Примеры:

1) Выполнить действия: , где

Решение: ( по п. 6)

(по п.7)

(по п.8)

2) Найти А^-1 ,если

Решение:

Проверим, верно ли нашли А^-1 . Для этого умножим А на А^-1 и убедимся, что получим единичную матрицу.

Задача 1.

Решить уравнение AX - B = C, где

Задача 2

2.1-2.20. Даны координаты точек А, В, С. Найти уравнения сторон треугольника АВС. Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС. Найти уравнение одной из высот треугольника АВС. Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС. Найти площадь треугольника АВС.

Вариант	А	В	С	Вариант	А	В	С
	(1;2)	(2;0)	(-1;1)	1	(1;3)	(3;0)	(-1;1)
	(2;1)	(1;0)	(-1;2)	1	(3;1)	(1;0)	(-1;3)
	(2;0)	(1;1)	(-1;2)	1	(3;0)	(1;1)	(-1;3)
	(2;1)	(1;0)	(1;-1)	1	(3;-1)	(1;0)	(1;1)
	(-1;0)	(2;1)	(1;-1)	1	(-1;0)	(3;1)	(1;-1)
	(1;-1)	(-1;0)	(2;1)	1	(1;-1)	(-1;0)	(3;1)
	(1;-2)	(0;1)	(2;-1)	1	(1;-3)	(0;1)	(3;-1)
	(2;-1)	(1;-2)	(0;1)	1	(3;-1)	(1;-3)	(0;1)
	(-2;1)	(-1;-2)	(1;2)	1	(-3;1)	(-1;-3)	(1;3)
	(2;2)	(-2;1)	(1;1)	1	(-3;3)	(3;1)	(1;1)

Указания к задаче 2: прямая линия на плоскости.

Для решения задачи ( прямая линия на плоскости ) следует использовать следующие сведения:

1). Угол наклона прямой к оси OX - это угол, на который нужно повернуть ось OX, чтобы она совпала с данной прямой ( или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол положителен, если поворачиваем против часовой стрелки, и отрицателен, если поворачиваем по часовой стрелке. Будем обозначать его буквой .

2). Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона прямой к оси OX. Будем обозначать его буквой k. Следовательно,

k = tg . (1)

3). Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси OY (рис.1), то ее уравнение

y = kx + b , (2)

где b - ордината точки пересечения прямой с осью OY, k - угловой коэффициент прямой, (x,у) - координаты любой точки на прямой. Если прямая параллельна оси OY (рис.2), то ее уравнение

x = a , (3)

где a - абцисса точки пересечения прямой с осью OX.

4). Уравнение прямой, проходящей через точку M₀ (x₀ ,y₀ ) и имеющей угловой коэффициент k,

y - y₀ = k (x - x₀ ) , (4)

где (x₀ ,y₀ ) - координаты заданной точки на прямой, k - угловой коэффициент прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

5). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M₁ (x₁ ,y₁ ) и M₂ (x₂ ,y₂ ),

(5)

где (x ₁,y ₁) - координаты одной точки на прямой, (x₂ ,y₂ ) - координаты другой точки на прямой, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

6). Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0 , (6)

где A, B, C - заданные числа, причем A и B одновременно в нуль не обращаются, (x,y) - координаты любой точки на прямой.

Если B не обращается в нуль, то уравнение (6) можно преобразовать следующим образом :

y = - x - . (6')

Тогда, сопоставив формулы (6') и (2), имеем :

k = -

7). Условие параллельности двух прямых

k₁ = k₂, (7)

где k₁ и k₂ - угловые коэффициенты прямых.

8). Условие перпендикулярности двух прямых

k ₁k₂ = -1 , (8)

где k ₁ и k ₂ - угловые коэффициенты прямых.

