Пособие по терверу

Найдите E[Y=(X + 1)].

11.3. Плотность распределения случайного вектора (X; Y ) имеет сле-

дующий вид:
		91;			если 1 6 x 6 4; 2 6 y 6 5,
		f(x; y) = (0;			в остальных случаях.
Найдите D p				.
			X + Y
11.4.	Плотность распределения случайной величины X имеет следу-
ющий вид:				fX(x) = (0;		x =2[0; 1]:
					2x;	x [0; 1];
						2

Случайная величина Y вычисляется по правилу: Y = X2. Найдите: а) плотность распределения fY (y) случайной величины Y ;

б) математическое ожидание E(Y ).

11.5.Случайная величина X имеет равномерный закон распределе-

ния в отрезке [2; 4]. Найдите плотность распределения fY (y) и функцию распределения FY (y) случайной величины Y = X3 + 1.

11.6.Случайная величина X распределена по показательному зако-

ну с параметром . Найдите плотность распределения fY (y) случайной величины Y = 1 e x.

11.7. Случайные величины X и Y независимы, причем X имеет равномерное распределение на отрезке [0; 1], а Y показательное распределение с параметром = 1. Найдите функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z = X + Y .

Ответы

														512p		702
11.1.	9;5			. 11.2.			3		7		ln 2		0;346		2			0;098
							4 12						. 11.3.	225				.
11.4. а) fY (y) = 1,								y 2 [0; 1]; б) E(Y ) =						21. 11.5. fY (y) =
		3
FY (y) =		py 1 2				,	y 2 [9; 65]. 11.6. fY (y) = 1, y 2 [0; 1).
				2

11.7. fZ(z) = 1 e z, 0 6 z 6 1; fZ(z) = e z(e 1), z > 1.

1	;
6p3 (y 1)2

111

Домашнее задание

11.8. Случайный вектор (X; Y ) имеет следующее распределение:

	XnY	1	0
	1	0;5	0	.
	2	0;1	0;2
	3	0	0;2

Найдите E[(X 1)=(Y + 2)].

11.9. Плотность распределения случайного вектора (X; Y ) имеет следующий вид:

(

1; если 0 6 x 6 2; 0 6 y 6 4, f(x; y) = 8

0в остальных случаях.

Найдите E		e2X+Y .
11.10.	Случайная величина X имеет следующую плотность распреде-
ления:		fX(x) =	(	0;	если	x = [1; 3].
				2	если	x	2	[1; 3],
				x 1;
							2

Найдите плотность распределения fY (y) случайной величины Y = X2.

11.11. Случайная величина X имеет показательное распределение с

параметром = 1. Найдите плотность распределения fY (y) и функцию p

распределения FY (y) случайной величины Y = X.

11.12. Даны две независимые случайные величины X и Y , имеющие показательное распределение с одним и тем же параметром . Найдите плотность распределения суммы Z = X + Y .

Ответы

(e2

1)(e 1)

p

1

11.8. 0;4. 11.9.

0;686. 11.10. fY (y) =

y

, y

2 [1; 9].

4p

16

y

11.11. fY (y) = 2ye 2y; FY (y) =

1 e y2 , y > 0. 11.12. fZ (z) = 2ze z,

z > 0.

Дополнительные задачи

11.13. Случайный вектор (X; Y ) имеет следующее распределение:

112

	XnY	1	2
	2	0	0;1	.
	4	0;4	0
	6	0;3	0;2

Найдите E(X=Y ).

11.14. Случайная величина X распределена равномерно в промежутке [ 2; 2]. Найдите плотность распределения fY (y) случайной величины

Y= 8X3.

11.15.Даны две независимые случайные величины X и Y , распределенные равномерно соответственно на отрезках [0; 2] и [2; 4]. Найдите плотность распределения их суммы Z = X + Y .

Ответы

	11.13. 4;1.				11.14. f		Y		(y) =					1		, y	2	[		64; 64]. 11.15. f	(z) = z 2	,
														3
													24py2							Z	4
2	6	z	6	4; f (z) =		6 z		, 4		6	z	6		6.
				Z	4

113

12 Условные распределения

12.1 Условный закон распределения

Пусть компоненты X и Y дискретного случайного вектора (X; Y ) при-

нимают соответственно значения: x1, x2, : : :; y1, y2, : : :.

Условным распределением случайной величины X при усло-

вии Y = yj, называется набор условных вероятностей qij

для событий

fX = xig при условии события fY = yjg:

qij = P (X = xi j Y = yj) =

P (X = xi; Y = yj)

:

P (Y = yj)

Пример. Распределение случайного вектора задано таблицей

XnY

1

0

1

0;35

0;1

2

0;1

0;25

5

0;05

0;15

Требуется найти условное распределение случайной величины X при

условии Y = 0.

