4. . Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями

Если генеральные дисперсии неизвестны, то необходимо проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий:. Если они равны, то вычисляют наблюдаемое значение критерия Стьюдента. При этом используютt-статистику, которая имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы. Границу критической областиопределяем по таблице распределения Стьюдента при уровне значимости(если), при правосторонней (или левосторонней) критической области: при уровне значимости.

Если , то гипотезапринимается, если, то– отвергается.

24.5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения

Проверка гипотезы о законе распределения производится при помощи случайной величины – критерия согласия. Часто применяют критерий (хи квадрат) Пирсона. Для вычислениянеобходимо вычислить теоретические частоты . Весь интервал наблюдаемых значенийXдля выборки объемаn делят наmчастичных интервалов одинаковой длины. Находят середины частичных интервалов: , в качестве частотыn_iварианты применяют число вариант, которые попали вi-й интервал: ().

Определяем и выборочное среднее квадратическое отклонениеS*. Нормируем величинуX, т.е. переходим к величине и вычисляем концы интервалов : , причем(наименьшее значениеz) полагаем равным –¥, а (наибольшее значениеz) – равным +¥.

Вычисляем вероятности p_i попаданияXв интервалы :и находим теоретические частоты . Далее, вычисляем

По таблице критических точек распределениепо заданному уровню значимостиaи числу степеней свободы (r– число параметров закона) находим. Еслито принимаем гипотезу о нормальном законе распределения, если– отвергаем гипотезу о нормальном законе распределения.

Замечание: объем выборки , малочисленные группы объединить (интервалов).

Глава 25. Элементы теории корреляции.

25.1. Понятие корреляционной зависимости

Часто требуется установить и оценить зависимость случайной величины Yот случайной величиныX. Две случайные величины могут быть связаны либо функциональной зависимостью: , либо статистической зависимостью, либо быть независимыми.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение закона распределения другой.

Корреляционной называется зависимость, при которой изменение одной из величин вызывает изменение среднего значения другой.

Пример.Y– урожай зерна,Х– количество удобрений. С одинаковых по площади участков при равных количествах внесенных удобрений снимают различный урожай, т.е.Yне является функциейХ. Это объясняется влиянием различных факторов (осадки, температура, качество зерна и т.д.),. однако средний урожай является функцией от количества удобрений, т.е.YиХсвязаны корреляционной зависимостью. Условным средним называется среднее арифметическое наблюдавшихся значенийYсоответствующих(пример: если прих₁=3,Yпринимает значенияу₁=5,у₂=6,у₃=10, то . Аналогично .

25.2 Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по несгруппированным данным

Пусть изучается система количественных признаков (X,Y). В результатеnнезависимых опытов полученыnпар чисел .

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии регрессии (YнаX). Поскольку различные значенияxиyвстречаются по 1 разу, то нет необходимости использовать понятие условной средней. Угловой коэффициентkназывается выборочным коэффициентом регрессииYнаХи обозначают , тогда . Выберем иb так, чтобы экспериментальные (наблюдаемые) точки лежали как можно ближе к прямой ., т.е. чтобы сумма квадратов отклонений:была минимальна. Введем функцию и приравняем к нулю частные производные.

-

Опуская индекс (записывая вместо), получаем:

Решая эту систему линейных уравнений, найдем :

;

При отыскании параметров использован метод наименьших квадратов.

Обычно используют выборочный коэффициент корреляции r (вместо ).