9). Нахождение координат точки пересечения двух прямых

Если две непараллельные прямые заданы своими уравнениями :

A₁ X + B₁Y + C₁ = 0 и A₂ X + B₂Y + C ₂ = 0,

то координаты точки пересечения этих прямых - есть решение системы уравнений :

(9)

10.) Нахождение угла между прямыми:

(10.a)

(10.б.)

если то формула понимается условно (),

- угол на который надо повернуть первую прямую, чтобы она стала параллельна второй.

11). Нахождение координат середины отрезка

Если точка A имеет координаты (x_a ,y_a ), а точка B - (x_b ,y_b ), то координаты середины O отрезка АB можно найти по формулам :

(11)

12). Нахождение длины отрезка

Если точка А имеет координаты (x_a ,y_a), а точка В - (x _b,y_b ), то длину отрезка АВ можно найти по формуле :

. (12)

13). Деление отрезка в данном отношении

Если точка A имеет координаты (x_a ,y_a ), а точка B - (x_b ,y_b ), то координаты точки С делящей отрезок АB в отношении m : n можно найти по формулам :

(13)

14.) Площадь треугольника. Пусть точки А₁(x₁,y₁), A₂(x₂,y₂), A₃(x₃,y₃) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

(14.)

Знак перед определителем выбирается так, чтобы площадь была положительной.

Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.

Задача 2.Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС.

2.а.) Найти уравнения сторон треугольника АВС

Решение. Первая прямая проходит через две точки А (2,1), В (1,-2), поэтому ее уравнение будем искать в виде (5 ) : .

Подставляя x₁ = 2, x₂ = 1, y₁= 1, y₂= -2, получим :

Вторая прямая проходит через две точки В (1,-2), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5 ) : .

Подставляя x₁ = 1, x₂ = -1, y₁= -2, y₂= 0, получим : , разделим на 2 получим x+y+1=0.

Третья прямая проходит через две точки А (2,1), С (-1,0) поэтому ее уравнение будем искать в виде (5 ) : .

Подставляя x₁ = 2, x₂ =-1, y₁=1, y₂= 0, получим :

2.б.) Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС.

Решение. Обозначим середину стороны ВС буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

B (1;-2), C (-1;0)

Уравнение медианы АM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана АМ проходит через точки А (2;1) и М (0;-1), поэтому:

2.в.) Найти уравнение одной из высот треугольника АВС.

Решение. Найдем уравнение высоты CZ, проходящей через точку

С (-1;0) и точку Z , лежащую на стороне АВ: 3x-y-5=0 . Для этого найдем угловой коэффициент k₁ прямой АВ. Для этого представим уравнение

3x-y -5 = 0 в виде (2): y = k ₁ x + b.

, т.е. k₁ = 3.

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых (8): k₁ k = -1.

Подставляя вместо k₁ угловой коэффициент данной прямой ,получим :

.

Так как перпендикуляр проходит через точку С(-1;0) и имеет

k =-,то будем искать его уравнение в виде (4):

y-y₀ =k(x-x₀).

Подставляя

x ₀ = -1 , k =-,y₀=0 получим :

y - 0 =-(x –(-1)) x +3y + 1 = 0.

уравнение высоты CZ.

2.г.) Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС.

Решение. Найдем биссектрису угла ВАС. Точку пересечения биссектрисы со стороной СВ обозначим М.

Воспользуемся формулой (10.б) AB: 3x-y-5=0, AC: x-3y-1=0

Углы вычисляем на калькуляторе, либо по таблицам. Биссектриса делит угол пополам, следовательно . Тангенс угла наклона АВ равен 3 (т.к. y=3x-5). Угол наклона равен 71⁰. . .

Биссектриса проходит через точку А (2,1), используя формулу (4), имеем:

y - y₀ = k (x - x₀ ); y-1=1(x-2), уравнение биссектрисы y = x-1

2.д.) Найти площадь треугольника АВС.

Точки А (2,1), В (1,-2), С (-1,0) являются вершинами треугольника АВС. Воспользуемся формулой (14).