Лекции по вышмату за 1 курс

e, разложив функцию ex по формуле Маклоре-

44.3Применение формулы Тейлора к приближенным вычислениям

Если функцию можно представить формулой Тейлора

f (x) = f (a) +

f0(a)

(x

a) +

f00(a)

(x

a)2 + :::

1! (n

1)

2!

n

(n)

n

1

f

(c)

::: +

f (a)

(x a)

+

(x a)

;

(n 1) !

n!

то, отбросив последнее слагаемое (остаточный член), получим приближенное равенство

f0		(a)		(x a) + ::: +	f(n 1) (a)			(x a)n 1
f (x) f (a) +
		1!			(n		1) !

Таким образом, если нужно вычислить приближенное значение функции f (x) в точке x0, то мы получим

f (x0) f (a)+	f0 (a)		(x0 a)+	f00 (a)		(x0 a)2 +:::+	f(n 1) (a)				(x0 a)n 1
	1!			2!			(n		1) !

Если указано, сколько членов разложения следует взять, то погрешность вычислений нетрудно оценить, оценив модуль отброшенного остаточного члена. Иногда в приближенных вычислениях требуется выполнить вычисления с заданной точностью, т.е. указывается число, которого не должен превосходить модуль отброшенного члена; число слагаемых, которое следует взять в формуле Тейлора при этих вычислениях, определяется с учетом заранее заданной точности.

Пример 132 Вычислить p

на. Взять шесть членов разложения. Оценить погрешность вычислений.

Решение Разложение функции ex по формуле Маклорена имеет вид

x x2

x3

x4

x5

ec

ex = 1 +

+

+

+

+

+

x6

1!

2!

3!

4!

5!

6!

(c лежит между 0 и x).

Тогда, отбросив остаточный член и положив x = 1

2 , получим

p

1

1

1

1

1

1

1

1

1

e 1 +

+

+

+

+

2

2!

22

3!

23

4!

24

5!

25

Прежде чем подсчитать приближенное значение суммы слагаемых, стоящих справа, оценим погрешность.

1

ec

1

p3

1:8

jR6j =

e2

< 0:00001:

<

<

<

6!

26

6!26

6!26

6!26

Сделаннаяpоценка погрешности гарантирует нам, что в приближенном вычислении e пять знаков после запятой будут вычислены правильно.

Подсчитываемp

e = 1.0

0.5

0.125

151

0.020833
0.0026041
0.00026041	1.64869
1.64869751

	p5
Пример 133 Вычислить приближенное значение		33	, разложив 5			ïî
			px

степеням (x - 32). Вычисление выполнить с точностью до 0.0001.

p

Решение Разложим функцию y = 5 x по формуле Тейлора в окрестности точки x0 = 32.

					y = x			1		; y(32) = 25 51
								5							= 2;
	1					4					1				4			1
y0 =						x 5	; y0			(32) =				2( 5) 5		=				;
		5										5						5 24
y00 = 5						5				x 5	; y00			(32) =			52 429 ;
				1				4		9
y(n) (x) = (				1)n 1				4 9 14::: [5 (n 1) 1]												x	5n5 1
													5n

p

Итак, разложение функции y = 5 xв окрестности точки x0 = 32 будет иметь следующий вид:

p5

1

4

2

x = 2 +

(x 32)

(x 32)

+ :::

1! 5 24

2! 52 29

n

::: + ( 1)

n 1

4 9 14:::[5 (n 1) 1]

(x 32)

;

n! 5n c 5n5 1

(c лежит между 32 и x).	p5 33 = 2 +
Положим теперь в этом разложении x = 33. Тогда получим

1

4

+:::+( 1)

n 1

4 9 14:::[5 (n 1) 1]

; 32

<

c

<

33.Нужно подобрать

1! 5 24

2! 52 29

n! 5n c

5n5 1

такое наименьшее число слагаемых в правой части, чтобы отброшенный остаточный член был меньше 0.0001. При n = 2 имеем

R2

=

4

<

4

=

4

0:000156 > 0:0001:

j

j

2! 52

9

2! 52

9

2! 52

29

c5

(32)5

Следовательно, чтобы выполнить вычисления с заданной точностью, недостаточно взять два члена разложения, так как точность вычислений не гарантирована.

Возьмем n = 3. Получим
j	R3	j	=	4 9	<	4 9	14	=	4 9		<< 0:0001:
				14					2 3 53	214
				3! 53 c 5		3! 53 (32) 5

Очевидно, что три члена, взятые в разложении в силу сделанной оценки, гарантируют необходимую точность вычислений.

