Лекции по вышмату за 1 курс
.pdfНапример |
1 sin xdx = |
|
cos x 1 |
= 1 cos |
1 e xdx = |
ex |
1 |
= e |
1 |
||||||
|
R0 |
|
5 |
|
0 |
|
e |
5 ; |
R0 |
|
0 |
|
; |
||
|
|
Z0 |
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
dx = |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменим, что интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. Представляет интерес вопрос о существовании и нахождении производной от такого интеграла по параметру . Привед¼м без
доказательства теорему.
Теорема 79 Если функция f(x; ) непрерывна в замкнутом прямоугольнике a x b; c d и имеет в н¼м непрерывную частную производную по параметру , то на промежутке [c; d] имеем:
|
I0 = Zab f0 (x; )dx |
|
|
(75) |
|
Заметим, что эта операция называется дифференцированием под знаком |
|||||
интеграла. |
|
|
R |
+1 |
|
Отметим, что при |
|
, т.е. для несобственных интегралов |
|
||
для дифференцирования под знаком интеграла не достаточно |
a f(x; )dx |
||||
|
b = +1 |
|
|
сходимости интеграла и существования непрерывной частной производной f0 (x; ). Äî-
полнительно требуется так называемая равномерная сходимость несобственного интеграла. Рассмотрим это понятие подробнее.
Определение 135 Несобственный интеграл по неограниченному промежутку I( ) = Ra+1 f(x; )dx;(c d) называется равномерно сходя-
щимся по параметру на [c; d], если для любого " > 0 найд¼тся такое, не зависящее от число A0 a, что для любого A > A0 неравенство
Z +1
a
Z A
f(x; )dx
a
f(x; )dx < "
будет выполняться для всех значений из промежутка [c; d].
Определение 136 Несобственный интеграл I( ) = Rab f(x; )dx от неограниченной функции называется равномерно сходящимся по парамет-
ру на промежутке [c; d], если для любого " найд¼тся такое, не зависящее от число > 0, что для любого неравенство
|
ab f(x; )dx |
ab |
|
Z |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x; )dx < "
выполняется для всех значений из промежутка [c; d].
Существует простой признак равномерной сходимости по параметру несобственных интегралов, который мы привед¼м без доказательства.
Теорема 80 (Достаточный признак равномерной сходимости) Если функция f(x; ) непрерывна по переменной x для 8x a и существу-
ет такая функция (x), что для 8 2 [c; d] jf(x; )j (x) и интеграл
R |
+1 |
(x)dx сходится, то несобственный интеграл |
R |
+1 f(x; )dx сходит- |
|
a |
|
, ãäå 2 [c; d] |
a |
||
|
|
|
|
||
ся равномерно относительно |
. |
|
|
241
Аналогично этот признак формулируется для несобственных интегралов от неограниченных функций.
Пример 228 Доказать, что интеграл |
+1 cos x dx сходится равномерно |
относительно параметра . |
R0 x2+k2 |
Решение Очевидно, что для любого параметра справедлива такая оценка
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
cos x |
1 |
|
||||
|
|
x2 |
+ k2 |
|
x2 + k2 |
; |
||
а несобственный интеграл |
+ |
|
dx |
|
|
|||
Следовательно, данный |
|
0 1 x2+k2 сходится. |
||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграл сходится равномерно относительно лю- |
бого параметра , для которого определена функция cos x.
Теорема 81 (Дифференцирование несобственного интеграла по параметру)
Если функция f(x; ) |
непрерывна по переменной |
|
x для 8x a и имеет |
|||||||
непрерывную по обеим переменным производную |
f0 |
(x; )( |
2 |
[c; d]), èíòå- |
||||||
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
ãðàë I( ) = |
+1 f(x; )dx сходится, а интеграл |
+1 f0 (x; )dx сходится |
||||||||
равномерно |
a |
|
èç [c; d] |
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
относительно |
|
, то имеет место соотношение |
|||||||
|
|
|
I0( ) = |
Za+1 f0 (x; )dx |
|
|
|
|
(76) |
Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.
