Пособие по терверу

в) условные математические ожидания E(X j Y ) и E(Y j X); г) условную дисперсию D(X j Y );

д) линии регрессии X на Y и Y на X.

Ответы

12.1. 356 . 12.2. а) E(X j 5) = 13, E(X j 10) = 12; б) E(Y j 2) = 152 ,

E(Y j 0) = 5, E(Y j 2)	= 152 ; в) D(X j 5)	= 239 2;56, D(X j 10) = 154 ;
г) D(Y j 2) = 254 = 6;25, D(Y j 0) = 0, D(Y j 2) = 254 = 6;25. 12.3. 3;8.
12.4. а) fX(x) = e x;	fY (y) = 2e 2y, y >	0; б) fX(xjy) = e x;

fY (yjx) = 2e 2y; в) E(X j Y ) = 1; E(Y j X) = 21; г) g(y) = 1; h(x) = 21.

2 p

1

12.5. а) fX(x) =

2

; б) fXjY

; в) E(X j

Y ) = 0;

1 x

(xjy) =

2p

1 y2

г) D(X

Y ) =

1 Y

2

.

12.6. а) C =

; б) f

1

x4

,

j

5

(x) = 5

5yp

3

4

X

8

fY (y) =

; в) fX Y (x y) =

1

; fY X(y x) =

2y

;

y

x

4

2

j j

2py

j

j

1

2(1+X2+X4)

г) E(X j Y ) = 0; E(Y j X) =

; д) D(X j Y ) = Y3 ; е) g(y) = 0;

3(1+X2)

h(x) =

2(1+x2+x4)

.

12.7. а) fX(x) =

3 jxj

;

fY (y) = 2(1 y);

3(1+x2)

9

б) fXjY (xjy) =

1

;

fY jX(yjx) =

3

;

в) E(X j Y ) = 0;

6(1 y)

3 jxj

(3 jXj

2

3 jXj

;

г) D(X j Y )

2

; D(Y jX)

;

E(Y j

X) =

6

=

3 (1 y)

=

216

д) g(y) = 0; h(x) = 3 6jxj.

Домашнее задание

12.8. Распределение случайного вектора (X; Y ) задано таблицей

	XnY	2	0	7	.
	2	0;1	0;35	0;2
	3	0;2	0;15	0;1

Найдите условное математическое ожидание E(Y j X + Y = 5).

12.9. Распределение случайного вектора (X; Y ) задано таблицей

	XnY	1	2	5	.
	1	0;15	0;15	0;3
	1	0;1	0;25	0;05

Найдите: а) E(X j Y ); б) E(Y j X); в) D(X j Y ); г) D(Y j X).

12.10. Случайная величина Y имеет следующее распределение:

	Y	1	0	4	.
	P	0;25	0;5	0;25

121

Известно, что E(X j Y = 1) = 2, E(X j Y = 0) = 10,

E(X j Y = 4) = 2. Найдите E(X).

12.11. Случайный вектор (X; Y ) имеет равномерный закон распределения в области G, где G прямоугольник ABCD; A( 4; 2), B( 4; 3),

C(6; 3), D(6; 2). Найдите:

а) плотности распределения компонент вектора fX(x) и fY (y); б) условные плотности распределения fX(xjy) и fY (yjx);

в) условные математические ожидания E(X j Y ) и E(Y j X); г) условные дисперсии D(X j Y ) и D(Y j X);

д) линии регрессии X на Y и Y на X.

12.12. Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения

(

x+3y ; если 0 6 x 6 1; 0 6 y 6 1, f(x; y) = 2

0в остальных случаях.

Найдите:

а) плотности распределения компонент вектора fX(x) и fY (y); б) условные плотности распределения fXjY (xjy) и fY jX(yjx); в) условные математические ожидания E(X j Y ) и E(Y j X); г) линии регрессии X на Y и Y на X.

12.13. Случайный вектор (X; Y ) имеет равномерный закон распределения в области G, где G треугольник ABC; A(0; 0), B(4; 4), C(4; 0). Найдите:

а) плотности распределения компонент вектора fX(x) и fY (y); б) условные плотности распределения fX(xjy) и fY (yjx);

в) условные математические ожидания E(X j Y ) и E(Y j X); г) условные дисперсии D(X j Y ) и D(Y j X);

д) линии регрессии X на Y и Y на X.