152

45Исследование функций с помощью первой производной

45.1 Признак постоянства функции

Теорема 51 Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке [a; b] и дифференцируема на ]a; b[. Для того, чтобы f (x) была постоянна на промежутке [a; b], необходимо и достаточно, чтобы для любого x 2]a; b[ выполнялось условие f0 (x) = 0.

Доказательство Достаточность . Пусть f0 (x) = 0 8 x 2]a; b[. Возьмем

любые две точки x1 и x2, принадлежащие промежутку [a; b]. По теореме Лагранжа, f (x2) f (x1) = f0 (c) (x2 x1), íî f0 (c) = 0, следовательно, f (x2) = f (x1), причем x1 и x2 любые две точки из промежутка [a; b], а это означает, что f (x) = const 8 x 2[a; b].

Необходимость. Пусть f_ (x) = const 8 x 2[a; b]. Значит, f0 (x) = c0 = 0.

45.2 Признаки возрастания и убывания функции

Теорема 52 Пусть f (x) непрерывна на промежутке [a; b] и дифференцируема на интервале ]a; b[. Для того, чтобы f (x) не убывала на этом промежутке, необходимо и достаточно, что бы при любом x 2]a; b[ выполнялось условие f0 (x) 0.

Доказательство Необходимость . Пусть f (x) не убывает на промежутке [a; b]. И пусть x 2]a; b[. Возьмем приращение x > 0 столь малое,

чтобы было (x + x) 2]a; b[.

Ясно, что x + x > 0, а так как f (x) не убывает, то очевидно, что

f (x + x) f (x) ) f (x + x) f (x) 0x

Устремим теперь x к нулю, тогда в силу определения производной получим f0 (x) 0 8 x 2]a; b[. Совершенно аналогично, если взять прира-

щение	x < 0	, тогда будет	f (x + x) f (x) )	f(x+ x) f(x)		0
					x
Перейдя к пределу при x ! 0, опять получим f0					(x) 0 8 x 2]a; b[.

Достаточность. Пусть для любого x из интервала ]a; b[ выполняется условие f0 (x) 0. Возьмем любые две точки x1 и x2 из этого интервала,

причем x1 < x2; тогда по теореме Лагранжа имеем f (x2) f (x1) = f0 (c) (x2 x1), à òàê êàê x1 x2 > 0, f0 (x) 0, òî ÿñíî, ÷òî f (x2) f (x1), à

это и означает, что f (x) возрастает на промежутке [a; b].

Теорема 53 Пусть f (x) непрерывна на промежутке [a; b] и дифференцируема на интервале ]a; b[. Для того, чтобы f (x) убывала на этом промежутке, необходимо и достаточно, что бы при любом x 2]a; b[ выполнялось условие f0 (x) 0.

Доказательство Теорема доказывается аналогично предыдущей.

На рис.2.7.1 даны геометрические пояснения к доказанным выше теоремам. На рис.2.7.1г изображен график функции y = const. Ясно, что это есть

прямая, параллельная оси 0x, значит касательная к графику этой функции

153

параллельно оси 0x, в любой точке, следовательно, tg = 0. На рис.2.7.1а

изображена строго возрастающая функция. Касательная к графику этой функции в любой точке образует острый угол с осью 0 x, следовательно, tg > 0. Заметим, что у строго возрастающей функции совершенно необязательно f0 (x) > 0; могут найтись точки, в которых будет f0 (x) = 0. Äåé-

ствительно, на рис. 1в изображен график строго возрастающей функции y = x3. Ясно, что в точке x0 = 0 y0 (x0) = 0. На рис.2.7.1б изображена не

убывающая, но не строго возрастающая функция. Очевидно, что на промежутке [ ; ] происходит остановка в возрастании. В каждой точке этого промежутка f0 (x) = 0.

45.3 Экстремумы функции

Определение 100 Говорят, что функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки x0, имеет в этой точке максимум, если 8 x 2

0

U (x0; ) (рис. 2.7.2), выполняется неравенство f (x0) > f (x). При этом пишут: max f (x) = f (x0).

Определение 101 Говорят, что функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки x0, имеет в этой точке минимум, если 8x 2

0

U (x0; ), выполняется неравенство f (x0) < f (x). При этом пишут: min f (x) = f (x0).