Привед¼нные выше формулы (80) и (81) называют формулами Лейбница. Если справедливы формулы Лейбница, т.е. возможна перестановка операции дифференцирования по параметру и интегрирования по пере-
менной x (для определ¼нных или несобственных интегралов, то говорят,
что функции I( ) = Rab f(x; )dx è I( ) = Ra+1 f(x; )dx можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Интегралы, зависящие
от параметра, находят многочисленные приложения. В частности, они используют при вычислении так называемых неберущихся интегралов.
Пример 229 Вычислить интеграл зависящего от параметра I( ) = R01
Решение Заметим, что интеграл
p
I = R01 lnx x1 dx с помощью интеграла,
x2 1 dx.
ln x
I( ) представляет собою функцию пе-
ременной , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная функ-
öèÿ x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x и е¼ частная производная по |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
= |
|
1 |
|
(x )0 |
= |
1 |
|
|
x |
|
ln x = x |
|
ln x |
ln x |
ln x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
непрерывны при всех x 2 [0; 1] и любом значении 0. Следовательно, функцию I( ) можно дифференцировать под знаком интеграла. Получим
I0 ( ) = 1 x dx = x +1 |
|
1 = |
1 |
|
I0 ( ) = |
1 |
|
||
|
|
|
|
||||||
Интегрируя получим: |
0 |
|
|
|
|
|
|||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1+ |
|
|
+1 , ò.å. |
|
+1 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
242
|
|
|
|
|
|
|
|
I( ) = Z |
d+ 1 = ln ( + 1) + c: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения значения постоянной c положим в этом тождестве = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; т.к. I(??) = 0, то получаем c = 0. Итак, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I( ) = ln(1 + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ïðè = 21 |
, в частности, имеем I |
21 |
= |
0 |
|
lnx x1 |
dx = ln 23 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 4 |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(Интеграл Дирихле). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Вычислить |
R |
+1 e |
|
e |
|
|
sin mxdx ( > 0; > 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Будем считать, что данным интегралом является функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параметра m: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I(m) = |
Z0 |
+1 |
e x e x |
sin mxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
и проверим для него выполнение условий применимости формулы Лейб- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
íèöà. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1. Подынтегральная функция f(x; m) = |
sin mx и е¼ частная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 (x; m) = (e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
производная f |
|
e x) cos mx непрерывны для всех x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
любом m. |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2. Данный интеграл сходится (абсолютно). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Действительно, принимая во внимание, что jsin mxj < jmxj, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+1 |
|
e x |
e x |
sin mx dx = |
|
+1 |
|
e x |
|
|
e x |
|
|
|
|
m |
|
|
|
sin mx |
|
dx < |
|
m |
|
|
+1 |
|
e x |
|
|
e x |
|
dx < |
||||||||||||||||||||||||||
Z0 |
|
|
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
j |
j |
|
mx |
|
|
j |
j Z0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
e x e x |
|
dx = m |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
< jmj Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3. Интеграл от функции |
f0 |
(x; m) мажорируется |
|
|
|
сходящимся |
