Лекции по вышмату за 1 курс
.pdfq
Пример 188 Вычислить интеграл R 3 xx+11 dx:
Решение Сделаем замену переменной
|
|
x + 1 |
t3 + 1 |
|
6t2dt |
||||||||
|
|
|
|
= t3 ) x = |
|
|
) dx = |
|
: |
||||
Тогда |
|
x 1 |
t3 1 |
(t3 1)2 |
|||||||||
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Z |
|
|
|
dx = 6 Z |
t (t3 1)2 |
= 6 Z |
(t3 1)2 : |
||||||
|
x 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
x + 1 |
|
t2dt |
|
|
t3dt |
Подынтегральная функция представляет из себя правильную дробь и, потому, может быть представлена в виде суммы простейших дробей. Но зна- чительно проще проинтегрировать последний интеграл по частям, положив
u = t; dv = |
|
|
t2dt |
) du = dt; v = |
1 |
: |
|||||||
(t3 1)2 |
3 (t3 1) |
||||||||||||
Получим R |
t3dt |
= |
|
t |
+ |
1 |
R |
dt |
: |
|
|
||
(t3 1)2 |
3(t3 1) |
|
3 |
t3 1 |
|
|
Дробь, стоящую в последнем интеграле, разложим на простейшие:
|
|
|
t3 |
1 1 = t |
A 1 + t2 |
+ t + 1 = |
|
|
|
|
t3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bt + C |
A t2 + t + 1 + (Bt + C) (t |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда получим A = 31 ; B = 31 ; C = 32 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Z |
|
dt |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
t + 2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
Z |
|
t + 2 |
1 |
1 |
Z |
z + 3 |
|||||||||
|
t3 1 |
= 3 ln jt 1j |
3 |
Z t2 + t + 1dt = |
3 ln jt 1j |
3 |
t + 21 2 + 43 dt = |
3 ln jt 1j |
3 |
z2 + 43 dz |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
3 |
|
1 |
2 |
2z |
|
1 |
|
1 |
|
t2 |
+ t + 1 |
1 |
|
2t + 1 |
||||||||||
= |
|
ln jt 1j |
|
ln |
z2 + |
|
|
|
|
p |
|
arctg p |
|
= |
|
|
ln jt 1j |
|
|
ln |
p |
|
arctg |
p |
|
|
|||
3 |
6 |
4 |
2 |
3 |
6 |
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
3 |
3 |
ãäå z = t + 12 : Окончательно,
Z |
r3 |
|
|
|
|
|
|
dx = 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
ln jt 1j |
|
ln |
t2 + t + 1 |
|
p |
|
arctg |
p |
|
|
|
+ C = |
||||||
|
x |
|
|
1 |
3 (t3 |
|
|
1) |
3 |
3 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2t + 1 |
1 |
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2t + 1 |
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
ln jt 1j + |
|
ln |
t2 + t + 1 + p |
|
arctg |
|
|
p |
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
t3 1 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q
ãäå t = 3 xx+11 :
70 Интегрирование тригонометрических функций
ция, можно |
R |
x |
1. Интеграл вида |
|
R (sin x; cos x) dx, где R (u; v) - рациональная функ- |
привести к интегралу от рациональной дроби универсаль-
ной тригонометрической подстановкой t = tg 2 . Используя формулы тригонометрии, получим
sin x = |
2 tg x2 |
= |
2t |
; |
cos x = |
1 tg2 x2 |
= |
1 t2 |
: |
|
1 + tg2 x |
1 + t2 |
1 + tg2 x |
1 + t2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
211
Кроме того x = 2 arctg t, откуда dx = 1+2dtt2 :
R
Применение этой подстановки доказывает, что каждый интеграл сводится к интегралу от рациональной функции и, следовательно, первообразная функции R (sin x; cos x), стоящей под интегралом, выража-
ется через элементарные функции.