Максимум или минимум функции называется одним словом: экстремум. Заметим, что функция на некотором промежутке [a; b] может иметь

несколько максимумов или минимумов, причем, не обязательно максимальное значение является наибольшим, точно так же, как и минимальное наименьшим. Это видно из рис.2.7.3.

45.4 Необходимые условия экстремума

Теорема 54 Если функция f (x) дифференцируема в некоторой точке x0, принадлежащей интервалу ]x0 ; x0 + [ и имеет в этой точке экстремум, то обязательно f0 (x0) = 0.

Доказательство Пусть для определенности в точке x0 функция имеет

максимум. Тогда	f(x0+ x) f(x0)	< 0, åñëè x > 0 è	f(x0+ x) f(x0)	> 0,
	x		x

если x < 0. Устремим x к нулю, тогда получим с одной стороны

f+0 (x0) 0, íî f0 (x0) 0, а так как функция в точке x0 дифференцируема, то должно быть: f0 (x0) = f+0 (x0) = f0 (x0), а это возможно, только когда f+0 (x0) = f0 (x0) = 0, следовательно f0 (x0) = 0.

Из рис.2.7.3 ясно, что касательная к графику дифференцируемой функции в точке экстремуму параллельна оси 0 x. Заметим, что в рассмотренном выше случае точка x0 называется точкой гладкого экстремума.

Экстремум у функции может существовать и в точках, в которых функция не имеет производной или производная обращается в бесконечность, т.е. в точках, в которых функция недифференцируема. Тогда говорят, что в этих точках функция имеет острый экстремум.

Например, на рис.2.7.4 изображен график функции y = jxj. Ясно, что в точке x0 = 0 эта функция недифференцируемая, т.е. у нее в этой точке не

154

существует производная. Однако, очевидно, что в точке x0 функция имеет минимум (острый экстремум). На рис.2.7.5 изображена функция, у которой в точке x0 производная обращается в бесконечность (функция в этой точке также недифференцируемая); ясно, что в точке x0 функция имеет острый

максимум.

Åñëè f0 (x0) = 0, то точка x0 называется стационарной точкой. Оче-

видно, что в стационарной точке функция может иметь экстремум, причем

ясно, что в стационарной точке экстремума может и не быть.

Например, функция y = x3 в точке x0 = 0 имеет f0 (0) = 0, однако понятно, что в точке x0 = 0 функция экстремумов не имеет. Итак,

точки, в которых производная обращается в ноль, в бесконечность или не существует, могут оказаться точками экстремума. Эти точки называются

критическими или подозрительными на экстремум.

Точки, подозрительные на экстремум, подвергаются дополнительному исследованию с целью выяснения, имеется ли в них максимум или минимум.

Исследование критических точек с помощью первой производной

Теорема 55 Если функция f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0: ]x0 ; x0 + [ и производная f0 (x) обращается в нуль в

точке x0, то, если при прохождении через точку x0 производная меняет знак плюс на минус , то в точке x0 функция имеет максимум; если при прохождении через точку x0 производная меняет знак минус на плюс , то в точке x0 функция имеет минимум.

Доказательство Докажем первую половину теоремы. Допустим, что проходя через точку x0, производная f0 (x) меняет знак с плюса на минус,

причем f0 (x0) = 0. Будем рассматривать различные x 2]x0 ; x0 + [. Так как выполнены условия теоремы Лагранжа, то можно написать: f (x)

f (x0) = f0 (c) (x x0), причем, если x < x0, òî f0 (c) > 0, x x0 < 0, следовательно f (x) f (x0) < 0, åñëè x > x0, òî f0 (c) < 0, x x0 > 0,

следовательно, f (x) f (x0) < 0, а это и означает, что в точке x0 функция

имеет максимум (рис. 2.7.6).

Вторая половина теоремы доказывается аналогично.

Заметим, что теорема остается в силе, если в критических точках производная не существует или обращается в бесконечность, лишь бы только в самой критической точке функция имела конечное значение.

Отметим, кроме того, что при решении примеров полезно делать схему, которая позволяет свести воедино получаемые результаты и сделать соответствующие выводы, а именно: на оси 0x наносят критические точки, указывают интервалы возрастания и убывания функции, а также характер критических точек. Эта схема выглядит примерно так, как показано на рис.2.7.7.

Пример 134 Найти экстремумы функции y =	x
	1+x2	, интервалы возрас-

тания и убывания функции и сделать ее рисунок.