интегра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ëîì: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Z0+1 e x e x jcos mxj dx < Z0+1 e x e x dx < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Таким образом имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
+1 |
|
e x e x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
I0 |
(m) = |
|
sin mx |
|
|
|
|
dx = |
|
|
e x |
|
e x |
cos mxdx = |
|
|
|
|
|
|
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + m2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
Z0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + m2 |
|
Откуда
I(m) = arctg m arctg m + c:
Учитывая, что I(??) = 0 и полагая m = 0, находим c = 0, следовательно
Z0 |
+1 |
e x e x |
sin mxdx = arctg |
m |
|
arctg |
m |
: |
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
243
В частности |
|
|
|
|
|
|
|
+1 e |
|
x sin mxdx |
|
m |
|
||
Z0 |
|
|
|
= arctg |
|
: |
|
|
|
x |
|
Положим здесь = 0; m = 1, тогда получим часто встречающийся ин-
теграл Дирихле |
|
|
|
|
|
|
Z0 |
+1 sin x |
dx = |
|
: |
||
|
x |
|
2 |
78 Гамма функция (интеграл Эйлера 2го рода)
78.1 Определение гамма-функции
Не элементарная трансцендентная функция, определяемая для положительных x равенством
Z +1
(x) = e ttx 1dt (77)
0
называется гамма-функцией или интегралом Эйлера 2го рода. Эта функция относится к числу так называемых специальных функций , с помощью которых выражаются решения многих задач математической физики, статики и пр.. (x) имеет две особые точки t = 0 и t = +1. Представим
интеграл (80) в виде суммы двух интегралов
Z 1 Z +1
(x) = tx 1e tdt + tx 1e tdt
01
|
Оба интеграла сходятся равномерно по параметру x на любом конечном |
|||||||||||||||||||||||
отрезке [a; b] |
]0; +1[. Действительно, |
|
1 |
0 |
< a < 1 |
|
b > 1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пусть |
|
|
|
|
|
è |
|
. Тогда |
|
0 tx 1e t |
t 1 ïðè 0 t |
1 è |
R |
0 e 1dt |
= 1, и, следовательно |
|||||||||||||||||||
интеграл 0 t |
|
e |
dt сходится |
|
|
|
|
|
|
[a; b] |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R |
1 |
x |
|
|
1 |
t |
|
e t |
e |
|
ïðè t 1, |
|
1 |
1 t e dt сходится, а |
|||||||||
|
|
|
|
|
0 t |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равномерно на |
|
R |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 t |
b |
|
1 |
t |
|
|
|
|
+ |
|
b 1 t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1+1 tx 1e tdtсходится равномерно на [a; b]. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
R |
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Кроме того оба интеграла непрерывны по параметру x на произвольном |
||||||||||||||||||||||||
отрезке [a; b] ]0; +1[, а поэтому функция (x) непрерывна 8x > 0. |
||||||||||||||||||||||||
|
Значит при x > 0 функция (x) непрерывно дифференцируема, прич¼м |
|||||||||||||||||||||||
|
0(x) = Z0 |
1 tx 1e t ln tdt + Z1 |
+1 tx 1e t ln tdt = Z0 |
+1 tx 1e t ln tdt |
Применяя метод математической индукции можно доказать, что (x) имеет производную nго проядка при x > 0, прич¼м
Z +1
(n)(x) = tx 1e t(ln t)ndt;
0
в частности
244
Z +1
00(x) = tx 1e t(ln t)2dt:
0
Замечание. Сделаем подстановку t = u2 в интеграле (80), тогда полу- ÷èì
(x) = Z0 |
+1 e ttx 1dt = 2 Z0+1 e u2 u2x 1du: |
Заменяя здесь переменную интегрирования u на t, получим выражение для гамма-функции в виде
Z +1
(x) = 2 e t2 t2x 1dt:
0
78.2 Свойства гамма-функции
1.(x + 1) = x (x)
Попробуем взять по частям интеграл, представляющий (x + 1)
Z +1
(x+1) =
0
u = tx
dv = e tdt
Z +1
e t txdt = e t txj+0 1+x
|
0 |
du = x tx 1dt u = tx |
|
v = e t |
dv = e tdt |
Z +1
e ttx 1dt = x e ttx 1dt = x (x);
0
du = x tx 1dt v = e t
ò.å. (x + 1) = x (x).
Получили формулу приведения для гамма-функции.
2.(n + 1) = n!
Вычислим значения (80); (81); (64); :::
Имеем
(80) = R0+1 e tdt = e tj+0 1 = 1, ò.å. (80) = 1.
(2) = (1 + 1) = 1 (1); (3) = (2 + 1) = 2 (2);
(65) = 3 (64) = 3 2 (81) = 3 2 1 (80) = 3!, ò.å.
