Пособие по терверу

6.2 Дисперсия

Основной характеристикой рассеяния (разброса, уклонения от среднего) случайной величины является ее дисперсия D(X), определяемая

по формуле: D(X) = E [X E (X)]2 . Таким образом, дисперсия это математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины.

Свойства дисперсии:

1.D(X) = E X2 [E (X)]2.

2.D(C) = 0.

3.D (CX) = C2D(X).

4.D(X + C) = D(X).

5.D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) для независимых случайных величин.

В частности, D( X) = D(X), D(X Y ) = D(X) + D(Y ).

p

Квадратный корень из дисперсии (X) = D(X) имеет размерность самой случайной величины и носит название стандартного отклоне-

ния (или среднего квадратического отклонения).

Пример. Случайная величина X задана следующим рядом распреде-

ления:

	X	1	0	2
	P	0;3	0;5	0;2

Требуется найти E(X), D(X); (X).

B В соответствии с определением,

E (X) = 1 0;3 + 0 0;5 + 2 0;2 = 0;1;

E X2 = ( 1)2 0;3 + 02 0;5 + 22 0;2 = 1;1;

D (X) = E X2 [E (X)]2 = 1;1 0;01 = 1;09;

pp

(X) = D (X) = 1;09 1;04: C

Пример. Случайные величины X и Y связаны соотношением

Y = 3 2X, причем E(X) = 5, D(X) = 2. Требуется найти E(Y ), D(Y ).

B Используя свойства математического ожидания и дисперсии, получаем

E(Y ) = E(3 2X) = E(3) 2E(X) = 3 2 5 = 7; D(Y ) = D(3 2X) = D( 2X) = ( 2)2 D(X) = 4 2 = 8: C

61

6.3 Ковариация

Ковариацией Cov(X; Y ) случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений X и Y от их математических ожиданий:

Cov(X; Y ) = E [(X E (X)) (Y E (Y ))] :

Свойства ковариации:

1.Cov(X; Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ).

2.Cov(X; X) = D(X).

3.D(X + Y ) = D(X) + D(Y ) + 2 Cov(X; Y ).

4.Если X и Y независимы, то Cov(X; Y ) = 0.

5.Cov(X; Y ) = Cov(Y; X).

6.Cov(kX; Y ) = Cov(X; kY ) = k Cov(X; Y ), если k константа.

7.Cov(X + Y; Z) = Cov(X; Z) + Cov(Y; Z):

Случайные величины X и Y называются некоррелированными, если Cov(X; Y ) = 0:

Существуют примеры некоррелированных, но зависимых случайных величин.

Коэффициент корреляции

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется величина

xy =		Cov(X; Y )			:
	p		p

D(X) D(Y )

Свойства коэффициента корреляции:

1.xy = yx.

2.j xyj 6 1 для любых случайных величин X и Y .

3.xy = 0 для независимых X и Y .

4.Если X и Y связаны линейной зависимостью, т.е. Y = aX +b, a 6= 0,

то j xyj = 1, причем xy = 1 при a > 0, xy = 1 при a < 0.

5. Если j xyj = 1, то случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью.

Пример. Случайная величина X задана следующим рядом распределения:

62

	X	1	0	2
	P	0;3	0;5	0;2

Требуется найти x;x2 коэффициент корреляции между случайными величинами X и X2.

B По определению коэффициента корреляции,

Cov X; X2x;x2 = (X) (X2);

Cov X; X2 = E X3 E(X) E X2 ;

X2 = pD (X2); D X2 = E X4 E X2 2 :

При решении примера в п. 6.2 были найдены значения

E (X) = 0;1; E X2 = 1;1; D (X) = 1;09:

Далее находим

E X3 = ( 1)3 0;3 + 03 0;5 + 23 0;2 = 1;3;

E X4 = ( 1)4 0;3 + 04 0;5 + 24 0;2 = 3;5;

Cov X; X2 = E X3 E (X) E X2 = 1;3 ( 0;1) 1;1 = 1;41; D X2 = E X4 E X2 2 = 3;5 1;12 = 2;29;

Cov X; X2 1;41 1;41

x;x2 = (X) (X2) = p1;09p2;29 1;58 0;89: C

6.4 Задания

Задачи для практических занятий

6.1. Найдите математическое ожидание случайной величины

Z= 8X 5Y + 7, если известно, что E(X) = 3, E(Y ) = 2.

6.2.Найдите дисперсию случайной величины Z = 8X 5Y + 7, если известно, что случайные величины X и Y независимы и D(X) = 1;5,

D(Y ) = 1.

6.3. Туристическая фирма продает путевки в Антарктиду. Цена одной путевки 300 000 рулей. Ежемесячные расходы на рекламу и обслуживание составляют 70 000 рублей. Число продаж за один месяц подчиняется распределению:

63

	X	0	1	2
	P	0;7	0;2	0;1

Найдите математическое ожидание ежемесячной прибыли туристической фирмы.

6.4. Распределение дискретной случайной величины X задано таблицей:

	X	1	0	1	4	6
	P	0;3	0;2	0;3	0;1	0;1

Найдите: а) E(X) и D(X); б) вероятность P fjX E(X)j (X)g.