Решение Прежде всего заметим, что функция определена на всей числовой оси. Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого вы-

числим производную:

y0 =

1 (1+x2) x 2x

=

1+x2

2x2

1

x2

= 0

2 ; y0

(1+x2)

2

2

=

)

1 x2 = 0

(1+x2)

(1+x2)

155

Имеем две критические точки x1;2 = 1. Левее точки x1 = 1 y0 < 0, правее y0 > 0, значит в точке x1 = 1 функция имеет минимум. Ясно, что

в точке x2 = 1 функция имеет максимум. График функции изображен на рис.2.7.8.

Нетрудно вычислить ymin è ymax.		x			ymin =	1	1
						2 , ymax =	2 .
	Действительно,
Если учесть, что y (0) = 0 и lim				= 0, то легко нарисовать гра-
		1+x	2
x! 1

фик этой функции.

Пример 135 Из листа картона размерами 15х8 вырезать уголки, такие, чтобы после загибания краев получилась коробка наибольшего объема (рис.2.7.9).

Решение Ясно, что объем v = x : (15 2 x):(8 2 x); v0 = 12x2 92x + 120. Приравняв производную к нулю, получим квадратное уравнение

3x	2	23x + 30 = 0; его корни x1 = 6, x2 =	5	x1 = 6	5
			3 . Очевидно, что
					следует

исключить из рассмотрения. Ясно, что при прохождении через точку x2 = 3 производная меняет знак плюс на знак минус , значит, если вырезать

уголки с размерами				5	14	5
именно: max =	5		35	3		3 ,	то коробка будет иметь наибольший объем, а
							2450
	3		3		3	=	27 êóá.åä.

46Исследование функций с помощью второй производной

Теорема 56 Если в окрестности точки x0 функция f (x) непрерывна и дважды дифференцируема, причем в этой окрестности f00 (x) непрерывна,

а в точке x0 первая производная обращается в нуль, то если f00 (x0) < 0, в точке x0 функция имеет максимум, а если f00 (x0) > 0, в точке x0 функция

имеет минимум.

Доказательство Докажем первую половину теоремы. Напишем формулу Тейлора второго порядка для данной функции f (x):

f (x) = f (x0) + f0 (x0) (x x0) + f00 ( ) (x x0)2 ; 1! 2!

где точка лежит между x и x0. По условию теоремы, f0 (x0) = 0, значит

f (x) f (x0) = f00 ( ) (x x0)2 : 2!

Допустим, что f00 (x0) < 0, тогда по теореме о стабилизации знака непрерывной функции существует окрестность точки x0 такая, что знак второй производной будет тот же, что и в точке x0, т.е. в точке вторая производная будет иметь тот же знак, что и в точке x0, т.е. f00 ( ) < 0. А тогда

0

окажется, что для всех x 2 U (x0; ): f (x) f (x0) < 0, т.е. в точке x0 функция имеет максимум (рис.2.8.1).

156

46.1 Выпуклость и вогнутость кривых

Определение 102 Будем говорить, что непрерывная кривая на промежутке [a; b], выпукла вверх, или просто выпукла, если график распо-

лагается ниже касательной к графику функции, проведенной через любую точку графика (рис. 2а).

Определение 103 Будем говорить, что непрерывная кривая на промежутке [a; b], выпукла вниз, или вогнута , если ее график располагает-

ся выше касательной к графику функции, проведенной через любую точку графика (рис.2.8.2б).

Из рис. 2.8.2 очевидно, что если кривая выпукла, то y < dy, т.е. f (x + x) f (x) f0 (x) x < 0, если кривая вогнута, то y > dy, т.е. f (x + x) f (x) f0 (x) x > 0.

Теорема 57 Если функция f (x) дважды дифференцируема на промежутке [a; b], причем f00 (x) < 0 на этом промежутке, то на промежутке

[a; b], график функции выпуклый, а если f00 (x) > 0, то на промежутке [a; b], график функции вогнутый.

Доказательство Пусть f00 (x) < 0 на промежутке [a; b].

Возьмем точки x 2 [a ; b]

è (x + x)

2 [a ; b], тогда имеем разложение

Тейлора:

0(x)

f00( )

f (x + x) = f (x) +

f

x +

( x)

2, где точка

лежит меж-

1!

2!

ду x и x+ x. Следовательно, f (x + x)

f (x)

f0

(x)

x =

f00( )

( x)2

,

ò.å.

2!

f df < 0, а это и означает, что кривая выпуклая (рис.

2.8.3).