(n + 1) = n!
В частности (80) = (0+1) = 0! => (80) = 0!, следовательно 0! = 1.
Т.к. функция (x) определена для любого положительного x, то с помощью гамма-функции (x) можно распространить понятие факториала на любое положительное число r функций (r 1)! = (r).
245
3. Если x = n + p, где 0 < p < 1, то будет
(n + p) = (n + p 1) (n + p 2) p (p);
т.е. вычисление гамма-функции от любого аргумента можно свести к вычислению е¼ от аргумента можно свести к вычислению е¼ от аргумента, заключ¼нного между 0 и 1.
78.3 Исследование гамма-функции
Ранее мы установили, что гамма-функция (x) непрерывна и дифференцируема сколько угодно раз для x > 0, кроме того (80) = (81), следователь-
но в силу теоремы Ролля
9c 2]1; 2[ такая, что 0(c) = 0.
можно показать, что c = 1:4616 и в этой точке гамма-функция имеет
минимум, прич¼м min= 0:8856. Учитывая, что (x) = |
(x+1) |
|||||
|
|
|||||
x , нетрудно |
||||||
заметить, что lim |
(x) = + . |
|||||
|
|
|||||
x |
! |
+0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание провед¼нное исследование, нетрудно нарисовать график гамма-функции для x > 0 (рис 1).
Пользуясь формулами приведения, гамма-функцию доопределяют и для отрицательных x. Окончательно график (x) имеет вид (рис 1).
Теорема 82 (Дифференцирование несобственного интеграла по параметру)
Если функция f(x; ) |
непрерывна по переменной |
|
x для 8x a и имеет |
|||||||
непрерывную по обеим переменным производную |
f0 |
(x; )( |
2 |
[c; d]), èíòå- |
||||||
|
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
ãðàë I( ) = |
+1 f(x; )dx сходится, а интеграл |
+1 f0 (x; )dx сходится |
||||||||
равномерно |
a |
|
èç [c; d] |
a |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
относительно |
|
, то имеет место соотношение |
|||||||
|
|
|
I0( ) = |
Za+1 f0 (x; )dx |
|
|
|
|
(78) |
Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.
Привед¼нные выше формулы (80) и (81) называют формулами Лейбница. Если справедливы формулы Лейбница, т.е. возможна перестановка операции дифференцирования по параметру и интегрирования по пере-
менной x (для определ¼нных или несобственных интегралов, то говорят,
что функции I( ) = Rab f(x; )dx è I( ) = Ra+1 f(x; )dx можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Интегралы, зависящие
от параметра, находят многочисленные приложения. В частности, они используют при вычислении так называемых неберущихся интегралов.
Пример 230 Вычислить интеграл зависящего от параметра I( ) = R01
Решение Заметим, что интеграл
p
I = R01 lnx x1 dx с помощью интеграла,
x2 1 dx.
