§ 19.47. Энергия поля системы заряженных тел. Энергия поля, образованного системой п заряженных тел, имеющих потенциалы φ1.... Φn и заряды q1…..Qn

Вывод формулы основан на том, что энергия поля равна работе внешних сил, затраченной на перенос зарядов из бесконечности (где φ = 0) в точки поля, в которых они будут находиться, и на прин­ципе наложения. Используя формулу (19-48), сначала находим ра­боту при переносе заряда q₁,_ полагая, что заряды всех остальных тел равны нулю. Затем находим работу при переносе заряда q₂, пола­гая q₁ == const и q₃= q₄ = q_n= 0 и т. д. Суммируя все работы, получаем формулу (а).

Заметим, что заряды на проводящих телах, находящихся в ди­электрике, всегда распределяются по поверхностям этих тел так, что энергия образовавшегося между этими телами электрического поля минимальна (теорема Томсона).

Пример 181 а. Два провода диаметром 10 мм расположены в воздухе параллельно друг другу (рис. 19.24, в). Расстояние между осями проводов d — 20 мм. Заряд каждого провода на метр длины 10^-8 К. Левый провод несет положительный заряд, правый — отрицательный. Найти наибольшую и наименьшую плотности заряда на поверхности провода.

Р е ш е н и е. Находим положение электрических осей: х = 1,35 мм. Плотность заряда на поверхности металла а = D = ε_аЕ. Следова­тельно, а будет больше там, где Е больше.

56

Если учесть, что напряженность поля, создаваемая положительным зарядом, направлена от этого заряда, а напряженность поля,

создаваемая отрицательным зарядом, направлена к заряду, то ясно,

что наибольшая напряженность поля будет в точке А, наименьшая —

в точке В. Напряженность поля в точке А равна сумме напряженностей от обоих зарядов, а в точке В — разности напряженностей:

Отсюда D_A = Ơ_А = ε _аE= 0,544 мкК/м²,Dв= Ơ_В= ε _аE _В = 0,186 мкК/м².

Таким образом, плотность заряда в точке А в 2,92 раза больше, чем плотность заряда в точке В.

Пример 181 б. По условию предыдущей задачи найти градиент потенциала в точке М (расположенной посредине между проводами . на линии, соединяющей их центры).Р е ш е н и е. Так как Е = — grad φ, то модуль grad φ равен модулю Е, а направление grad φ противоположнонаправлению

Е. В точке М

Направления E и grad φ даны на рис. 19.24, в.

Пример 182. Определить частичные емкости на один

метр длины двухпроводной линии. Геометрические размеры (в метрах) см. на рис. 19.26, а. Радиусы проводов 6 мм.

Решение. В соответствии с формулой (19.48):

Отсюда

Здесь

______________________________

Для воздуха ε_{а =} ε_{0 (}ε₌₁₎

57

Таким образом,

Следовательно, для двухпроводной линии:

Аналогичным путем найдем:

По формуле (19.48') найдем:

Пример 183. Провод 1 примера 182 соединен с землей через источ­ник э. д. с. Е = 127 В. Провод 2 соединен с землей проводником, так что его потенциал равен нулю (рис./ 19.26, б). Определить за­ряды на проводах 1 и 2 на один погонный метр.

Заряд первого провода τ₁=127•0,852 • 10^-11 = 1,08•10^-9 К/м. Заряд второго провода τ ₂ = — 0,191 •10-¹¹•127 = -0,242-10 ^-9 К/м.

Пример 184. Заряд τ₁ на единицу длины провода 1 (см. рис. 19.26, а) равен 2•10^{- 9} К/м. Заряд τ ₂ на единицу длины провода 2 равен—10~⁹ К/м. Определить потенциал точки М, полагая потенциал земли равным нулю.

Решение.

Пример 185. Определить плотность наведенного заряда на поверхности земли в точке N (см. рис. 19.26, а), полагая, что заряды на проводах такие же, как и в примере 184.

Решение. В соответствии с формулой (19.33) плотность заряда на поверхности проводника равна напряженности в, этой точке, умноженной на ε_а = ε₀ Напряженности поля в точке N (рис. 19.26 в) равна геометрической сумме напряженностей от четырех зарядов —от заряда τ₁ (обозначим ее Е₁), от заряда τ₂ (Е₂) и зеркальных изображений этих зарядов Е'₁ и Е'₂: Е= E₁+ Е₂ + Е'₁ + Е'₂

Напряженности E₁ и Е'₁ направлены по одной прямой (по вертикали). Для нахождения проекций E₂ и Е'₂ на вертикаль умножаем E₂ и Е'₂ на cos α. Плотность заряда

Пример 186. Две металлические пластинки (теоретически бесконечной протяженности) находятся в воздухе (рис. 19.27, а), образуя,

не соприкасаясь, двугранный угол α₂. Потенциал первой пласти­ны φ₁, второй φ ₂. Вывести формулы для определения φ и Е в любой точке поля внутри двугранного угла, а также формулу для определения плотности заряда на пластинках. Дать числовой ответ при φ₁= 0, φ₂ = 100 В, α₂ = 30°.Решение. Поскольку граничные поверхности проще всего можно описать в цилиндрической системе координат, то решение будем проводить именно в этой системе. В пространстве между пластинами отсутствуют свободные заряды, поэтому поле подчиняется уравнению Лапласа [см. уравнение (19.30)].