2.Универсальная тригонометрическая подстановка очень часто приводит к дроби, интегрирование которой представляет собой весьма трудоемкий процесс. Поэтому эта подстановка на практике используется
где R (u; v) - рациональная функция двух |
R |
очень редко. Чаще при вычислении интеграла вида |
R (sin x; cos x) dx, |
переменных, применяются
следующие подстановки:
Если функция R (u; v) нечетна относительно первой переменной, т.е. R ( u; v) = R (u; v), то применяется подстановка cos x = t:
Если функция R (u; v) нечетна относительно второй переменной, т.е. R (u; v) = R (u; v), то применяется подстановка sin x = t:
Если функция R (u; v) четна относительно обеих переменных, т.е. R ( u; v) = R (u; v), то применяется подстановка tg x = t:
приводятся к |
|
R |
sin ax sin bxdx, |
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
sin ax cos bx dx |
||||||||||
3. Интегралы вида |
|
|
cos ax cos bx dx è |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
табличным с помощью формул преобразования произ- |
||||||||||||||||||||
ведения тригонометрических функций в сумму. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. Рассмотрим интегралы вида |
sinn x cosm x dx, где n и m - целые неот- |
||||||||||||||||||||||
рицательные числа. Если n -R |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
становку cos x = |
|
|
|
|
|
нечетное число, то можно сделать под- |
|||||||||||||||||
t |
. Тогда |
sin x |
|
|
|
|
t , sin xdx = |
|
dt и данный |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 n 1 |
|
m 1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m, òî |
R |
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
интеграл приводится к виду |
|
2 |
|
tmdt. Если n - число чет- |
|||||||||||||||||||
ное, но нечетным будет |
|
|
|
аналогично можно сделать подстановку |
|||||||||||||||||||
Если оба показателя n и m четные, то |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
sin x = t и привести интеграл к виду |
tn |
1 t2 |
2 |
dt: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применяют формулы понижения |
||||||||||
степени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
cos x = |
sin 2x |
; sin2x = |
|
1 cos 2x |
|
; cos2 x = |
|
1 + cos 2x |
: |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5.Некоторые интегралы от рациональных и иррациональных функций легко вычисляются с помощью тригонометрических подстановок, в частности
|
интеграл вида |
|
|
dx |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
новки x = a tg t;R |
(x2+a2)n |
можно вычислить с помощью подста- |
|||||||||
интеграл вида |
|
R x; p |
|
|
|
dx можно вычислить с помощью |
|||||
|
a2 |
x2 |
|||||||||
|
|
x R |
|
|
|
|
|
|
|||
|
подстановки |
|
= a sin t; |
|
|
||||||
|
|
Ra x; p |
|
|
|||||||
интеграл вида |
|
x2 a2 |
dx можно вычислить с помощью |
||||||||
|
подстановки |
x R |
sin t |
; |
|
|
|||||
|
|
= |
R x; p |
|
|
|
|
||||
интеграл вида |
|
|
|
dx можно вычислить с помощью |
|||||||
|
x2 |
+ a2 |
|||||||||
|
|
x R |
|
|
|
|
|
||||
|
подстановки |
|
= a tg t: |
|
|
212
Пример 189 Вычислить интеграл R |
|
|
|
|
|
dx |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение Применим универсальную тригонометрическую подстановку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = tg |
|
|
) cos x = |
t |
; dx = |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
+ t2 |
1 |
|
+ t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
|
arctg |
|
p |
|
|
t + C = 2 |
|
|
|
arctg |
p |
|
tg |
x |
+C: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
2 cos x |
|
|
Z |
|
(1 + t2) |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
1 + 3t |
2 |
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 190 Вычислить интеграл R |
|
|
|
sin3 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 cos2 x+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение Функция, стоящая под интегралом, нечетна относительно си- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
íóñà: |
|
( sin x)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin x)3 |
|
|
|
|
поэтому сделаем подстановку |
|
cos x = t: |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 cos2 x+5 = 2 cos2 x+5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
sin3 xdx |
|
= |
|
Z |
|
1 |
|
|
|
|
t2 |
|
dt = |
Z |
|
|
|
t2 1 |
dt = |
Z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
7/2 |
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 cos2 x + 5 |
|
2t2 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2t2 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t2 + 5 |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