ln x
I( ) представляет собою функцию пе-
ременной , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная функ-
öèÿ x 1 |
и е¼ частная производная по |
|
ln x |
|
246
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
= |
|
|
1 |
|
(x )0 |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
ln x = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
непрерывны при всех x 2 [0; 1] и любом значении 0. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию I( ) можно дифференцировать под знаком интеграла. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I0 |
( ) = |
|
1 x dx = |
x +1 1 |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
I0 |
|
( ) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
+1 , ò.å. |
|
+1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1+ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Интегрируя получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I( ) = Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
= ln ( + 1) + c: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Для определения значения постоянной c положим в этом тождестве = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0; т.к. I(??) = 0, то получаем c = 0. Итак, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I( ) = ln(1 + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ïðè = 21 |
, в частности, имеем I |
21 |
= |
|
R0 |
|
|
lnx x1 |
dx = ln 23 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 e |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 231 (Интеграл Дирихле) Вычислить |
|
R0 |
|
|
e |
sin mxdx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( > 0; > 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение Будем считать, что данный интеграл является функцией па- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
раметра m: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
I(m) = |
|
|
+1 |
e x e x |
sin mxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и проверим для него выполнение условий применимости формулы Лейб- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
íèöà. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. Подынтегральная функция f(x; m) = |
sin mx и е¼ частная |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производная f0 (x; m) = (e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 è |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
e x) cos mx непрерывны для всех x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
любом m. |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Данный интеграл сходится (абсолютно). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Действительно, принимая во внимание, что jsin mxj < jmxj, получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+1 |
|
e x |
e x |
sin mx dx = |
|
+1 |
|
e x |
|
e x |
|
|
|
|
m |
j |
sin mx |
|
dx < |
|
m |
|
|
+1 |
|
e x |
|
e x |
|
dx < |
|||||||||||||||||||||||||||
Z0 |
|
|
Z0 |
|
|
|
|
j |
mx |
|
|
j |
j Z0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
m |
1 |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Интеграл от функции fm0 (x; m) мажорируется сходящимся интегралом:
Z0+1 e x e x |
jcos mxj dx < Z0+1 e x e x dx < 1 |
||
|
|
|
|
Таким образом имеем:
247
|
|
|
+1 |
|
e x e x |
|
|
0 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 |
(m) = |
|
|
sin mx |
dx = |
e x |
|
e x |
cos mxdx = |
|
: |
||||||
Z0 |
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
|||||||||
m |
|
|
x |
|
m |
|
|
|
2 + m2 |
2 + m2 |
|
Откуда
I(m) = arctg m arctg m + c:
Учитывая, что I(??) = 0 и полагая m = 0, находим c = 0, следовательно
+1 |
e x e x |
sin mxdx = arctg |
m |
|
|
arctg |
m |
: |
||||||
|
|
|
||||||||||||
Z0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В частности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
+1 |
e |
x sin mxdx |
|
m |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= arctg |
|
: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Положим здесь = 0; m = 1, тогда получим часто встречающийся ин-
теграл Дирихле |
|
|
|
|
|
|
Z0 |
+1 sin x |
dx = |
|
: |
||
|
x |
|
2 |
79Гамма функция (Интеграл Эйлера 2го рода)
79.1 Определение гамма-функции
Неэлементарная трансцендентная функция, определяемая для положительных x равенством
Z +1
(x) = e ttx 1dt (79)
0
называется гамма-функцией или интегралом Эйлера 2-го рода . Эта функция относится к числу так называемых специальных функций , с помощью которых выражаются решения многих задач математической физики, статистки и пр.. (x) имеет две особые точки t = 0 и t = +1. Представим
интеграл (80) в виде суммы двух интегралов
Z 1 Z +1
(x) = tx 1e tdt + tx 1e tdt
01
Оба интеграла сходятся равномерно по параметру x на любом конечном
отрезке [a; b] ]0; +1[. Действительно, |
|
1 |
0 |
< a < 1 |
|
b > 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пусть |
|
|
|
|
è |
|
. Тогда |
|
0 tx 1e t t 1 ïðè 0 t |
|
1 è |
R |
0 e 1dt |
= 1, и, следовательно |
|||||||||||||||
интеграл 0 |
t |
|
e |
dt сходится |
|
|
|
|
|
[a; b] |
|
|
|
|
||||||
R |
1 |
x |
|
1 |
t |
|
e t |
|
e |
|
ïðè t 1, |
|
1 |
1 t e dt сходится, а |
||||||
|
|
|
0 t |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
равномерно на |
|
R |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
1 t b |
1 |
t |
|
|
|
|
+ |
b 1 t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1+1 tx 1e tdtсходится равномерно на [a; b]. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R
248
Кроме того, оба интеграла непрерывны по параметру x на произвольном отрезке [a; b] ]0; +1[, а поэтому функция (x) непрерывна 8x > 0.