Ответы

12.8. 4;5. 12.9. а) E(X j 1) = 15, E(X j 2) = 14, E(X j 5) = 57; б) E(Y j 1) = 134 , E(Y j 1) = 178 ; в) D(X j 1) = 254 , D(X j 2) = 1516, D(X j 5) = 2449 0;49; г) D(Y j 1) = 5116 = 3;1875,

D(Y j 1) = 6487 1;36. 12.10.			5. 12.11. а) fX(x) =	1	; fY (y) =
				10
б) fXjY (xjy) =	1	; fY jX(yjx) =	51; в) E(X j Y ) = 1; E(Y j X) =
	10

15;

12;

122

г) D(X j Y ) = 253 ; D(Y j X) = 2512; д) g(y) = 1; h(x) = 12.

12.12. а) fX(x) = 2x4+3;

fY (y) = 6y4+1; б) fXjY (xjy) =

2(x+3y)

;

6y+1

2(x+3y)

; в) E(X j Y ) =

9Y +4

; E(Y j X) =

X+1

;

fY jX(yjx) =

2x+3

6(6Y +1)

2X+3

9y+4

x+1

x

г) g(y) =

; h(x) =

. 12.13. а) fX

(x) = 8 , x 2 [0; 4], y

2 [0; x];

6(6y+1)

2x+3

fY (y) = 4 8 y , y 2 [0; 4], x 2 [y; 4]; б) fXjY (xjy) = 4 1 y , x 2 [y; 4], y 2 [0; 4];

fY jX(yjx) = x1 , y 2 [0;2			x], x 2 [0; 4]; в) E(X j Y ) =				Y		+4	; E(Y j X) = X2 ;
									2
	(4 Y )			X	2	y+4					x
г) D(X j Y ) =	12	; D(Y j X) =		4	; д) g(y) =	2		; h(x) =			2 .

Дополнительные задачи

12.14. Распределение случайного вектора (X; Y ) задано таблицей

	XnY	10	15	20	.
	3	0;25	0;15	0;32
	6	0;1	0;05	0;13

Найдите:

а) E(X j Y ); б) E(Y j X); в) D(X j Y ); г) D(Y j X).

12.15. Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения

4xye (x2+y2); если x > 0; y > 0,
f(x; y) = (0;	в остальных случаях.

Найдите:

а) плотность распределения fX(x) компоненты вектора X; б) условную плотность распределения fXjY (xjy);

в) условное математическое ожидание E(X j Y ); г) условную дисперсию D(X j Y );

д) линию регрессии X на Y .

12.16. Случайный вектор (X; Y ) имеет равномерный закон распределения в области G, где G квадрат ABCD; A( 2; 0), B(0; 2), C(2; 0),

D(0; 2). Найдите:

а) плотность распределения fX(x) компоненты вектора X; б) условную плотность распределения fXjY (xjy);

в) условное математическое ожидание E(X j Y ); г) условную дисперсию D(X j Y ).

12.17. Случайный вектор (X; Y ) имеет следующее распределение:

123

	XnY	1	5	8	.
	1	0;3	0	0;3
	4	0;1	0;1	0;2

Найдите D[E(X j Y )] и E[D(X j Y )].

Ответы

12.14. а) E(X j 10) 3;86, E(X j 15) 3;75, E(X j 20) 3;87;

б) E(Y j 3) 15;49, E(Y j 6) 15;54;

в) D(X j 10) 1;84,

D(Xj15)

1;69, D(X j 20)2 1;85; г) D(Y j 3) 19;56, D2

(Y j 6) 20;25.

12.15. а) fX(x) = 2xe x , x > 0;

б) fXjY (xjy) = 2xe x ;

в) E(X

j

Y ) =

p

; г) D(X

j

Y ) =

4

; д) g(y) =

p

.

