1.4. Закон ома для неоднородного участка цепи
На носители тока на неоднородном участке цепи действуют, кроме электростатических сил , еще и сторонние силы. Сторонние силы способны вызывать упорядоченное движение носителей тока так же, как и силы электростатические. На неоднородном участке цепи средняя скорость упорядоченного движения носителей пропорциональна суммарной силе, тогда плотность тока
(2)
– это закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной форме.
Перейдем к интегральной форме этого закона. Рассмотрим неоднородный участок цепи. Допустим, что внутри этого участка существует линия (контур тока) удовлетворяющая следующим условиям:
в каждом сечении, перпендикулярном к контуру, величины ,,иимеют с достаточной точностью одинаковые значения;
векторы ,,в каждой точке направлены по касательной к контуру. Поперечное сечение проводника может быть непостоянным.Выберем произвольно направление движения по контуру. Пусть выбранное направление соответствует перемещению от конца 1 к концу 2 участка цепи. Спроектируем выражение (2) на элемент контура1-2:
, (3)
причем ; ; . Знак «+» берем в том случае, если ток течет от 1 к 2, «-»если ток течет в направлении 2 к 1. Вследствие сохранения заряда сила постоянного тока в каждом сечении должна быть одинаковой. Поэтому вдоль контура . Силу тока в данном случае нужно рассматривать как алгебраическую величину. Направление 1-2 выбрано произвольно, поэтому, если ток течет в выбранном направлении, его считают положительным, если в направлении 2-1 – отрицательным. Заменим ; , тогда из ( 3):
.
Умножим это выражение на и проинтегрируем вдоль контура:
.
Здесь – сопротивление всей цепи,- разность потенциалов на сопротивлениеR, - ЭДС, действующая на участки 1,2. Тогда , а ток
– это закон Ома для неоднородного участка цепи.
Если цепь замкнутая, то ; и .Тогда -закон Ома для замкнутой цепи. Если в цепи действует несколько ЭДС, то равна их алгебраической сумме.
1.5. Мощность тока
Рассмотрим произвольный участок цепи постоянного тока, к концам которого приложено напряжение U. За время t через каждое сечение проводника проходит заряд q=It,что равносильно переносу заряда q из одного конца проводника на другой. При этом силы электростатического поля и сторонние силы совершают работу , тогда мощность
.
Эта мощность может расходоваться на совершение работы участком цепи над внешними телами
( для этого участок должен перемещаться в пространстве), на протекание химической реакции и на перемещение данного участка цепи.
Отношения мощности dp , развиваемой в объеме dV, к величине этого объема, называется удельной мощностью тока
.
Найдем выражение для удельной мощности тока. Сила развивает при движении носителя тока мощность:
,
где – скорость хаотического движения,– скорость упорядоченного движения носителей.
Усредним это выражение по носителям, заключенным в объеме dV, в пределах которого иможно считать постоянными:
.
Мощность , развиваемую в объеме, найдем, умноживна число носителей тока в этом объеме :
.
Подставив , имеем:
1.6. ЗАКОН ДЖОУЛЯ –ЛЕНЦА
Если ток в цепи постоянен, а проводники, входящие в цепь, неподвижны, работа сторонних сил полностью расходуется на нагревание проводников. Тепловую энергию обозначим W.
Объемной плотностью тепловой мощности тока называется энергия, выделяющаяся в единице объема проводника за единицу времени.Закон Джоуля -Ленца в дифференцированной форме имеет вид:
- объемная плотность тепловой мощности тока равна скалярному произведению векторов плотности тока и напряженности электрического поля.
Объемная плотность тепловой мощности тока прямо пропорциональна квадрату напряженности электрического поля, создающего ток, и удельной проводимости проводника.
Интегрируя это выражение по объему проводника, получим закон Джоуля –Ленца в интегральной форме: количество теплоты, выделяемой в проводнике, пропорционально силе тока, времени его прохождения и падению напряжения:
.
Классическая электронная теория дает следующее объяснение рассматриваемому выше закону. Кинетическая энергия электрона в конце пробега
.
При столкновении с ионом кристаллической решетки электрон отдает свою энергию, поэтому внутренняя энергия металла возрастает (металл нагревается), число соударений одного электрона , поэтому в единицу времени в единице объема выделяется тепло: .
Для энергии dW имеем: , причем объём .
Проинтегрировав это выражение, получаем: , причем , , тогда .
Таким образом, количество теплоты, выделяемой в проводнике, равно
.
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника тока с эдс и внутренним сопротивлениемr и нагрузки сопротивлением R (рис. 7).
По закону Ома ток в цепи равен:
.
Напряжения на нагрузке U совпадает с напряжением на зажимах источника и равно:
.
Напряжение U всегда меньше , если цепь разомкнута,R→∞ и U= .
Полная мощность, развиваемая в цепи источником тока равна
. (4)
Зависимость полной мощности по отношению представлена на рис. 8.