2p |
|
arctg |
|
|
p |
|
|
+ C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
arctg |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
10 |
5 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 191 Вычислить интеграл R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin2 x 2 sin x cos x+5 cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение Подынтегральная функция четна относительно обеих пере- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
менных, поэтому применим подстановку |
t |
= tg x. Для удобства сначала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
преобразуем подынтегральную функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin2 x |
|
|
2 sin x cos x + 5 cos2 x |
|
cos2 x |
tg2 x 2 tg x + 5 |
t2 2t + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
dt |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
tg x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
+ C = |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(t 1)2 + 4 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример 192 Вычислить интеграл R sin 3x cos 2xdx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение Преобразуем произведение, стоящее под знаком интеграла в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
sin 3x cos 2xdx = |
|
|
|
|
(sin 5x + sin x) dx = |
|
|
cos 5x |
|
|
cos x+C = |
|
|
cos 5x |
|
cos x+C: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 5 |
2 |
10 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 193 Вычислить интеграл |
|
sin2 x cos3 xdx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нечетной степени, то сделаем замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение Так как cos x стоит в R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t = sin x: Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Z |
sin2 x cos3 xdx = Z |
t2 1 t2 dt = Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t2 t4 dt = |
t |
|
t |
+C = |
sin x |
|
sin x |
+C: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
5 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
213
Пример 194 Вычислить интеграл |
|
|
sin4 xdx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение Здесь sin x стоит в |
|
четной степени, поэтому воспользуемся |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулами понижения степени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin 2x + |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
sin4 xdx = |
1 |
Z |
(1 cos 2x)2 dx = |
1 |
|
|
|
|
|
1 2 cos 2x + cos2 |
2x |
|
|
dx = |
1 |
1 |
Z |
(1 + cos 4x) dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 Z |
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
sin 2x |
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
4 |
16 |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 195 Вычислить интеграл |
|
|
sin2 x cos4 xdx: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
воспользуемся формулами понижения |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение В этом интеграле снова R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Z |
|
sin2 x cos4 xdx = Z |
sin2 |
2x |
|
cos2 xdx = |
1 |
Z |
|
sin2 2x (1 + cos 2x) dx = |
1 |
|
|
Z |
sin2 |
2x + sin2 2x cos 2x dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
sin 4x |
|
|
sin3 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
(1 cos 4x) dx + |
|
|
|
|
sin2 2xd sin 2x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
16 |
16 |
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 196 Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin2 x cos4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подынтегральную функцию, представив числи- |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение Преобразуем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
тель дроби, как тригонометрическую единицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x + cos2 x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
Z |
|
|
|
sin2 x cos4 x |
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Z |
1 + tg2 x |
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin2 x cos4 x |
|
|
|
|
|
cos4 x |
sin2 x cos2 x |
cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x + cos2 x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
+ |
Z |
|
|
|
sin2 x cos2 x |
|
|
= |
|
Z |
1 + tg2 x |
|
d tg x + |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tg3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg3 x Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= tg x + |
|
|
|
|
|
|