2

jx4j

4

2

12.16. а) fX(x) =

, 2 6 x 6 2, jxj 6 y 6 jxj; б) fXjY (xjy) =

1

,

2 y

jyj 6 x 6 jyj, y 2 [ 2; 0) [ (0; 2]; в) E(X j Y ) = 0; г) D(X j Y ) =

j

2j

Y

.

3

12.17. D[E(X j Y )] = 0;405;

E[D(X j Y )] = 1;755.

124

13 Основные понятия математической статистики

13.1 Эмпирические характеристики

Статистическая совокупность множество единиц изучаемого яв-

^

ления. Обозначаются совокупности: , 1, и т. д.

Признак качественная особенность единицы совокупности. Обозначаются признаки: X, Y и т. д.

Статистическая совокупность является областью определения конкретной функции, связанной с признаком.

Число элементов совокупности называется ее объемом.

Пусть x1, : : :, xn значения признака X в совокупности объема n. Располагая значения признака в порядке возрастания, получают вариационный ряд признака: x(1) 6 x(2) 6 : : : 6 x(n):

Разность x(n) x(1) между наибольшим и наименьшим значениями признака называется размахом признака.

Вариационный ряд признака x(1), x(2), : : :, x(n) может содержать одинаковые значения. Удалив все повторяющиеся значения получают последовательность значений признака x1, : : :, xs, s 6 n, все члены которой различны.

Количество ni элементов ! 2 , для которых X(!) = xi называется

частотой значения xi.

Отношение ni=n называется относительной частотой xi.

Таблица частот значений

	x1	x2	: : :	xs	.
	n1	n2	: : :	ns

называется частотным распределением признака.

125

Таблица относительных частот

	x1	x2	: : :	xs	.
	n1=n	n2=n	: : :	ns=n

называется эмпирическим распределением признака.

Пример. Признак X совокупности объема 10 имеет следующие значения: 5; 2; 4; 4; 3; 5; 3; 3; 4; 3. Требуется построить вариационный ряд и частотное распределение признака.

B Располагая элементы в порядке возрастания, получим вариационный ряд: 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5.

Частотное распределение:

	значение X	2	3	4	5	. C
	частота	1	4	3	2

Эмпирическим средним или средним значением признака в совокупности называется среднее арифметическое всех его значений в этой совокупности

x = x1n1 + x2n2 + : : : + xsns : n

Эмпирической дисперсией или дисперсией признака в совокупности называется среднее арифметическое квадратов отклонений его значений от эмпирического среднего

D(X) = (x1 x)2 n1 + (x2 x)2 n2 + : : : + (xs x)2 ns : n

p

Корень = D(X) называется стандартным отклонением признака X в совокупности .

Эмпирический начальный момент k-го порядка:

xkn1 + xkn2 + : : : + xkns

k(X) = 1 2 s : n

Эмпирический центральный момент k-го порядка:

k(X) = (x1 x)k n1 + (x2 x)k n2 + : : : + (xs x)k ns : n

126

Будем использовать обозначение:
			xk + xk + : : : + xk
	xk =		1 2	n	= k(X):
			n

Для эмпирической дисперсии справедлива формула:

D(X) = x2 (x)2 :

Пример. Имеется следующее частотное распределение признака X:

	значение X	1	3	7	12	.
	частота	8	16	6	10

Требуется найти эмпирическое среднее.

B В соответствии с определением,

x = 401 (8 1 + 16 3 + 6 7 + 10 12) = 21840 = 5;45: C

Пример. Имеется следующее частотное распределение признака X:

	значение X	1	5	6	8	.
	частота	6	4	7	3

Требуется найти эмпирическую дисперсию.

B Сначала находим значения x и x2.

x = 201 (6 1 + 4 5 + 7 6 + 3 8) = 9220 = 4;6;

x2 = 201 (6 12 + 4 52 + 7 62 + 3 82) = 55020 = 27;5:

Эмпирическую дисперсию находим по формуле D = x2 (x)2.

D = 27;5 4;62 = 27;5 21;16 = 6;34: C

Эмпирическая асимметрия

As = 3(X) :

[D(X)]3=2

Эмпирический эксцесс

As = 4(X) 3:

[D(X)]2

127

Середина вариационного ряда называется эмпирической медианой. Вычисляется по формуле:

Me =	x		n+1	)	;	если	n	нечетное,
	81	(	2
	<2		x(n2 ) + x(n2 +1)			; если n четное:
	:

Пусть x произвольное действительное число. Обозначим через nx накопленную частоту, т.е. число элементов вариационного ряда, меньших чем x.

