Определение и формула Истинный коэффициент детерминации модели зависимости случайной величины y от факторов X определяется следующим образом:

В данном определении используются истинные параметры, характеризующие распределение случайных величин. Если использовать выборочную оценку значений соответствующих дисперсий, то получим формулу для выборочного коэффициента детерминации (который обычно и подразумевается под коэффициентом детерминации):

где  — сумма квадратов остатков регрессии,  — фактические и расчётные значения объясняемой переменной.

 — общая сумма квадратов. В случае линейной регрессии с константой , где  — объяснённая сумма квадратов, поэтому получаем более простое определение в этом случае — коэффициент детерминации — это доля объяснённой суммы квадратов в общей:

Необходимо подчеркнуть, что эта формула справедлива только для модели с константой, в общем случае необходимо использовать предыдущую формулу.

37. Основные понятия эволюционно-симулятивной методологии.

Эволюционно-симулятивный метод (ЭСМ) 

метод моделирования равновесных случайных процессов и принятия решений в условиях неопределенности. ЭСМ успешно применяется в экономике и физике.

Общие сведения

ЭСМ включает структурную математическую формулировку задачи (Эволюционно-симулятивная модель) и алгоритмы поиска ее решения. Этот метод отражает процессы формирования:

• равновесия на товарных, финансовых и фондовых рынках;

• процессы управления, основанные на нормативах;

• физические, биологические и химические равновесные процессы.

К ЭСМ сводятся некоторые задачи стохастического программирования, байесовский подход, статистическая оптимизация. Название получено путем объединения двух терминов: «Эволюционный» и «Симулятивный». Эволюционный — потому, что в ЭСМ применен алгоритм оптимизации, моделирующий законы естественной эволюции, представляющие собою направленный случайный поиск. Симулятивный — потому, что в ЭСМ использованы принципы диалогового (симулятивного) моделирования с применением экспертных оценок.

Первая публикация об ЭСМ была в 1970 году. На основе ЭСМ создана инструментальная система Decision. На основании Решения Международной Ассоциации Авторов Научных Открытий, членами которой являются 28 Лауреатов Нобелевской Премии, Президиум Российской Академии Естественных Наук признал Decision открытием (решение № 126 от 15.06.2000).

38. Основные теоремы двойственности и их экономическое содержание

Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования, которую называют двойственной к данной. Исходная и двойственная к ней задача образуют пару двойственных задач. В зависимости от вида исходной задачи линейного программирования различают симметричные, несимметричные и смешанные пары двойственных задач.

Симметричные пары двойственных задач - Если система ограничений исходной задачи состоит из неравенств и на все переменные хj наложено условие неотрицательности, то исходная задача и составленная по определенному правилу двойственная задача образуют симметричную пару двойственных задач.

Лемма 1. Если  и  - произвольные допустимые решения пары двойственных задач, то , если исходная задача на максимум, и , если она на минимум. Лемма 2. Достаточный признак оптимальности.

Если  и  - допустимые решения пары двойственных задач, для которых выполняется равенство , то  и  - оптимальные решения соответствующих задач.

Теорема 1. (Первая основная теорема двойственности.) Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то двойственная ей задача также имеет оптимальное решение, причем экстремумы целевых функций равны, т.е. .

Если одна из двойственных задач не имеет оптимального решения, то другая задача также не имеет оптимального решения, причем если одна из задач не имеет оптимального решения из-за неограниченности целевой функции, то другая из-за несовместности системы ограничений.

Теорема 2. (Вторая основная теорема двойственности.) Для того чтобы допустимые решения  и  несимметричной пары двойственных задач были соответственно оптимальными решениями, необходимо и достаточно, чтобы для любого j выполнялось равенство.

Эк интерпретация: основные переменные хi обозначали количество произведенной продукции i-го вида, дополнительные переменные обозначали количество излишков соответствующего вида ресурсов, каждое из неравенств выражало собой расход определенного вида сырья в сравнении с запасом этого сырья. Целевая функция определяла прибыль при реализации всей продукции. Предположим теперь, что предприятие имеет возможность реализовывать сырье на сторону. Какую минимальную цену надо установить за единицу каждого вида сырья при условии, чтобы доход от реализации всех его запасов был не меньше дохода от реализации продукции, которая может быть выпущена из этого сырья. Переменные у1, у2, у3 будут обозначать условную предполагаемую цену за ресурс 1, 2, 3 вида соответственно.