+ tg x ctg x + C = 2 tg x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg x + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 197 Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числитель дроби тоже представим в виде |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение В этом интеграле |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрической единицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x + cos2 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
cos3 x |
|
|
|
|
|
|
= |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
dx + Z |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 x |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Первый из получившихся интегралов возьмем по частям, положив |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
u = sin x; dv = |
|
|
dx ) du = cos xdx; v = Z |
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos3 x |
cos3 x |
2 cos2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
sin x |
1 |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 x |
2 cos2 x |
2 |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Z |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
sin x |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
x |
|
+ C: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos3 x |
|
= 2 cos2 x + |
|
2 Z cos x |
= 2 cos2 x |
2 ln tg |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
214
R p
Пример 198 Вычислить интеграл |
1 x2dx: |
Решение Воспользуемся тригонометрической подстановкой x = sin t. Тогда
Z p1 x2dx = Z cos2 tdt = 2 |
Z (1 + cos 2t) dt = 2 |
+ |
4 +C = |
2 |
|
+4 sin (2 arcsin x)+C: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
sin 2t |
|
arcsin x |
1 |
|
||||
Пример 199 Вычислить интеграл R |
|
dx |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(x2+9)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Z |
|
Решение Воспользуемся подстановкой x = 3 tg t. Тогда |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(x2 + 9)2 = 3 Z 81 1 + tg2 t cos2 t |
= 27 |
Z |
cos2 tdt = |
|
|
|
: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
|
dt |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 arctg |
|
+ C |
||
|
1 |
|
|
t |
sin 2t |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
1 |
|
x |
||||||||||||||
= |
|
|
(1 + cos 2t) dt = |
|
+ |
|
|
+ C = |
|
arctg |
|
|
|
+ |
|
sin |
|
|||||||||||||
54 |
54 |
|
108 |
54 |
3 |
108 |
3 |
215
Часть IX
ОПРЕДЕЛ ННЫЙ ИНТЕГРАЛ
71 Определ¼нный интеграл. Его свойства
71.1 Определение определ¼нного интеграла
Рассмотрим некоторую функцию y = f(x), определ¼нную на промежутке [a; b](a < b), рис 1.
Выполним 5 операций.
1. Разобь¼м промежуток [a; b] точками x0 = a; x1; x2; :::; xk; xk+1; :::; xn = b
произвольным образом на n частей. Обозначим xk = xk+1 xk, à наибольшую из длин этих частичных участков обозначим через , т.е.
= supf xkg; будем называть рангом дробления.
2.На каждом частичном участке [xk; xk+1] возьм¼м произвольную точкуk и вычислим в ней значение функции f( k).
3.Составим произведение f( k) xk
4.Составим сумму
n 1
X
n = f( k) xk
k=0
Эта сумма называется интегральной суммой или суммой Римана.
5.Измельчая дробление (за сч¼т увеличения числа точек дробления n) и устремляя при этом ранг дробления к нулю ( ! 0) т.е. (увеличивая
число точек дробления, мы следим за тем, чтобы уменьшалась и стремилась к нулю длина всех частичных участков xk), будем находить предел последовательности интегральных сумм
J = lim n n ! 1
! 0
Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбо- ра точек k, то он называется определ¼нным интегралом от функции f(x) по промежутку [a; b] и обозначается так:
Z b
J = f(x)dx
a
Итак, мы привели ни что иное, как разв¼рнутое определение определ¼нного интеграла от функции f(x) по промежутку [a; b]. Принимая во вни-
мание сказанное выше, можем дать определение определ¼нного интеграла более компактно так:
216
Z |
b |
def |
lim |
n 1 |
|
f(x)dx = |
X f( k) xk(a < b); |
an ! 1 k=0
! 0
где a-нижний предел интегрирования, b- верхний предел. В этом слу-
чае, когда для функции f(x) существует определ¼нный интеграл Rab f(x)dx, функция f(x) называется интегрируемой на промежутке [a; b]. Заметим,
что в привед¼нном определении предполагается, что a < b. Понятие определ¼нного интеграла можно обобщить и на случай, когда b < a или b = a.
Действительно, будем считать по определению, что
åñëè b < a, òî Rab f(x)dx = Rba f(x)dx, à åñëè a = b, òî Rab f(x)dx = 0
71.2 Теорема существования определ¼нного интеграла
Возникает вопрос: всякая ли функция f(x) интегрируема на данном промежутке [a; b]. Предварительно дадим определение кусочно-непрерывной функции.