Эмпирическая функция распределения F (x) вычисляется по следующей формуле:

F (x) = nnx :

Пример. Признак X совокупности объема 10 имеет следующие значения: 8; 5; 12; 5; 0; 5; 4; 11; 5; 5. Требуется построить эмпирическую функцию распределения.

B Вариационный ряд: 12; 5; 5; 5; 4; 0; 5; 5; 8; 11. Вычисленные значения частот, накопленных частот и эмпирической функции распределения расположим в последовательных столбцах таблицы:

	i	x(i)	ni	nx	F (x) = nx=n
	1	12	1	1	0;1
	2	5	3	4	0;4
	3	4	1	5	0;5
	4	0	1	6	0;6
	5	5	2	8	0;8
	6	8	1	9	0;9
	7	11	1	10	1;0

График эмпирической функции распределения имеет ступенчатый вид. Функция принимает одно и то же значение во всем интервале между

128

последовательными значениями вариационного ряда:

8

1

;

если

x

6(

12;,

5],

0;

если

x

12

>

2

10

>

4

;

x

(

5;

4]

>

>

>

2

5

>

>

>10

если

,

>

2

F (x) =

>

>

>

6

>10

;

если

x

(

4; 0],

>

2

<

>

;

если

x

(0; 5],

9

>

>

>10

>

8

; если

x 2

(5; 8],

10

>

2

>

>

x > 11

>1;

если

C

>

;

x

.

>

если

(8; 11],

>

>

>

>

>

:

Пусть имеются два признака X и Y на совокупности = f!1; : : : ; !ng. И пусть имеется r различных значений признака X и s различных значений признака Y .

Таблицей сопряженности или совместным частотным распределением признаков X и Y называется следующая таблица

	XnY	Y = y1	Y = y2	: : :	Y = ys
	X = x1	n11	n12	: : :	n1s	.
	: : :	: : :	: : :	: : :	: : :
	X = xr	nr1	nr2	: : :	nrs

где nij частота пары (xi; yj), т.е. число элементов ! 2 , для которых

X(!) = xi, а Y (!) = yj.

Эмпирическая ковариация определяется формулой

1			r	s
			Xi	X
Cov(X; Y ) =	n			(xi x) (yi y) nij;

=1 j=1

Эмпирический коэффициент корреляции признаков вычисляется по формуле

Cov(X; Y )

xy = p

D(X)D(Y )

где

r s

xy = n1 XX

i=1 j=1

= xy x y ;(X) (Y )

xiyjnij:

129

Рассмотрим интервал (x(1); x(n), внутри которого расположены все возможные значения признака X. Пусть (a1; b1), . . . , (as; bs) разбиение этого интервала на попарно непересекающиеся интервалы меньшей длины.

Интервалы (ai; bi) называются интервалами группировки.

Число тех элементов ! 2 , для которых X(!) 2 (ai; bi) называется

частотой интервала (ai; bi) и обозначается ni. Таблица

	a1	b1	n1
	a2	b2	n2
	: : :	: : :	: : :
	as	bs	ns

называется таблицей интервальных частот или интервальным статистическим распределением.

Гистограммой частот называется геометрическая фигура, составленная из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки [ai; bi]

на оси абсцисс, а высота каждого прямоугольника равна частоте соответствующего интервала.

Гистограммой плотности частот называется геометрическая фигура, составленная из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки [ai; bi] на оси абсцисс, и площадь каждого прямоугольника равна частоте соответствующего интервала.

Обозначим через xi середину i-го интервала группировки: xi = (ai + bi) =2.

Используя в качестве значений признака X числа xi получают эмпирические интервальные характеристики:

интервальное среднее

s

x = n1 Xxi ni ;

i=1

интервальная дисперсия

s

D (X) = n1 X(xi x ) ni ;

i=1

интервальное стандартное отклонение

(X) = pD (X):

130