Потенциал φ зависит только от угла α и из условий симметрии не зависит от координаты z и радиуса r цилиндрической системы

Согласно этому уравнению, φ= С₁α + С₂. По условию, при

α = 0; φ = φ₁= 0, а при α= α₂ φ = φ₂ = 100 В. Следовательно, С₂=0; С₁=100 =600/π и φ=600/π •α π/6

Напряженность поля имеет только одну альфовую составляющую

Пример 187. Две металлические конусообразные воронки находятся в воздухе, обращены остриями друг к другу и не соприкааются (рис. 19.27, б). Угол 30°, ₂ = 135°, потенциал первой воронки φ₁=0, потенциал второй воронки φ ₂ = 1000 В. Вывести формулу для определения φ и Е в пространстве между воронками и найти по ним Е и φ в точке М с координатами R = 2 см и = 120°.

Решение. Воспользуемся сферической системой координат, поскольку поверхности воронок проще всего описываются именно в этой системе. В пространстве между воронками отсутствует объемный заряд, поэтому поле описывается уравнением Лапласа [см. фор­мулу (19.31)1.

В силу симметрии φ зависит только от угла и не зависит от ра­диусаR и угла α — двух остальных коорлинат сферическрй системы.

Найдем постоянные интегрирования C_t и С₂. При = 30° φ = 0, при=135° φ= 1000 В. Следовательно, 0 = С₁ In tg 15° + С₂; 1000 == С₁In tg 67°30'+ С₂

Отсюда С₁= 461 В, С₂ = 608 В. Потенциал точки М: φ_М= 461 In tg 60° + 608 = 856,5 В..

Напряженность поля имеет только -оставляющую:

Пример 189. В цилиндрическом конденсаторе с воздушной изоляцией вокруг внутреннего электрода радиусом r₀ располагается

заряд короны с объемной плотностью pК/см³. Наружный радиус

короны r₁ (рис. 19.29). Радиус наружного электрода r₂. Потенциал

внутреннего электрода φ₀, потенциал наружного электрода φ₂.

Вывести формулу для определения φ в пространстве, занятом объем­ными зарядами (назовем его областью I), и в пространстве, не занятом свободными зарядами (область II).

Напряженность в точке М: Е_θМ ==-26,6 кВ/м.

Пример 188. В вакууме на расстоянии 2 см друг от друга расположены два плоских электрода (рис. 19.28). Правый электрод заземлен. а левый соединен с плюсом батареи, э. д. с. которой 200 В;

отрицательный зажим батареи заземлен. В про­- странстве между электродами распределен объемный заряд с плотностью p = —α ε₀ х, где_α — 30 кВ/см³; х— расстояние от левой пластины (см. рис.; 19.28). Требуется найти закон изменения потенциала в пространстве между электродами. ' ,"

Ре ш е н и е. Полагаем, что размеры элек­тродов много больше расстояния между ними. Направляем ось х, как показано на рис. 19.28.

Пример 190. Над поверхностью земли расположилось положительно заряженное грозовое облако. Пространство между облаком и землей можно рассматривать как огромных размеров плоский кон­денсатор. Напряженность поля E в нем направлена от облака к земле. Найти потенциал точки А, расположенной на расстоянии 8 м от поверх­ности земли, в двух случаях: 1) когда над поверхностью земли не про­тянут заземленный трос ,(рис. 19.30) и 2) когда над поверхностью земли над точкой А на высоте 10 м от земли протянут заземленный стальной трос диаметром 10 мм (рис. 19.31).

Пример 191. В равномерное поле с напряженностью Е₀ = 10³ кВ/м внесен незаряженный металлический шар радиусом а = 1 см. Найти E_R и Е_θ в точке А. Координаты точки А : R = 2 см и θ= 30°. Решение. В соответствии с формулами § 19.40 имеем:

Пример 192. В воздухе создано равномерное электрическое поле Напряженностью Е₀ = 10³ кВ/м. В это поле диэлектрический цилиндр (ε_i= 4ε₀) поместили так, что его ось перпендикулярна полю. Найти напряженность поля E_i внутри цилиндра. Решение. Воспользуемся формулой (19.72):

Пример 193. В некоторой области пространства имеется поле, потенциал которого зависит только от координаты х декартовой системы: φ = 5х³ — 60 х^г.

Найти закон изменения плотности свобод­ных зарядов в этом поле.

Р е ш е н и е. Уравнение Пуассона, опиывающее поле, можно записать так: d²φ/dx²= -p_своб./ε_аДважды дифференцируем φ по х:

Следовательно, р_сво6 = (—-30 х + 120) е_а.

Пример 194. Вывести формулу для опре- деления напряженности и потенциала поля,

создаваемого заряженной осью длиной l (рис. 19.32). Заряд на единицу длины оси равен τ. -

Решение. Определим Е и φ в произвольной точке k. Распо-I ложим оси декартовой системы координат в соответствии с рис. 19.32.

Выделим отрезок оси длиной dx, на нем будет заряд rdx. В силу малости dx будем считать этот заряд точечным и по теореме Гаусса найдем создаваемую им напряженность поля в точке к:

Угол β отсчитываем от положительного направления dx к поло­жительному направлению радиуса R (последний направлен от dx к точке k) (верхний угол β на рис. 19.32 указан ошибочно).