- •I. Первый признак сравнения.
- •II. Второй признак сравнения (признак сравнения в предельной форме).
- •Интегральный признак Коши-Маклорена.
- •Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.
- •Приложения степенных рядов.
- •Второй способ решения дифференциального уравнения.
- •III. Применение степенных рядов для приближенного вычисления значений функций.
- •Связь комплексной формы ряда Фурье с комплексным гармоническим колебанием.
- •Спектральные характеристики комплексной формы ряда Фурье.
- •Понятие интеграла от фкп.
- •Ряд Лорана.
Второй способ решения дифференциального уравнения.
Решение будем искать в виде:
:
Следовательно, решение имеет вид:
и подставим в исходное уравнение
Применим метод сравнения коэффициентов при одинаковых степенях .
Ответ: +...
III. Применение степенных рядов для приближенного вычисления значений функций.
Если при приближенном вычислении значений функций получаются знакочередующиеся ряды, то погрешность оценивается с помощью признака Лейбница и по абсолютной величине не превосходит первого из отобранных членов. Если получится знакопостоянный ряд, то погрешность оценивается с помощью геометрической прогрессии.
- погрешность вычислений, т.е. до 2-го знака после запятой.
,
,
Оценим сумму остатка ряда исп-ся сумму геометрической прогрессии
Из данного неравенства найдем первое значение , которое ему удовлетворяет:
Приближенное вычисление значений корней.
Приближенное вычисление интегралов.
Ряды Фурье.
Опр.: Функция , заданная на всей числовой оси называется периодической с периодом Т, если выполняется условие .
Опр.: Наименьший положительный период периодической функции называется основным периодом этой функции.
Свойства интеграла для периодической функции.
Теорема: Интегралы по отрезку, равному по длине периоду от периодической функции равны по своему значению, т.е.
если .
Доказательство:
Оно следует из геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции.
Замечание: Исходя из этого свойства можно в дальнейшем вместо от периодической функции вычислить .
Понятие бесконечной системы тригонометрических функций.
Опр.: Бесконечной системой тригонометрических функций называется совокупность функций вида:
Свойства бесконечной системы тригонометрических функций.
Свойство 1. (Общий период)
Бесконечная система тригонометрических функций имеет общий период
Доказательство:
Любую постоянную функцию можно рассматривать как периодическую с произвольным периодом Т. Рассмотрим функцию . Эта функция является периодической с периодом
Аналогично для синуса.
Следовательно, т.к. число является периодом бесконечной системы функций, то и также является периодом.
Свойство 2. (Ортогональности)
Теорема: Интеграл по отрезку равному по длине периоду от произведения двух разноименных функций системы равен нулю, т.е.
,
Доказательство:
Проведем для интегралов в силу свойства равенства интегралов по отрезку, равному по длине периоду.
Свойство 3. (Отличие от нуля интеграла от произведения одноименных функций).
Теорема: Интеграл по отрезку, равному по длине периоду от произведения двух одноименных функций тригонометрической системы отличен от нуля, причем
Доказательство:
Понятие тригонометрического многочлена в вещественной форме.
Опр.: Тригонометрическим многочленом n-го порядка в вещественной форме называется линейная комбинация функций тригонометрической системы вида
, где -коэффициенты триг.многочлена
Тригонометрический многочлен в комплексной форме.
Преобразуем тригонометрический многочлен в вещественной форме, используя формулы Эйлера
Имеем
Введем вспомогательные обозначения.
(*)
С учетом введенных обозначений тригонометрический многочлен принимает вид:
Индекс суммирования сменим во второй сумме
тогда тригонометр. многочлен принимает вид:
Вывод: Тригонометрический многочлен в комплексной форме имеет вид
, где - комплексные числа, выражающиеся через коэффициенты тригонометрического многочлена в вещественной форме. (*)
Понятие круговой частоты т частоты, измеренной в Гц.
Опр.: Изменение функции за период Т называется ее колебанием.
Опр.: Величина называется круговой частотой периодической функции с периодом Т и определяет число колебаний за секунд.
Опр.: Величина называется частотой, измеренной в Гц и характеризует число колебаний функции в 1 секунду.
Замечание: Очевидна формула
Формулы Эйлера-Фурье.
