21.12. Интегральная теорема Лапласа

Часто необходимо найти вероятность того, что число появлений события А заключено в интервале, т.е. число появлений событияА вn испытаниях не менееk₁ и не болееk₂ раз. Считаем, что вероятность появления событияА

Ответ дает интегральная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в nнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность равна, событие наступит не менееk₁раз, и не болееk₂раз, приблизительно равно, где – функция Лапласа, которая табулирована; .

Функция Лапласа Ф(х) – нечетная: (Ф(–х) = –Ф(х)), возрастающая, длях> 0,5 можно считать, чтоФ(х) = 0,5.

Следствие. Если вероятностьрнаступления событияА– постоянна (0 <p< 1), а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что вnнезависимых испытаниях абсолютная величина отклонения относительной частоты событияАот его вероятностирне превзойдет данного, находится по формуле.

Т.к , топриn.

В условиях Бернулли, как бы ни было мало > 0, с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, можно ожидать, что приnбудет меньше(закон больших чисел в форме Бернулли).

Пример 1. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,2. Какова вероятность того, что при залпе из 100 орудий цель будет поражена не менее 20 раз?

n = 100,p= 0,2;q= 0,8;k₁= 20;k₂= 100, ;тогда

Пример 2.Вероятность появления событияА в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний, при которых с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления событияА отклонится от его вероятности (по модулю) не более, чем на 0,02.

По следствию к интегральной теореме Лапласа:по таблице Лапласа Ф(1,2) = 0,3849, тогда

13. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Число называется наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытанияхраз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях определяется из двойного неравенства:, причем если число– дробное, то существует одно наивероятнейшее число, если число– целое, то существует два наивероятнейших числа:. Если– целое, то наивероятнейшее число.

Глава 22. Случайные величины

22.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины

На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассмотренном испытании.

Например, число мальчиков, родившихся в Белгороде завтра, может быть различным: 0,1,2,3,4,…,n. Или – дальность полета снаряда, количество бракованных изделий в партии и т.д. Это – случайные величины.

Случайной величинойназывается переменная, которая может принимать те или иные значения, причем для каждого испытания она принимает единственное значение.

Случайные величины обозначают заглавными буквами X,Y,Z,…, значения случайных величин соответственно малыми буквами.

Случайные величины делятся на дискретныеинепрерывные. Случайная величина называетсядискретной, если множество ее значений конечно или счетное. Например, стрельба по мишеням из орудия до первого попадания (1,2,3,…,n,). Или – количество бракованных деталей в партии из 30 изделий.

Непрерывнойназывают случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного (или бесконечного) промежутка.

Пусть Х– дискретная случайная величина, возможными и единственными значениями которой являютсях₁,х₂,х₃,…,х_n. Обозначим черезвероятность этих значений, т.е.р_iесть вероятность того, чтоХпринимает значенияx_i. СобытияХ=х_iобразует полную группу, поэтому=1.

Закон распределения дискретных случайных величин – соответствие между всеми значениями дискретных случайных величин и их вероятностями. Обычно его записывают в виде таблицы:

Значение (Х)	x1	x2	…	xn
Вероятность значения (р)	p1	p2	…	pn

Если множество x_i – бесконечно, то ряд- сходится.

Пример.Устройство состоит из 3 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Возможные значения Х:x₁=0,x₂=1,x₃=2,x₃=3. Их вероятности определим по формуле Бернулли:, ,, (– проверка).

X	0	1	2	3
p	0,729	0,243	0,027	0,001