Вторая половина теоремы доказывается аналогично.

46.2 Точки перегиба

Точка на графике функции f (x), отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба. Из определения следует, что при

прохождении через точку перегиба вторая производная меняет знак. Если x0 абсцисса точки перегиба, то f00 (x0) = 0, èëè f00 (x0) = 1, èëè f00 (x0)

не существует.

46.3 Наибольшее и наименьшее значение функции

bx20x1aax1bx20x1aax1Допустим, что некоторая функция f (x) непрерывна на промежутке [a; b], тогда на этом промежутке она имеет наибольшее и

наименьшее значения. Чтобы их найти, нужно отыскать все максимумы и минимумы функции, вычислить ее значения на концах промежутка, а затем сравнить их между собой и выбрать наименьшее и наибольшее. На рис.2.8.4 функция f (x) имеет наибольшее значение в точке x = a, которое больше ymax = f (x2), а наименьшим значением является f (b), которое меньше

минимального значения функции ymin = f (x1).

157

46.4 Четность и нечетность функции

При исследовании функции всегда нелишне проверить, является ли данная функция четной или нечетной, так как в таком случае достаточно исследовать функцию только для x 0, а затем отобразить ее для отрицательных

x симметрично относительно оси 0 y или симметрично относительно начала координат.

Определение 104 Функция f (x) называется четной, если f ( x) = f (x) для любой точки x из области определения функции.

Например, функция y = cos x четная функция; действительно, cos ( x) = cos x. Ясно, что график четной функции симметричен относительно оси 0 y.

Определение 105 Функция f (x) называется нечетной, если f ( x) =

f (x).

Например, функция y = x3 нечетная функция, так как y ( x) = x3 =x3, ò.å. y ( x) = y (x).

Ясно, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

46.5 Асимптоты кривых

Определение 106 Прямая линия называется асимптотой графика функции y = f (x), если расстояние между текущей точкой графика и этой

прямой стремится к нулю по мере удаления точки от начала координат (рис. 2.8.5).

Итак, предположим, что график функции имеет наклонную асимптоту

y = kx + b (k 6= 1), тогда очевидно, что lim jf (x) yacj = 0, ò.å.

x! 1

x! 1

) x! 1

x

x

lim [f (x)

kx

b] = 0

lim x

f (x)

k

b

= 0:

Вследствие того, что xb ! 0, при x ! 1, то ясно, что последнее предельное равенство может иметь место, лишь когда выражение в квадратной

скобке стремится к нулю, а тогда имеем k = lim f(x)

x! 1 x .

Если k найдено, то нетрудно найти и b: b = lim [f (x) kx].

x! 1

В частности, если окажется, что k = 0, то мы будем иметь частный слу- чай наклонной асимптоты горизонтальную асимптоту. С другой стороны,

прямая x = a называется вертикальной асимптотой, если lim f (x) = 1.

x!a

47 Общая схема исследования функции

Принимая во внимание все вышесказанное, можем привести такой план исследования дифференцируемой функции.

1.Определить область существования функции.

2.Выяснить, является данная функция четной или нечетной.

158

3.Найти точки, подозрительные на экстремум и выяснить характер экстремумов с помощью первой или второй производной, а также вычислить ymin è ymax.

4.Определить интервалы возрастания и убывания функции.

5.Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции.

6.Найти точки перегиба.

7.Найти асимптоты графика функции.

8.Вычислить значение функции в некоторых контрольных точках (например, значение функции в начале координат), точки пересечения с координатными осями.

9.Нарисовать график функции.

Пример 136 Исследовать функцию y = x2 1
						jxj .	S
2) Функция четная, так как		(	x		1	= x x 1 .
Решение 1) Область			x2)			2	] 1; 0[ ]0; +1[
	существования функции							.
						j j
		j j

((

3) y =	x2 1 ; x > 0			x2+12 ; x > 0
	x 2		)	y0 = x 2
	1 xx	; x < 0			x +1	; x < 0
					x2

Функция имеет критическую точку x1 = 0, в которой производная не существует, но в этой точке функция уходит на 1, следовательно, функция

не имеет ни максимумов, ни минимумов.								x 2]0; +1[
4) Функция	2				x 2] 1; 0[
	убывает, когда					1	и возрастает, если	.
	x23 ; x < 0
5,6) y00 =			x3	; x > 0 ;	y00 (0) =		,

причем (рис. 2.9.1) кривая везде выпукла, а точка x1 = 0 не является точкой перегиба, так как мы установили ранее, что в этой точке функция не определена.