Теорема: Если некоторая периодическая функция с периодом Т представлена в виде тригонометрического многочлена (1)
то коэффициенты
(2)
носят название формул Эйлера-Фурье в вещественной форме.
Доказательство:
Проинтегрируем (1) по отрезку , учитывая свойства бесконечной системы тригонометрических функций.
Если умножить (1) на и проинтегрировать по , получим формулы для вычисления :
Умножим соотношение (1) на и проинтегрируем по отрезку , используя свойства бесконечной системы тригонометрических функций:
Формулы Эйлера-Фурье в комплексной форме.
Ранее были получены две формы записи тригонометрического многочлена и формулы связи между ними.
Подставим формулы Эйлера-Фурье, найденный для вещественной формы, в коэффициент .
Учитывая, что
Получаем аналогичную формулу для
Очевидно,
Сделаем замену индекса у коэффициентов с отрицательными индексами. Обозначим
С учетом введенной замены получаем единую формулу
Понятие ряда Фурье в вещественной и комплексной формах.
Опр.1: Рядом Фурье в вещественной форме для периодической функции с периодом Т называется тригонометрический ряд вида:
, в котором коэффициенты определяются по формулам Эйлера-Фурье:
- круговая частота (*)
Опр.2: Рядом Фурье в комплексной форме для периодической функции с периодом Т называется ряд вида:
, в котором коэффициенты определяются по формулам Эйлера-Фурье:
(**)
Замечание: Ряды Фурье (*) и (**) построенные для периодической функции могут:
1) расходиться для
2) сходиться в искомой области к искомой функции
3) сходиться на всей числовой оси к функции
В третьем случае говорят, что функция разложена в ряд Фурье и вместо «» пишут «=».
Условие Дирихле.
Если на некотором отрезке удовлетворяет двум условиям:
1) - непрерывна на этом отрезке, либо имеет на нем конечное число точек разрыва I-го рода.
2) монотонна на этом отрезке , либо имеет на нем конечное число экстремумов, то говорят, что функция удовлетворяет условиям Дирихле.
Замечание: из определения функции, удовлетворяющей условиям Дирихле ясно, что эту функцию можно разбить на части (область определения – конечные отрезки), на которых функция непрерывна и монотонна.
Теорема Дирихле (необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье)
Теорема: Если функция на некотором конечном отрезке удовлетворяет условиям Дирихле, то она разложена на этом отрезке в ряд Фурье, причем в каждой точке непрерывности функций сумма ряда Фурье совпадает со значением функции в точке , а в каждой точке разрыва I-го рода
(без доказательства)
Связь вещественной формы ряда Фурье с гармоническими колебаниями.
Преобразуем ряд Фурье (*) к виду:
(3)
Теорема: такой, что
,
, этот угол представляет собой угол, отсчитывающий от оси Ох (в положительном или отрицательном направлении) до луча, соединяющего начало координат с точкой , причем и находится по формуле
Доказательство:
1) (как тангенс угла в прямоугольном треугольнике)
катеты в прямоуг.треугольнике
Случай I четверти доказан
2) =
Случай II четверти доказан.
С учетом теоремы запишем соотношение (3)
Введем вспомогательное обозначение
, тогда ряд Фурье принимает вид
(4)
Вывод: Ряд Фурье, записанный в виде (4) представляет собой сумму гармоник с амплитудами , круговыми частотами и фазами .
Выражение коэффициентов в вещественной форме ряда Фурье через амплитуды и фазы.
,
Спектральные характеристики вещественной формы ряда Фурье.
Выделяют 4 основных спектральных характеристик вещественной формы ряда Фурье:
1) частотные спектры
2) линейчатые спектры
3) амплитудно-частотный спектр
4) фазово-частотный спектр
I. Частотные спектры.
Опр.: Частотные спектры вещественной формы ряда Фурье называют числовые последовательности и
Замечание: Частотные спектры можно рассматривать как масштабную линейку.
II. Линейчатые спектры.
Опр.: Линейчатые спектры вещественной формы ряда Фурье называют числовые последовательности ,
III. АЧХ.
Опр.: Амплитудно-частотным спектром вещественной формы ряда Фурье называют числовую последовательность
График АЧХ может находиться только в I четверти координатной плоскости.
IV. ФЧХ.
Опр.: Фазово-частотным спектром вещественной формы ряда Фурье называют числовую последовательность , , если четв.,
, если
, если