Операции над множествами.

Определение.Объединением двух множествиназывается множество, которое состоит из элементов множестви, и не содер­жит никаких других элементов.

Обозначается :.

.

Диаграмма Эйлера – Венна:

Определение.Пересечением множествиназывается множе­ство, которое состоит из элементов, принадлежащих множествуи множеству, и не содержит других элементов.

Обозначается: .

.

Диаграмма Эйлера – Венна:

Определение.Симметрической разностьюмножестви, обо­значается, (или дизъюнктивной суммой, обозначается), на­зывается множество всех элементов, принадлежащих или множествуили множеству, но не обоим вместе.

Диаграмма Эйлера – Венна:

Определение.Разностью двух множествиназывается мно­жество, которое состоит из тех элементов, которые не принадлежат множеству, и не содержит других элементов.

Обозначается: .

Диаграмма Эйлера – Венна:

.

Имеет место свойство:

. (Доказать самостоятельно).

Пример 1.Для множествинайти множества.

Решение.

;;;.

Свойства операций над множествами.

1. Законы коммутативности.

Для любых множеств ,:

а)

б)

Доказательство:

b. Для того, чтобы доказать равенство двух множеств, нужно дока­зать, что каждое из этих множеств является подмножеством другого множества.

Пусть .

1. Для того, чтобы доказать равенство двух множеств, нужно дока­зать, что каждое из этих множеств является подмножеством другого множества. Пусть .

2. Законы ассоциативности.

Для любых множеств ,:

1. 

1. 

Доказательство:

1. 

.

2. 

.

3. Законы дистрибутивности.

Для любых множеств ,,:

1. 

1. 

Доказательство:

1. 

.

1. 

.

4. Законы идемпотентности.

1. 

1. 

Доказательство:

1. 

.

2. 

5. Законы для разности.

Для любых множеств ,,:

1. ,

1. ,

2. .

Доказательство:

1. 

.

2. 

.

3. .

6. Законы де Моргана для разности.

Для любых множеств ,,:

1. ,

1. .

Доказательство:

1. 

2. 

Универсальные множества. Дополнение и его свойства.

Определение. Если все рассматриваемые множества являются под­множествами некоторого множества, то- универсальное множество.

Пример. Множество действительных чисел- универсальное числовое множе­ство.

Определение.Пусть, тогда дополнением множества, обозна­чаетсяили, называется множество, определяемое формулой:.

Свойства дополнения:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. .

Свойства 1) и 2) – законы де Моргана для дополнения.

Доказательства:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. Дано: , доказать:, т.е. нужно доказать, что каждый элемент излежит в.

Возьмём ,.

Та­ким образом, .

6. .

Задача.

1) В классе 25 человек, каждый из которых владеет, по крайней мере, одним языком – английским или немецким. 17 человек владеют английским, 15 – немецким. Сколько человек владеет только английским языком? Только немецким?

Решение:

Пусть множество А – множество людей, знающих английский, В – множество людей, знающих немецкий.

Тогда

пусть х– число учеников, владеющих двумя языками.

Тогда

Найдем количество учеников, владеющих только английским:

Найдем количество учеников, владеющих только немецким:

Ответ: 10 учеников владеют только английским языком, а 8 учащихся – только немецким.

Алгебра множеств. Пусть- это множество множеств, т.е.. На множествезаданы операции.

Множество с операциями на нём называется алгеброй множеств.

- алгебра множеств.

Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения.

- упорядоченная пара элементов, т.е.- первый элемент,- второй элемент.

Описание.

Определение.Прямое произведение множестви(обозначается:) – это множество:.

Прямое произведение множеств часто называют декартовым произведе­нием множеств;

а упорядоченную пару - декартовыми координатами на плоскости.

Пример.

; . Вычислим декартово произведение этих множеств.

.

Упорядоченную пару иначе можно назвать кортежем длины 2.

Обобщением понятия упорядоченной пары является понятие кортежа (упо­рядоченного множества n-объектов). Кортежn-объектов записывается:.

Определение. Два кортежаиравны тогда и только тогда, когда.

Прямое произведение n-множеств () – это множество всех корте­жей вида, то есть

Множество степениn, где равно прямому произведениюn-мно­жеств.

.

Пример. Тогда

.