6.5.Колебания атомов трехмерной решетки

Допустим, что трехмерная решетка состоит из одинаковых атомов массы Mи на объем кристаллаVприходитсяNэлементарных примитивных ячеек Бравэ. Каждый атом имеет три степени свободы, поэтому весь кристалл имеет 3Nстепеней свободы. Колебания трехмерной кристаллической решетки описываются системой 3Nсвязных уравнений движения, решения которых:

,

где- вектор смещенияj-ого атома,- волновой вектор, определяющий направление распространения волны, А_к - амплитуда колебаний,- единичный вектор поляризации нормальной моды, описывающий направление, в котором движутся ионы,-радиус-векторj-ого атома в равновесной конфигурации.

Решение уравнения движения показало, что для каждого волнового вектора имеют место три моды колебаний (рис.8), которые определяют три ветви дисперсионных соотношений:

(v=1, 2, 3).

Мода Lсоответствует продольной волне,T₁иT₂ –поперечным (рис.6.9).

Вектор меняется в интервалеи принимает столько значений, сколько элементарных ячеек содержит кристалл (т.е.nзначений). Разрешенные значения κ распределены в-пространстве с плотностью.

В случае колебаний атомов трехмерной решетки с базисом, когда на элементарную ячейку приходится rатомов (система с 3rNстепенями свободы), решение системы 3rNуравнений приводит к существованию 3r ветвей колебаний, дисперсионные соотношения этих ветвей имеют вид:

(v=1, 2, 3;s=1, 2…r).

Три нижние ветви - акустические, остальные (3r-3) – оптические (рис.6.10).

Таким образом, движение атомов трехмерной решетки может быть представлено как суперпозиция 3rNнормальных колебаний (или мод). Каждое нормальное колебание есть гармонический осциллятор, поэтому полная энергия колебаний кристалла равна сумме энергий колебаний 3rN не взаимодействующих между собой гармонических осцилляторов.