B Имеем: P (Y = 0) = 0;1 + 0;25 + 0;15 = 0;5;

q12 = P (X = 1 j Y = 0) =

P (X = 1; Y = 0) 0;1

=

= 0;2;

P (Y = 0)

0;5

q22 = P (X = 2 j Y = 0) =

P (X = 2; Y = 0) 0;25

=

= 0;5;

P (Y = 0)

0;5

q32 = P (X = 5 j Y = 0) =

P (X = 5; Y = 0) 0;15

=

= 0;3:

P (Y = 0)

0;5

Искомое распределение имеет вид:

X jY =0

1

2

5

.

0;2

0;5

0;3

P

114

Пусть имеется абсолютно непрерывный случайный вектор (X; Y ) с

плотностью распределения f(x; y). Обозначим fX(x) и fY (y) плотности распределения компонент вектора X и Y соответственно.

Условной плотностью распределения случайной величины X

при условии, что Y = y, называется функция fXjY (xjy), определяемая

соотношением

f(x; y) fXjY (xjy) = fY (y) :

Аналогично определяется условная плотность распределения fY jX(yjx)

компоненты Y при условии X = x:

f(x; y) fY jX(yjx) = fX(x) :

Пример. Плотность распределения случайного вектора (X; Y ) имеет следующий вид:

(

x + y; если 0 6 x 6 1; 0 6 y 6 1,

f(x; y) =

0; в остальных случаях.

Требуется найти условное распределение случайной величины Y при условии X = 0;25.

B Имеем:

	1							1
fX(x) = Z (x + y)dy = xy +						y2		0 = x + 0;5;
						2
	0
fY jX(yj0;25) =	f(0;25; y)		=	0;25 + y	=		4y + 1			; y 2 [0; 1]:	C
	fX(0;25)			0;25 + 0;5				3

12.2 Условное математическое ожидание

Пусть (X; Y ) дискретный случайный вектор.

Условным математическим ожиданием E(X j Y = yj) компоненты вектора X при условии Y = yj, называется число

X

E (X j Y = yj) = xiqij;

i

где qij = P (X = xi j Y = yj).

115

Условным математическим ожиданием E(X j Y ) дискретной случайной величины X относительно дискретной случайной величины Y называется функция E(X j Y ) = g(Y ) от случайной величины Y , где область определения функции совпадает с множеством значений y1, y2, : : : случайной величины Y , а каждому значению yj аргумента y поставлено в соответствие число g(yj) = E(X j Y = yj):

Условное математическое ожидание является случайной величиной.

Пример. Распределение случайного вектора задано таблицей

	XnY	1	0
	1	0;35	0;1	.
	2	0;1	0;25
	5	0;05	0;15

Требуется найти условное математическое ожидание E(X j Y ).

B Вероятности pi2, (i = 1; 2; 3) для распределения случайной величины X при условии Y = 0 были найдены, при решении примера п. 12.1 и

имеют вид:

	X jY =0	1	2	5	.
	P	0;2	0;5	0;3

Найдем вероятности qi1, (i = 1; 2; 3) для распределения случайной величины X при условии Y = 1 :

P (Y = 1) = 0;35 + 0;1 + 0;05 = 0;5;

q

= P (X = 1

j

Y =

1) =

P (X = 1; Y = 1)

=

0;35

= 0;7;

11

0;5

P (Y =

1)

q21 = P (X = 2 j Y = 1) =

0;1

= 0;2;

0;5

q31 = P (X = 5 j Y = 1) =

0;05

= 0;1:

0;5

Итак,

X jY = 1

1

2

5

.

0;7

0;2

0;1

P

Тогда

E (X j Y = 1) = 1 0;7 + 2 0;2 + 5 0;1 = 1;6;

E (X j Y = 0) = 1 0;2 + 2 0;5 + 5 0;3 = 2;7:

116

Таким образом, условное математическое ожидание E(X j Y ) является функцией g(Y ) от случайной величины Y , причем область определения функции g(y) состоит из двух точек y1 = 1, y2 = 0, и g( 1) = 1;6; g(0) = 2;7. C

Пусть (X; Y ) абсолютно непрерывный случайный вектор.

Условным математическим ожиданием E(X j Y = y) случай-

ной величины X при условии Y = y называется число

1
E(X j Y = y) = Z	xfXjY (xjy) dx;
1

где fXjY (xjy) = f(x;y) условная плотность распределения случайной

fY (y)

величины X при условии Y = y.

Условным математическим ожиданием E(X j Y ) случайной величины X относительно случайной величины Y называется функция g(Y ) = E(X j Y ) от случайной величины Y , принимающая значения g(y) = E(X j Y = y) когда Y = y.

Функция g(y) называется функцией регрессии, или просто регрессией, случайной величины X на случайную величину Y , а ее график

линией регрессии случайной величины X на случайную величину Y , или просто X на Y .

Свойства условного математического ожидания: 1. E(C j Y ) = C, где C константа;

E(g(Y ) j Y ) = g(Y ):

2. E(kX j Y ) = kE(X j Y ), где k константа.

3.E(X + Y j Z) = E(X j Z) + E(Y j Z):

4.Если X и Y независимы, то E(X j Y ) = E(X).