Значит при x > 0 функция (x) непрерывно дифференцируема, прич¼м
0(x) = Z0 |
1 tx 1e t ln tdt + Z1 |
+1 tx 1e t ln tdt = Z0 |
+1 tx 1e t ln tdt |
Применяя метод математической индукции можно доказать, что (x) имеет производную nго проядка при x > 0, прич¼м
(n)(x) = Z0 |
+1 tx 1e t(ln t)ndt; |
|
в частности |
|
|
00(x) = Z0 |
+1 tx 1e t(ln t)2dt: |
Замечание 36 Сделаем подстановку t = u2 в интеграле (80), тогда по- лучим
Z +1 Z +1
(x) = e ttx 1dt = 2 e u2 u2x 1du:
0 0
Заменяя здесь переменную интегрирования u на t, получим выражение для гамма-функции в виде
Z +1
(x) = 2 e t2 t2x 1dt:
0
79.2 Свойства гамма-функции
1.(x + 1) = x (x)
Попробуем взять по частям интеграл, представляющий (x + 1)
u = tx |
du = x tx 1dt u = tx |
du = x tx 1dt (x + 1) = |
+1 e t |
txdt == e t |
|||
dv = e tdt |
v = e t |
dv = e tdt |
v = e t |
= x R0+1 e Rttx 1dt = x (x) |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
ò.å. (x + 1) = x (x).
Получили формулу приведения для гамма-функции.
2.(n + 1) = n!
Вычислим значения (80); (81); (64); ::: Имеем(80) = R0+1 e tdt = e tj+0 1 = 1, ò.å. (80) = 1.
(2) = (1 + 1) = 1 (1); (3) = (2 + 1) = 2 (2);
(65) = 3 (64) = 3 2 (81) = 3 2 1 (80) = 3!, ò.å.
(n + 1) = n!
В частности (80) = (0+1) = 0! => (80) = 0!, следовательно 0! = 1.
249
3.В соответствии с формулой приведения для гамма-функции имеем
(x) = (x 1) (x 1) = (x 1)(x 2) (x 2) = (x 1)(x 2):::(x k) (x k)
Т.к. функция (x) определена для любого положительного x, то с помощью гамма-функции (x) можно распространить понятие факториала на любое положительное число r функций
(r 1)! = (r):
4. Если x = n + p, где 0 < p < 1, то будет
(n + p) = (n + p 1) (n + p 2) p (p);
т.е. вычисление гамма-функции от любого аргумента можно свести к вычислению е¼ от аргумента, заключ¼нного между 0 и 1.
79.3 Исследование гамма-функции
Ранее мы установили, что гамма-функция (x) непрерывна и дифференцируема сколько угодно раз для x > 0, кроме того (80) = (81), следователь-
но в силу теоремы Ролля
9c 2]1; 2[ такая, что 0(c) = 0.
можно показать, что c = 1:4616 и в этой точке гамма-функция имеет
минимум, прич¼м min= 0:8856. Учитывая, что (x) = |
(x+1) |
|||||
|
|
|||||
x , нетрудно |
||||||
заметить, что lim |
(x) = + . |
|||||
|
|
|||||
x |
! |
+0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Принимая во внимание провед¼нное исследование, нетрудно нарисовать |
||||||
график гамма-функции для x > 0 (рис 1). |
|
|
Пользуясь формулами приведения, гамма-функцию доопределяют и для отрицательных x. Окончательно график (x) имеет вид (рис 1).
Пример 232 Вычислить интеграл I = R0 |
|
1 ptet |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
dt |
|
|
|
|||
Решение Запишем данный интеграл так: |
|
|
|
1 e t t21 |
|
|||||||||||||
I = Z0 |
1 ptdtet = Z0 |
+ |
1 e t |
t 21 dt = Z0 |
+ |
1dt |
||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
1 |
. |
|
||||
В силу формул приведения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
Нетрудно видеть, что данный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Находим в таблице значение 32 = 0:88623, следовательно 12 1:73. Ответ: R0+1 pdttet 1:73
250