6.5. Найдите (X) для дискретной случайной величины X, распреде-

ленной по закону:

	X	1111111111117	3333333333337	5555555555557
	P	0;2	0;5	0;3

6.6. Из четырех чисел (1; 2; 3; 4) случайным образом отбираются два числа. Найдите математическое ожидание суммы выбранных чисел.

6.7. Бросают 12 игральных костей. Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы чисел, выпавших на всех костях.

6.8. Случайная величина X принимает три значения: 1; 0; 1. Составьте ее ряд распределения, если E(X) = 0, D(X) = 0;5.

6.9. При заданной функции распределения

8

>0; если x 1,

>

>

>

<

>1; если 1 < x 2,

F (x) = 4

>3; если 2 < x 3,

>4

>

>

>

:1; если x > 3

случайной величины X, найдите E(X) и (X):

6.10.Дискретные случайные величины X, Y и Z независимы и имеют одинаковое распределение

	X	1	2
	P	0;5	0;5

Найдите а) D(XY Z); б) Cov (X + Y; X + Z).

6.11. Для случайных величин X и Y известно, что E(X) = 1,

E(Y ) = 4, D(X) = 3, D(Y ) = 5, xy = 0;2. Найдите E(XY ) и D(X + Y ).

64

6.12. Случайные величины X, Y , Z независимы и (X) = 3, (Y ) = 4,

(Z) = 5. Найдите uv коэффициент корреляции случайных величин

U = X + Y + Z и V = X Y + Z.

6.13. Пусть R1, R2 доходности ценных бумаг двух видов; mi = E(Ri), i = (Ri), i = 1; 2; = (R1; R2). И пусть X портфель, составленный из бумаг данного вида. Найдите математическое ожидание доходности портфеля X с наименьшей дисперсией доходности, если m1 = 7%, 1 = 1%, m2 = 14%, 2 = 2%, = 0;5.

Ответы

6.1. 21. 6.2. 121. 6.3. 50 000 руб. 6.4. а) E (X) = 1; D (X) = 4;8; б) 0;8.

	6.5. 1555555555554. 6.6. 5. 6.7. 42; 35. 6.8.	X	1	0	1	.
		P	0;25	0;5	0;25

6.9. E (X) = 32; (X) = 32. 6.10. а) 23164 3;609; б) 0;25.

6.11. E(XY ) = 5; D(X + Y ) = 12. 6.12. 0;36. 6.13. 9.

Домашнее задание

6.14. Случайные величины X и Y независимы. Известны дисперсии:

D(X) = 3, D(Y ) = 5. Найдите D(Z), если Z = 4X 2Y + 3.

6.15. В урне 4 белых и 2 черных шара. Из нее последовательно без возвращения извлекают шары до первого появления белого шара. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X

числа извлеченных шаров.

6.16. Независимые случайные величины X1, : : :, X20 могут принимать только значения 0 и 1. При этом P (Xi = 0) = 0;8; i = 1, : : :, 20. Найдите математическое ожидание E (X1 + : : : + X20)2 .

6.17. Закон распределенияhдискретной					случайной величины задан сле-
					i
дующим рядом:
	X	1	0	1
	P	0;3	0;4	0;3

Докажите, что случайные величины X и X2 зависимы, но некоррелированы.

6.18. Случайные величины X и Y имеют следующие характеристики:

E(X) = 5, E(Y ) = 3, (X) = 2, (Y ) = 1, xy = 0;8. Найдите E(XY ).

65

6.19. Случайные величины X и Y независимы, E(X) = 1, E(Y ) = 2,

D(X) = 3, D(Y ) = 4. Найдите D(XY ).

6.20. Вероятность повышения цены акции за один рабочий день на

2% равна 0;3, вероятность повышения на 0;1% равна 0;5, а вероятность понижения на 3% равна 0;2. Найдите математическое ожидание изменения цены акции за 100 рабочих дней, считая, что начальная цена акции составляет 1000 рублей, а относительные изменения цены за различные рабочие дни независимые случайные величины.

6.21. У фирмы есть возможность приобрести акции двух предприятий на общую сумму 534 ден. ед. По оценкам экспертов, предприятия работают независимо, причем одно из них сулит в течение года доходность 12%

с риском 0;05, тогда как другое доходность 14% с риском 0;08 на единицу капитала. Как надо распределить средства, чтобы риск вложения был минимален?

Ответы

6.14.68. 6.15. 75; 2875 0;37. 6.16. 19;2. 6.18. 13;4. 6.19. 28.

6.20.51;3 руб. 6.21. 384 ден. ед. и 150 ден. ед.

Дополнительные задачи

6.22.У дежурного имеются 5 разных ключей от разных комнат. Вынув наудачу ключ, он пробует открыть дверь одной из комнат. Найдите среднее число попыток открыть дверь.

6.23.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле для первого стрелка 0;4, для второго 0;8. Первый стрелок делает 2 выстрела, второй стрелок один выстрел. Случайная величина X число попаданий в мишень при всех трех выстрелах. Найдите математическое ожидание случайной величины X.

