- •Математический анализ. Часть 1.
- •Раздел 1. Введение в анализ: множества, функции.
- •Операции над высказываниями.
- •Предикаты. Кванторы общности и существования. Определение предиката.
- •Квантор общности.
- •Квантор существования.
- •П.2. Элементы теорий множеств (интуитивная теория множеств). Числовые множества. Множество действительных чисел.
- •Подмножества.
- •Операции над множествами.
- •Свойства операций над множествами.
- •1. Законы коммутативности.
- •2. Законы ассоциативности.
- •Универсальные множества. Дополнение и его свойства.
- •Бинарные отношения.
- •Запишем это бинарное отношение как множество пар:
- •Сужение функции.
- •Виды функций.
- •Композиция функций (сложная функция, суперпозиция функций.
- •Тождественная (единичная) функция.
- •Обратные функции.
- •1. , Где- единичная функция на.
- •Обратные тригонометрические функции.
- •2. Функция .
- •3. Функция arctg.
Математический анализ. Часть 1.
Литература.
1) А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В.Браилов, И.Г. Шандра. Математика в экономике. – Часть 2. (Издание второе, переработанное и дополненное). – М.: Финансы и статистика, 2005 ( и более поздние издания).
2)Сборник задач по курсу «Математика в экономике». Часть 2, математический анализ.
Под редакцией В.А.Бабайцева и В.Б. Гисина. – М.: Финансы и статистика», 2013.
Дополнительная литература.
3) Н.Ш. Кремер. и др. Высшая математика для экономистов. –М.: ЮНИТИ, 1997 и более поздние года.
4) Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.- 5-е изд. –М.: «Дрофа», 2003,-т.1.
5) Зорич В.А. Курс математического анализа.- 4-е изд. –М.: «МЦНМО», 2002,-ч.1.
6) Фихтенгольц Г.М. Курс интегрального и дифференциального исчисления. Том 1. – М.: Физматлит, 2003
Раздел 1. Введение в анализ: множества, функции.
До XVIIвека математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач, например, в интегральном исчислении – это задачи на вычисление площадей фигур, объемов тел с кривыми границами и т.д. Каждая задача решалась своим методом, часто сложным и громоздким. Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и других ученыхXVII-XVIIIвеков, а его база – теория пределов – была разработана О. Коши в началеXIXвека. Глубокий анализ исходных понятий математического анализа был связан с развитием вXIX-XXвеках теории множеств, теории меры, теории функций действительного переменного и привел к разнообразным обобщениям.
п.1. Простейшие логические символы.
Определение.Высказыванием называется всякое предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.
Пример.Пусть- предположение - «Москва – столица РФ». - Это истинное высказывание. (и).
- «Каждый студент нашего университета - отличник». - Это ложное высказывание. (л)
- «Треугольник Х – равносторонний». - Не высказывание.
Не всякое предположение является высказыванием, например, определение не является высказыванием.
Операции над высказываниями.
Определение.Отрицаниемвысказыванияназывается новое высказывание, которое обозначается, и которое истинно, еслиложно, и ложно, еслиистинно.
Читается: не ; неверно, что;не верно.
Таблица истинности отрицания.
и |
л |
л |
и |
Пример.«Неверно, что Москва столица РФ». - Ложное высказывание.
«Неверно, что каждый студент нашего университета - отличник». - Истинное высказывание.
Определение. Дизъюнкциейдвух высказыванийиназывается новое высказывание, которое обозначается, и которое истинно, если хотя бы одно из высказыванийилиистинно, а в остальных случаях ложно.
Читается: дизъюнкция;или; или, или.
Таблица истинности дизъюнкции.
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
Определение.Конъюнкциейдвух высказыванийиназывается новое высказывание, которое обозначается, и, которое истинно, еслииодновременно истинны, ложно во всех остальных случаях.
Читается: конъюнкция;и; ии;одновременно с.
Таблица истинности конъюнкции.
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
Определение.Импликациейвысказыванийиназывается новое высказывание, которое обозначается, и которое ложно, еслиистинно,- ложно и истинно во всех остальных случаях.
Читается: импликация; изследует; если, то.
Таблица истинности импликации.
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
- условие или посылка импликации,- заключение импликации.
Определение.Эквивалентностью (равносильностью)двух высказыванийиназывается новое высказывание, которое обозначаетсяи, которое истинно, еслииимеют одинаковые логические значения и ложно в остальных случаях.
Читается: эквивалентно;равносильно;тогда, и только тогда, когда.
Таблица истинности эквивалентности.
-
и
и
и
и
л
л
л
и
л
л
л
и
Замечание.Из данных высказываний с помощью логических операций можно построить новые высказывания.
Пусть- «2 = 4». - Ложное высказывание.
. - Истинное высказывание.
. - Истинное высказывание.
Такие высказывания называются составными высказываниями
Законы логики.
Существуют формулы, которые принимают значение «истина» независимо от того, какие значения принимают входящие в них атомы. Такие формулы называются законами алгебры логики высказываний.
Определение.Формула алгебры логики называется законом алгебры логики высказываний или тождественно истинной формулой или тавтологией, если при любых значениях атомов, входящих в эту формулу, значение этой формулы «истина».
Примеры законов алгебры логики высказываний.
Закон контрапозиции: .
Доказательство.Составим таблицу истинности:
и |
и |
л |
Л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
И |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
Л |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
И |
и |
и |
и |
Формула принимает значение «истина», при любых значениях переменных и, значит, является законом алгебры логики.
Закон исключенного третьего: .
Доказательство. Составим таблицу истинности:
и |
л |
и |
л |
и |
и |
Формула 2 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , значит, является законом алгебры логики.
Закон двойного отрицания: .
Доказательство.
Составим таблицу истинности:
и |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
Формула 3 принимает значение «истина», при любых значениях переменных , значит, является законом алгебры логики.
Закон коммутативности конъюнкции: .
Доказательство. Составим таблицу истинности:
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
Формула 4 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и, значит, является законом алгебры логики.
Закон ассоциативности конъюнкции: .
Доказательство. Составим таблицу истинности:
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
Формула 5 принимает значение «истина», при любых значениях переменных ,и, значит, является законом алгебры логики.
Закон коммутативности дизъюнкции: .
Закон ассоциативности дизъюнкции: .
Доказательство. Составим таблицу истинности:
Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции: .
Закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции: .
Закон построения отрицания конъюнкции: .
Доказательство. Составим таблицу истинности:
и |
и |
и |
Л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
И |
л |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
И |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
И |
и |
и |
и |
и |
Формула 10 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и, значит, является законом алгебры логики.
Закон построения отрицания дизъюнкции: .
Доказательство. Составим таблицу истинности:
и |
и |
и |
Л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
и |
Л |
л |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
Л |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
И |
и |
и |
и |
и |
Формула 11 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и, значит, является законом алгебры логики.
.
Доказательство. Составим таблицу истинности:
и |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
и |
и |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
и |
Формула 12 принимает значение «истина», при любых значениях переменных и, значит, является законом алгебры логики.
Закон отрицания импликации: .
.