Определение 129 Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на данном промежутке [a; b], если на этом промежутке она ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва.
Геометрически кусочно-непрерывную функцию можно изобразить линией, состоящей из конечного числа непрерывных участков. Очевидно, что функция, непрерывная на промежутке [a; b], является частным случаем
кусочно-непрерывной функции.
Привед¼м теперь без доказательства теорему существования определ¼нного интеграла.
Теорема 70 (достаточное условие интегрируемости) Если функция f(x)
кусочно-непрерывна на промежутке [a; b], то на этом промежутке она интегрируема, т.е. существует Rab f(x)dx.
Заметим, что класс функций, указанных в теореме, практически исчерпывает все функции, встречающиеся в приложениях. В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваются только такие функции.
71.3 Геометрический смысл определ¼нного интеграла
Допустим, что функция f(x) непрерывна и положительна на промежутке [a; b]. Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD (рис 1). Интегральная
сумма |
P |
n 1 |
|
да¼т нам сумму площадей прямоугольников |
||
ñ |
|
xk и высотами f( k). Е¼ можно принять за приближ¼нное |
||||
|
|
n = |
k=0 f( k) xk |
|
|
|
|
основаниями |
|
|
|
|
|
значение площади криволинейной трапеции ABCD, т.е. |
||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
SABCD |
X |
|
|
|
|
|
f( k) xk; |
k=0
прич¼м, это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при n ! +1 и ! 0 мы получим
217
Z b
SABCD = f(x)dx
a
В этом и заключается геометрический смысл определ¼нного интеграла.
71.4 Свойства определ¼нного интеграла
Свойство 1 Raa f(x)dx = 0 (по определению)
Свойство 2 Rab f(x)dx = Rba f(x)dx (по определению), т.е. при перемене местами пределов интегрирования определ¼нный интеграл меняет знак
на противоположный.
Свойство 3 (линейность интеграла)
Z b Z b Z b
[c1f1(x) + c2f2(x)] dx = c1 f1(x)dx + c2 f2(x)dx
a a a
Доказательство Для доказательства достаточно составить интегральную сумму для функции y = c1f1(x)+c2f2(x) и воспользоваться свойствами пределов функции. Действительно,
|
! 1 |
n 1 |
|
! 1 |
n 1 |
|
! 1 |
|
|
X |
|
X |
|
||||
|
lim |
|
[c1f1( k) + c2f2( 2)] xk = c1 lim |
|
f1( k) xk+c2 lim |
|||
n |
|
k=0 |
n |
|
k=0 |
n |
|
|
! 0 |
! 0 |
! 0 |
||||||
|
|
Следствие 9 Отметим, что из доказанного свойства следуют такие
очевидные факты
à) Rab cf(x)dx = c Rab f(x)dx,
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определ¼нного
интеграла
á) Rab [f1(x) + f2(x)] = Rab f1(x)dx + Rab f2(x)dx;
т.е. интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций по данному промежутку [a; b].
Свойство 4 Каковы бы ни были числа
Z b Z c Z b
a; b; c; f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx;
a a c
лишь бы только функция f(x) была бы интегрируема на каждом из промежутков [a; b]; [a; c] и [c; b] (рис 2).
Доказательство Для доказательства этого свойства достаточно составить интегральные суммы для каждого из тр¼х интегралов, включив точку c в число точек деления, а затем рассмотреть пределы получившихся инте-
гральных сумм при условии, что n ! 1; ! 0.
n 1 |
b |
k=0 f2( k) xk == c1 Za |
|
X |
|
218
Свойство 5 (Теорема. Оценка определ¼нного интеграла) Теорема 71
Если f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то имеет место такая оценка определ¼нного интеграла:
Z b
m(b a) f(x)dx M(b a);
a
где m-наименьшее, а M- наибольшее значения функции f(x) на промежутке [a; b].