Рис.8
На нагрузке выделяется не вся мощность р, а часть её, называемая полезной:
. (5)
Полезная мощность имеет максимальные значения, когда производная функции по переменнойR равна нулю: . Это имеет место приR=r.
Зависимость полезной мощности от отношения представлена на рис. 9.
рн
1
η
1
0,5
1
Рис. 10
КПД будет тем больше, чем меньше отношение , т.е. чем больше сопротивление нагрузкиR. При размыкании цепи R→∞ и η=1.
Однако при этом мощность, выделяемая во внешней цепи, стремиться к нулю, поэтому условие максимума КПД с практической точки зрения не интересно. Наиболее притягательная областьR~r0 , в которой полезная мощность наибольшая и η~0,5.
2.ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ИЗМЕРЕНИЙ
Для исследования мощности используется лабораторная установка (рис.11), выполненная в виде прибора настольного типа и содержащая смонтированные в одном корпусе специализированный источник питания, который по своим характеристикам является аналогом аккумулятора; стрелочный вольтмиллиамперметр с пределами измерений напряжения от 0 до 25В; нагрузка-реостат с сопротивлением несколько сот Ом. Питание установки осуществляется от сети напряжением 220 В. На лицевой панели прибора (рис. 11) расположены клавиша 1 включения источника питания «ВКЛ», под которой помещена сигнальная лампочка 2, шкала вольтмиллиамперметра 3, переключатель 4 измерений I/U, ручки потенциометра 5. В положении «I» переключателя 4 стрелочный прибор показывает силу тока, в положении «U» - напряжение на нагрузке. Потенциометр R меняет сопротивление нагрузки от нуля до максимального значения.
Схема установки представлена на рис. 12.
34
r
5
2 мА
I U
V 1 ВКЛ
R
Рис. 12
Установка включается в сеть напряжением 220В.
В работе предусматривается определение внутреннего сопротивления r и ЭДС источника двумя способами – графическим и расчетным.
Графический метод определения внутреннего сопротивления и ЭДС источника состоит в следующем. Меняя сопротивление реостата R потенциометром, фиксируют соответствующие значения тока J и напряжения на нагрузке. По формуле
pН = IU (6)
вычисляют полезную мощность, а по формуле
(7)
сопротивление нагрузки, и строят зависимость pН(R) . По графику определяют сопротивление R, при котором pН достигает максимума. В этом случае R = r.
По закону Ома
(8)
- по этой формуле вычисляют ЭДС источника.
Зная R и r, строят зависимости ,,. При этом должно выполняться соотношение(1) = 0,5.
Более точный метод определения r и основан на применении метода наименьших квадратов (МНК) и включает в себя обработку результатов эксперимента на ЭВМ (см. Приложение 1). По данным эксперимента строят зависимость и апроксимируют ее прямой, уравнение которой имеет вид:
.
Напряжение U откладывают по оси ординат, ток I – по оси абсцисс. Точка пересечения этой прямой с осью ординат соответствует значению , тангенс угла наклона к оси абсцисс – сопротивлению r.
3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Проверив подключение реостата к клеммам установки, включить сетевой шнур в розетку. На лицевой панели включить клавишу 1 «ВКЛ». При этом должна загореться сигнальная лампочка 2.
Перемещая движок реостата и изменяя напряжение от минимума до 20 зафиксировать не менее 10 значений тока и напряжения.
Отключить установку в последовательности, обратной процедуре включения.
По результатам измерений рассчитать значения сопротивления нагрузки , полезной мощности, полной мощности(полагаяВ) и к.п.д..
Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 1.
Таблица 1
№ п/п |
(В) |
(мА) |
(Ом) |
Р (Вт) |
рполн. (Вт) | |
|
|
|
|
|
|
|
Построить графики зависимостей (на одном графике) и. По максимуму полезной мощности и значению к.п.д.определить величину внутреннего сопротивления источника.
Провести обработку результатов на ЭВМ. Предварительно необходимо ознакомиться с инструкцией по обработке результатов физического практикума на ЭВМ.
4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
1. Рассчитать значения сопротивления нагрузки по формуле (7) и полезную мощность по формуле (6). Результаты расчетов свести в таблицу 1.
2. Построить график зависимости . Определить точкуR = r.
3. По формуле (8) определить ЭДС источника.
4. Рассчитать полную мощность, развиваемую источником для всех значений тока I по формуле: .
5. Рассчитать КПД источника по формуле .
6. Результаты расчетов п.п. 5,6 свести в таблицу 1.
7. Построить графики зависимостей ,,.
8. Обработать результаты эксперимента на ЭВМ. Сравнить и r с рассчитанными в п.п. 3, 4.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА НА ЭВМ
Для ввода результатов эксперимента в компьютер необходимо обозначить у = U, х = I, данные представить в виде таблицы 2:
Таблица 2
-
х
у
1
2
.
.
.
10
Результаты расчетов выдаются на дисплей в виде двух чисел: а = -r; b =.