7) Очевидно, что x

= 0 является вертикальной асимптотой. Действи-

тельно, lim y =

x

lim

x2 1

=

; lim y =

x

lim

1 x2

=

. Найдем

x

!

0+"

!

0+" x

1 x

0 "

0 "

x

1

!

!

наклонные асимптоты y = kx + b, причем отдельно рассмотрим случай,

когда x

!

+

1

è x

.

2

x)

x

1

f(! 1

à) k

1

=

lim

=

lim

2

= 1

x!+1 x

x!+1

x

x2 1

b

= lim

[f (x)

k

x] =

lim

x

= 0

1

x!+1

1

x!+1

x

Итак, y = x наклонная

асимптота при

x

! +1

.

2

á) k

2

=

lim

f(x)

=

lim

1 2x

=

1

x! 1 x

x! 1

x

1 x2

b

= lim

[f (x)

k

x] =

lim

+ x

= 0

2

x! 1

1

x! 1

x

Таким образом, y = x является наклонной асимптотой при x ! 1.

8)Вычислим те значения x, при которых y = 0; ясно, что это x = 1.

9)Выполним, наконец, график функции (рис. 2.9.1)

159

48 Дифференциал дуги плоской кривой

Пусть на плоскости задана некоторая кривая l. Рассмотрим участок AB этой кривой (рис.2.10.1), разобьем его точками M 0=A, M 1, , M 2, . . . , , , M n-1, , M n=B, следующими друг за другом, произвольным образом на n частей. Соединим последовательно эти точки прямолинейными отрезками. Получим ломаную M 0 M 1. . . M n, вписанную в кривую AB (рис.2.10.1). Обозначим длину этой ломаной линии Sn. Обозначим наибольшую из

длин отрезков этой ломаной.

Определение 107 Если существует конечный предел S = lim Sn, íå çà-

x!1

A!0

висящий от выбора точек Mk, то число S называется длиной кривой AB, а сама кривая AB называется спрямляемой.

Пусть кривая l задана параметрическими уравнениями x = ' (t), y =

(t), t 2 [ ; ] òàê, ÷òî A[' ( ) ;	( )], B[' ( ) ;	( ) (ðèñ. 2.10.2)
Пусть функция ' (t) и (t)	непрерывны на отрезке [ ; ] и имеют на
этом отрезке непрерывные производные '0 (t),		0 (t), одновременно не обра-

щающиеся в нуль. При этих условиях участок AB кривой l спрямляем, и предел отношения длины любой дуги на участке AB к длине хорды, стягивающей эту дугу, равен единице при стремлении длины дуги к нулю.

Возьмем на участке AB точку M (x , y), которой соответствует значение t параметра. Длина S дуги AM является функцией параметра t: S = S (t).

Найдем дифференциал этой функции. Дадим параметру t приращении t (для определенности считаем, что t >0), тогда переменные x и y получат

соответственно приращения x и y, длина дуги ние S, а точка M перейдет в точку N.

Длина хорды MN связана с x и y равенством

Разделим обе части этого равенства на t: MN

t

S (t) получит прираще-

q

MN = ( x)2 + ( y)2.

=	r	t		+	t		.
		x	2		y	2

Умножим и разделим левую часть этого равенства на длину S дуги

MN:

MN

= r

x

2

+

y

2

S

MN

t

t

t

. Перейдем в этом равенстве к пре-

äåëó ïðè

t

0. Òàê êàê ïðè ýòîì

N M, то длина дуги

0

,

!

MN

!

сказанного выше

MN

â ñèëó

!

MN ! 1. Таким образом, при t ! 0 получаем

2

dS

dx

2

+

dy

, откуда и следует равенство dS = q(dx)

2

+ (dy)

2,

dt =

r dt

dt

которое представляет собой искомое выражение для дифференциала дуги плоской кривой.

Как видно из последнего равенства, dS длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами dx и dy, т.е. , dS длина отрезка MN касательной к кривой в точке с абсциссой x, который соответствует интервалу [x, x+ x].

Итак, в случае параметрического задания плоской кривой дифференци-

q

ал длины дуги есть dS = (x0t)2 + (yt0)2 dt.

Если роль параметра t играет переменная x, т.е. участок AB кривой l задается уравнением y = f (x), x 2 [a ; b], где функция f (x) непрерывна

вместе со своей производной на отрезке [a ; b], то

160