Доказательство Очевидно, что функция f(x) имеет на промежутке [a; b] наименьшее (m) и наибольшее (M) значения, т.к. f(x) непрерывна на промежутке [a; b], т.е.
8x 2 [a; b] : m f(x) M:
Составим интегральную сумму для |
|
n 1 |
. ßñíî, |
||||
÷òî |
|
|
|
|
f(x) : n = |
Pk=0 f( k) xk |
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
X |
|
X |
|
|
X |
M xk: |
|
|
m xk |
f( k) xk |
|
||||
k=0 |
|
k=0 |
|
|
k=0 |
|
|
знак суммы, |
P |
n 1 |
|
и, вынося постоянный множитель за |
|||
k=0 xk = b a |
|
|
|
|
|||
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
получим:
n 1
X
m(b a) f( k) xk M(b a)
k=0
Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе получим
Z b
m(b a) f(x)dx M(b a):
a
Свойство 6 (Теорема о среднем) Теорема 72 Если f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то между точками a и b найд¼тся хотя бы одна точкатакая, что будет иметь место равенство
Z b
f(x)dx = f( ) (b a)
a
Доказательство Допустим, что a < b. В силу свойства 4 имеет место оценка
Z b
m(b a) f(x)dx M(b a):
a
Функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b], следовательно, принимая значения, равные m и M, она принимает и всякое промежуточное зна- чение, т.е. найд¼тся точка (a < < b) такая, что функция f(x) примет в
этой точке значение равное 1 R b f(x)dx, т.е. будет
b a a
219
yx0abmM yx0abmM f( ) = b a Za |
b |
f(x)dx => Za |
b |
|
|
f(x)dx = f( ) (b a): |
|||
1 |
|
|
|
|
Заметим, что значения функции f(x) в точке : f( ) называется "средним откуда и название этого свойства.
Замечание 33 Поясним геометрический смысл теоремы о среднем (рис 3). Если f(x) > 0 на [a; b], то, принимая во внимание геометрический
смысл определ¼нного интеграла, в силу теоремы о среднем мы можем утверждать, что площадь криволинейной трапеции равновелика площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной f( ).
Привед¼м без доказательства ещ¼ несколько интересных свойств опре-
дел¼нного интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Свойство 7 а) Если a < b и 8x 2 [a; b] : f(x) 0, то |
ab f(x)dx 0; |
|
||||||||||
á) Åñëè a < b è |
|
x |
|
[a; b] : f(x) |
|
0, òî |
ab f(x)dx |
R 0; |
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
|
|
|
R |
|
R |
b |
f(x)dx |
|
Свойство 8 Если a |
< b è 8x 2 [a; b] : |
f(x) '(x), òî |
a |
|||||||||
ab '(x)dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 9 Если a < b, то Rab f(x)dx Rab jf(x)j dx; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 10 Изменение значения f(x) в одной или в любом конечном
числе точек из промежутка интегрирования не влияет на интегрируемость функции и не меняет значения определ¼нного интеграла.
72 Вычисление определ¼нного интеграла
72.1Теорема об интеграле с переменным верхним пределом (Теорема Барроу)
Теорема 73 Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то ин-
теграл с переменным верхним пределом Rax f(t)dt имеет производную, равную значению подынтегральной функции при верхнем пределе, т.е.
0
Z x
f(t)dt = f(x)
ax
Доказательство Допустим, что f(x) > 0, тогда, в силу геометрическо-
го смысла определ¼нного интеграла, очевидно, что функция
(x) = Rax f(t)dt да¼т площадь криволинейной трапеции ABCD. В свою очередь
Z x+x Z x Z x+x Z x+x
(x+ x) = f(t)dt = f(t)dt+ f(t)dt = (x)+ f(t)dt
a a x x
220