5.Формула полного математического ожидания:

E(E(X j Y )) = E(X).

12.3 Условная дисперсия

Условной дисперсией D(X j Y ) случайной величины X относительно Y называется случайная величина, задаваемая формулой

D(X j Y ) = E([X E(X j Y )]2 j Y ):

117

Справедлива также формула:

D(X j Y ) = E(X2 j Y ) [E(X j Y )]2:

Приведенное определение применимо как для дискретного, так и для

непрерывного случайного вектора.

Свойства условной дисперсии:

1.	D(C j Y ) = 0, где C константа.
2.	D(aX + b j Y ) = a2D(X j Y ), где a и b константы;
	D(g(Y )X + h(Y ) j Y ) = g2(Y )D(X j Y ):

3.Если X и Y независимы, то D(X j Y ) = D(X).

4.Формула полной дисперсии:

D(X) = E[D(X j Y )] + D[E(X j Y )].

Пример. Пусть (X; Y ) случайный вектор, равномерно распределенный в треугольнике G с вершинами в точках (0; 0), (0; 4), (2; 0). Требуется найти E(Y j X), D(Y j X) и регрессию случайной величины Y

на X.

B Площадь треугольника S(G) = 4 и плотность распределения случайного вектора (X; Y ) имеет вид

f(x; y) =	(0;		если (x; y) =2G.
	1	;	если (x; y) G,
	4		2

Область G ограничена прямыми x = 0, y = 0 и y = 4 2x. Для всех точек области выполняются ограничения: 0 6 x 2, 0 6 y 6 4.

Найдем плотность распределения fX(x) компоненты X :

1	4 2x
Z	Z				1
	1
fX(x) = f(x; y) dy =		4	dy = 1			2	x; x 2 [0; 2]:
1	0

Найдем условную плотность распределения fY jX(yjx):

	f(x; y)		1	1
fY jX(yjx) =			4			; x 2 [0; 2]; y 2 [0; 4 2x]:
		=		=
	fX(x)		1 21x		4 2x

118

Тогда

1						4 2x
E(Y j X = x) = Z	yfY jX(yjx) dy =					Z		y 4 2x dy = 2 x;
									1
1		1				0
D(Y j x) = Z [y E(Y j x)]2fY jX(yjx) dy =
4 2x	1
					4 2x				6	2
Z
= (y		(2		x))2	1		dy =		(2 x)		:
0

Таким образом, условное математическое ожидание и условная дисперсия Y на X равны:

	E(Y	j	X) = 2		X;	D(Y	j	X) =	(2 X)2	:
									6

Регрессия случайной величины Y на X задается формулой:

g(x) = 2 x: C

12.4 Задания

Задачи для практических занятий

12.1. Распределение случайного вектора (X; Y ) задано таблицей

	XnY	1	0	4	.
	5	0;25	0;1	0;25
	10	0;15	0;2	0;05

Найдите условное математическое ожидание E(X j X Y = 6).

12.2. Распределение случайного вектора (X; Y ) задано таблицей

	XnY	5	10
	2	0;25	0;25	.
	0	0;2	0
	2	0;15	0;15

Найдите:

a) E(X j Y ); б) E(Y j X); в) D(X j Y ); г) D(Y j X).

119

12.3. Случайная величина X имеет следующее распределение:

	X	1	2	.
	P	0;4	0;6

Известно, что E(Y j X = 1) = 5, E(Y j X = 2) = 3. Найдите E(Y ).

12.4. Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения

2e x 2y;	если x > 0; y > 0,
f(x; y) = (0;	в остальных случаях.

Найдите:

а) плотность распределения компонент вектора fX(x) и fY (y); б) условные плотности распределения fXjY (xjy) и fY jX(yjx); в) условные математические ожидания E(X j Y ) и E(Y j X); г) линии регрессии X на Y и Y на X.

12.5.Случайный вектор (X; Y ) имеет равномерное распределение в круге G : x2 + y2 6 1. Найдите:

а) плотность распределения fX(x) компоненты X; б) условную плотность распределения fXjY (xjy); в) условное математическое ожидание E(X j Y ); г) условную дисперсию D(X j Y ).

12.6.Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения

(

Cy; если (x; y) 2 G,

f(x; y) =

0; если (x; y) 2= G,

где G область, ограниченная линиями y = x2 и y = 1. Найдите: а) постоянную C;

б) плотности распределения компонент вектора fX(x) и fY (y); в) условные плотности распределения fXY (xjy) и fY jX(yjx); г) условные математические ожидания E(X j Y ) и E(Y j X); д) условную дисперсию D(X j Y );

е) линии регрессии X на Y и Y на X.

12.7. Случайный вектор (X; Y ) имеет равномерное распределение в треугольнике ABC, где A( 3; 0), B(0; 1), C(3; 0). Найдите:

а) плотности распределения компонент вектора fX(x) и fY (y); б) условные плотности распределения fXjY (xjy) и fY jX(yjx);

120