6.24.Пусть X, Y , Z независимые одинаково распределенные слу-

чайные величины, U = XY , V = Y Z. Найдите uv, если E(X) = 2;

D(X) = 2.

6.25. Закон распределения дискретной случайной величины задан следующим рядом.

66

	X	1	0	1
	P	0;2	0;3	0;5

Найдите коэффициент корреляции случайных величин X и X3.

6.26. Пусть имеются две независимые операции, приносящие случайные доходы X и Y соответственно. Случайная величина X имеет следующий ряд распределения:

X 10 0 10 20 .

P0;1 0;15 0;5 0;25

Закон распределения случайной величины Y задается следующим рядом:

	Y	29	10	0	10	20	30	.
	P	0;05	0;1	0;2	0;3	0;25	0;1
Покажите, что риск операции Z, полученной по формуле: Z = 1X + 1Y ,
			2						2

меньше риска каждой из исходных операций.

6.27. Брокер, имея некоторую сумму денег, может приобрести на бирже три вида ценных бумаг Q1, Q2, Q3 со случайным доходом в условных единицах, который подчиняется законам распределения:

Q1

10

0

10

20

;

Q2

10

0

10

20

;

P

0;1

0;1

0;5

0;3

P

0;1

0;2

0;3

0;4

Q3

10

0

10

20

.

P

0;1

0;3

0;1

0;5

Какая из следующих стратегий обеспечит брокеру средний доход с наименьшим риском: 1) вложить все средства в бумаги Q1; 2) все в бумаги

Q2; 3) все в бумаги Q3; 4) вложить имеющиеся средства в каждую операцию поровну.

Ответы

6.22. 3. 6.23. 1;6. 6.24. 0;4. 6.25. 0;803. 6.27. Вложить в каждую

операцию поровну.

67

7Основные дискретные распределения

7.1 Биномиальное распределение

Случайная величина X имеет биномиальный закон распределения с параметрами (n; p), если она принимает значения 0; 1; : : : ; n

с вероятностями

P (X = k) = Ckpkqn k; k = 0; 1; : : : ; n; 0 < p < 1; q = 1		p:
n

Для биномиальной случайной величины X с параметрами (n; p):

E(X) = np; D(X) = npq:

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.

Пример. В налоговую инспекцию поступила информация, что в фирме \A” 20% списочного состава \мертвые души”. Проверяющий инспектор отбирает случайным образом 4 наряда на выполненные работы и ищет работников, на которых они выписаны. Если информация о числе \мертвых душ” верна, то какова вероятность того, что среди этих нарядов будет хотя бы один фиктивный?

B Пусть X количество фиктивных нарядов среди отобранных четырех. Случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 4, p = 0;2.

P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 C40 0;20 0;84 = 1 0;84 =

= 1 0;4096 = 0;5904: C

68

7.2 Распределение Пуассона

Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , если она принимает значения 0; 1; 2; : : : ; k; : : : (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

P (X = k) = k e ; > 0; k = 0; 1; : : : ; n; : : : :

k!

Для случайной величины X, распределенной по закону Пуассона с параметром :

E (X) = ; D (X) = :

Примерами случайных величин, имеющими распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за время t; число опечаток в большом тексте.

Пример. Число толчков, испытываемых автомобилем при движении по проселочной дороге, является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона. Измерения, проведенные на одной из дорог, показали, что среднее количество толчков в течение одного часа равно 30. Какова вероятность того, что за 5 мин движения по этой дороге не будет ни одного толчка?

B В качестве единицы времени будем рассматривать 5 минут. Среднее значение числа толчков, испытываемых автомобилем за 5 мин, равно 2;5, следовательно, = 2;5, и

P (X = 0) = 0 e = e 2;5 0;08: C 0!

7.3 Геометрическое распределение

Случайная величина X имеет геометрическое распределение с параметром p, если

P (X = k) = p(1 p)k 1; k = 1; 2; : : : :

Случайная величина, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний Бернулли до первого успеха.

69

Для случайной величины X, распределенной по геометрическом закону с параметром p :

1 1 p E (X) = p; D (X) = p2 :

Пример. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для данного стрелка равна 0;1. Требуется найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X числа выстрелов до первого попадания.

B Случайная величина X имеет геометрическое распределение с параметром p = 0;1.

	E(X) =	1	= 10;	D(X) =	1 0;1	= 90: C
		0;1			0;12

7.4 Задания

Задачи для практических занятий

7.1.Две игральные кости подбрасываются 100 раз. Пусть X число бросков, в которых выпали две шестерки. Найдите E(X) и D(X).

7.2.Две игральные кости бросаются до тех пор, пока сумма очков в последнем броске не окажется более 10. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бросков X.

7.3.По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0;515. Пусть X число мальчиков в семье из четырех детей. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7.4.На отрезке AB длиной 50 взята точка C так, что AC = 30,

CB = 20. Десять точек последовательно бросаются наудачу на отрезок AB. Пусть X случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок CB. Найдите математическое ожидание и дисперсию величины X.

7.5. Случайные величины X1, : : :, X245 независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами n = 5 и p = 37. Найдите математическое ожидание E (X1 + : : : + X245)2.

70