22.2. Биноминальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения Биноминальное распределение

Пусть производится nнезависимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равнар. В качестве дискретной случайной величиныХрассмотрим число появления событияАв этих испытаниях.Хможет принимать значения 0,1,2,3,4,…,nс вероятностями, определенными по формуле Бернулли:

Полученная формула является аналитическим выражением биноминального закона распределения, т.е. биноминальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Запишем в виде таблицы:

Х	0	1	…	m	…	n
р			…

Пример. Монета бросается два раза. Написать закон распределения дискретной случайной величины – числа появлений «герба».

р= 0,5,q= 0,5,

Х	0	1	2
Р	0,25	0,5	0,25

Геометрическое распределение

Пусть проводятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события Аравнар.Испытания заканчиваются, как только появится событиеА, т.е. если событие появилось вk– ом испытании, то в предшествующихk– 1 испытаниях оно не появлялось. ПустьХ– дискретная случайная величина – число испытаний, которое нужно провести до появления событияА. Очевидно, возможными значениямиХ являются натуральные числа:Пусть событиеАпоявилось вk– ом испытании, то в предшествующихk– 1 испытаниях оно не появлялось. Вероятность этого события найдем по теореме умножения:, гдеq =1–p– вероятность не появления событияА.Полагаяk = 1, 2, 3, …, получим геометрическую прогрессию с первым членомр и знаменателемq. По этой причине распределение называют геометрическим. Запишем в виде таблицы.

Х	1	2	3	…	k	…
р	р			…		…

Очевидно, что

Пример.Преподаватель задает дополнительные вопросы до первого неправильного ответа. Составить закон распределения случайной дискретной величиныХ– числа дополнительных вопросов, если вероятность правильного ответа на вопрос равна 0,9.

и т.д. Получаем:

Х	1	2	3	…	k	…
р	0,9			…		…

Гипергеометрическое распределение

Пусть в партии из Nизделий имеетсяMстандартных. Из партии случайно отбираютnизделий (без возвращения изделия). Дискретная случайная величинаХ– число стандартных изделий средиnотобранных. Возможные значенияХ: 0, 1, 2, …,min(M,n). По классическому определению вероятности:

Эта формула определяет гипергеометрическое распределение, которое определяется тремя параметрами:

Пример. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобрали 2 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Химеет следующие возможные значения:x₁=0,x₂=1,x₃=2. ;;.

X	0	1	2
P

22.3. Распределение Пуассона. Простейший поток событий

Пусть производятся n независимых испытаний, вероятность появления события равнар,р– малая величина. Пусть числоn– велико ив серии испытаний. Вероятность появления равноkсобытий определим по формуле Пуассона: . Эта формула выражает закон распределения вероятностей Пуассона – массовых (n– велико) и редких (р– мало) событий.