
Многоэлектронная задача (решение уравнения (1.1.2)) может быть сведена к одноэлектронной. Для этого используют метод Харти-Фока, который состоит в замене потенциальной энергии взаимодействия электронов в уравнении (1.1.2) потенциальной энергией вида , представляющей собой энергию взаимодействияi-го электрона с некоторым эффективным полем, в котором каждый электрон движется независимо. Это поле характеризует действие всех остальных электронов на i – ый электрон. Тогда уравнение Шредингера принимает вид:
, (1.1.3)
то есть гамильтониан системы представляет теперь сумму гамильтонианов отдельных электронов.
Решением (1.1.3) является функция
. (1.1.4)
Каждая удовлетворяет одноэлектронному уравнению Шредингера, в котором взаимодействиеi-го электрона с остальными описывается потенциалом .
Таким образом, введение эффективного поля позволяет свести многоэлектронное уравнение к системе одноэлектронных. При этом энергия системы .Функция (1.1.4) является решением уравнения Шредингера для кристалла, однако не удовлетворяет принципу Паули.
Согласно принципу Паули, в одном квантовом состоянии, характеризуемом волновой функцией , не может находиться более двух электронов с разной ориентацией спинов. Удовлетворяющая этому условию полная волновая функция системы должна быть антисимметричной, то есть менять знак при перемене местами двух электронов. Эту функцию записывают в виде определителя Слэтера:
Здесь N -число электронов, q обозначает набор трех пространственных координат и проекций спина, множитель обеспечивает нормировку функции. Антисимметричные свойства вытекают из свойств определителя.
Обозначим потенциальную энергию электрона в кристалле и запишем уравнение Шредингера в виде
.
Атомы в кристалле расположены строго периодически, поэтому полный потенциал кристалла должен обладать трехмерной периодичностью.
1.1.3. Функции блоха
Блохом было доказано, что волновые функции, являющиеся решениями одноэлектронного уравнения Шредингера с периодическим потенциалом, имеющим период решетки, представляют собой плоские волны, модулированные некоторой функцией с периодичностью решетки:
. (1.1.5)
Здесь - некоторая периодическая функция с периодом, равным периоду решетки, зависящая от волнового вектора.
Условия периодичности потенциальной энергии в кристалле , где, где– векторы единичных трансляций,- произвольные целые числа. При смещении кристалла на, он совмещается сам с собой. Из условия трансляционной симметрии следует, что волновая функция электронаотличается от волновой функциинекоторым постоянным множителем
. (1.1.6)
Из условия нормировки , Это условие можно удовлетворить, положив, где- волновой вектор, характеризующий квантовое состояние электрона в кристалле. Тогда из выражения (1.1.6) получаем:
,
или
,
где . Таким образом, волновая функция электрона в кристалле представляет собой бегущую волну, модулированную периодической функцией, имеющей период решетки и зависящей от волнового вектора. Функция, определяемая уравнением (1.1.5), называется функцией Блоха.