22. Коэффициент напряженности работы в сетевой модели. Пути снижения напряженности работ.

Прежде чем использовать сетевой график как основной инструмент управления ходом работ, необходимо провести его анализ и оптимизацию. Анализ и оптимизация сетевого графика в системах сетевого планирования и у равления (СПУ), в основном сводится к сокращению продолжительности критического пути. Основное внимание в сетевом графике необходимо обращать на критические работы. Увеличение или уменьшение продолжительности критических работ, а, следовательно, и критического пути может привести к изменению срока завершения комплекса работ в целом. Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также «цепочек» пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который может быть вычислен одним из двух способов по формуле: где - продолжительность максимального пути, проходящего через работу ; - продолжительность (длина) критического пути; - продолжительность отрезка рассматриваемого (максимального пути, проходящего через работу ) пути, совпадающего с критическим путем; - полный резерв времени работы Коэффициент напряженности может изменяться в пределах от 0 (для работ, у которых отрезки максимального из путей, не совпадающие с критическим путем, состоят из фиктивных работ нулевой продолжительности) до 1 (для работ критического пути). Чем ближе к 1 коэффициент напряженности, тем сложнее выполнить данную работу в установленные сроки. Чем ближе коэффициент напряженности к 0, тем большим относительным резервом обладает максимальный путь, проходящий через данную работу. В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу. Оптимизация сетевого графика представляет процесс улучшения организации выполнения комплекса работ с учетом срока его выполнения. Оптимизация проводится с целью сокращения длины критического пути, выравнивания коэффициентов напряженности работ, рационального использования ресурсов.

В первую очередь принимаются меры по сокращению продолжительности работ, находящихся на критическом пути.

Это достигается:

-перераспределением всех видов ресурсов, как временных (использование резервов времени некритических путей), так и трудовых, материальных, энергетических; при этом перераспределение ресурсов должно идти, как правило, из зон, менее напряженных, в зоны, --объединяющие наиболее напряженные работы; -сокращением трудоемкости критических работ за счет передачи части работ на другие пути, имеющие резервы времени;

-параллельным выполнением работ критического пути;

-пересмотром топологии сети, изменением состава работ и структуры сети.

23. Коэффициенты прямых и косвенных материальных затрат в матричных моделях баланса. Основные уравнения математической модели балансового метода планирования.

Коэффициенты прямых затрат по определению являются неотрицательными, следовательно, матрица А в целом может быть названа неотрицательной: А > 0. Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного воспроизводства в отрасли затрачивалось большее количество продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы матрицы А меньше единицы: ац < 1.

Система уравнений межотраслевого баланса является отражением реальных экономических процессов, в которых содержательный смысл могут иметь лишь неотрицательные значения валовых выпусков; таким образом, вектор валовой продукции состоит из неотрицательных компонентов и называется неотрицательным: X > 0. Встает вопрос, при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям. Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X > 0, что

X >АХ. (6.11)

Очевидно, что условие (6.11) означает существование положительного вектора конечной продукции У > 0 для модели межотраслевого баланса (6.6).

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е - А)_1>0; 00

2) матричный ряд Е + А + А2 + А3 + ...= ^ Ak сходится, ft=o причем его сумма равна обратной матрице (Е - А)-1;

3) наибольшее по модулю собственное значение X матрицы А, то есть решение характеристического уравнения |ХЕ ~А\ = 0, строго меньше единицы;

4) все главные миноры матрицы (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до п, положительны.

Перейдем к анализу матрицы коэффициентов полных материальных затрат, т.е. матрицы В = (Е - А)-1. Согласно определению 2 из предыдущего параграфа коэффициент этой матрицы показывает, сколько всего нужно произвести продукции і-й отрасли, чтобы получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Коэффициентом полных материальных затрат ctj называется сумма прямых затрат и косвенных затрат продукции і-й отрасли для производства единицы продукции j-й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства.

Коэффициенты полных матричных затрат включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затрат отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в продукт через другие средства производства.

24. Краткая характеристика методов решения систем уравнений матричных моделей балансового метода планирования (метод Жордана-Гаусса, метод простых итераций, итерационный метод Зейделя). Достаточный признак сходимости итерационных процессов.

Принцип метода Гаусса

Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

Метод Жордана-Гаусса.

Элементарные преобразования этого метода аналогичны методу Гаусса, только матрица при использовании этого метода приводится к виду, то есть столбец свободных коэффициентов превращается в столбец корней.

Метод простой итерации

При большем числе неизвестных линейная система (ЛС впоследствии) схема метода Гаусса, дающая точное приближение, становиться весьма сложной.

В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее использовать приближенные методы вычисления. Изложим здесь один из этих методов - метод итераций.

При большом числе уравнений прямые методы решения СЛАУ (за исключением метода прогонки) становятся труднореализуемыми на ЭВМ прежде всего из-за сложности хранения и обработки матриц большой размерности. В то же время характерной особенностью ряда часто встречающихся в прикладных задачах СЛАУ является разреженность матриц. Число ненулевых элементов таких матриц мало по сравнению с их размерностью. Для решения СЛАУ с разреженными матрицами предпочтительнее использовать итерационные методы.

Методы последовательных приближений, в которых при вычислении последующего приближения решения используются предыдущие, уже известные приближенные решения, называются итерационными.

Следует подчеркнуть, что это неравенство дает завышенное число итераций , поэтому редко используется на практике.

Замечание. Поскольку является только достаточным (не необходимым) условием сходимости метода простых итераций, то итерационный процесс может сходиться и в случае, если оно не выполнено. Тогда критерием окончания итераций может служить неравенство.

Теория метода Зейделя

Метод простых итераций и метод Зейделя почти идентичны. Разница лишь в том, что в методе Зейделя расчет вектора приближений на текущей итерации происходит с использованием данных, полученных ни только на предыдущей, но и на нынешней итерации. То есть элемент x₁ вычисляется на основе x₂ и x₃, значения которых, расчитаны на предыдущей итерации, а следующий элемент x₂ уже вычисляется за счет x₁, полученного именно на текущей итерации, и x₃ на предыдущей. Другими словами данные в методе Зейделя для расчета вектора X поступают в процесс по мере их вычисления. А в методе простых итераций используются данные, строго полученные на предыдущей итерации.