Лекции по вышмату за 1 курс

и вектор ~ = ~

@F@x ; @F@y ; @F@z

проведем через нее различные кривые 1; 2; : : : n, лежащие на этой по- верхности, задав их с помощью каких-то параметрических уравнений, например, пусть кривая 1 имеет уравнения x = x1 (t), y = y1 (t), z = z1 (t); кривая 2 имеет уравнения x = x2 (t), y = y2 (t), z = z1 (t); ясно, что т.к. кривые 1; 2; : : : ; n; : : : лежат на поверхности S, имеют место соотношения F [xk (t) ; yk (t) ; zk (t)] = 0. Продифференцируем левую часть этой формулы как сложную функцию по переменной t. Получим

@F

dx

+

@F

dy

+

@F

dz

= 0

(60)

@x

dt

@y

dt

@z

dt

Введем в рассмотрение два вектора:

Вектор ~ ~ N = N

dxdt ; dydt ; dzdt . ßñíî, ÷òî âåê-

òîð	~	есть касательный вектор к годографу вектора	~	~
			~ (t) = x (t) i+y (t) j +

~

z (t) k, т.е. вектор, касательный к кривой, лежащей на поверхности S. Мно-

жество таких касательных векторов к различным кривым, проходящим че- рез точку M0 (x0; y0; z0) на поверхности, лежит в плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке M0 (x0; y0; z0).

Из соотношения (80) ясно, что вектор ~

N перпендикулярен к касательной плоскости в точке M0 (x0; y0; z0). Такой вектор называется нормалью к поверхности S в точке M0 (x0; y0; z0).

Теперь нетрудно найти уравнение касательной плоскости к поверхности S в точке M0 (x0; y0; z0), а также найти канонические уравнения прямой, на которой лежит нормаль к поверхности S. Действительно, касательная плоскость к поверхности S с уравнением F (x; y; z) = 0 в точке M0 (x0; y0; z0) имеет уравнение

	@x M0			(x x0) + @y M0 (y y0) +			@z M0 (z z0) = 0:
	@F			@F		@F
Принимая			за направляющий			вектор прямой, перпендикулярной			ê ïî-
						~	~
верхности в точке M0 (x0; y0; z0), вектор S =							N, получим канонические

уравнения этой нормали в точке M0 (x0; y0; z0):

(x x0)

=

(y y0)

=

(z z0)

:

@F

@F

@F

@x M0

@z M0

@y M0

и нормали к по-

Пример 151 Найти уравнение

касательной

плоскости

верхности S в точке M0 (1; 1; 2), если уравнение поверхностей

z = x2 + y2

(ðèñ. 3.8.2).

Решение Запишем уравнение поверхности (это параболоид вращения)

òàê: F (x; y; z) = x2 +y2 z = 0. Найдем @F@x = 2x, @F@y

= 2y, @F@z

= 1. Следо-

вательно в точке

M0

(1; 1; 2)

нормаль к поверхности

~

~

~

~. Тогда

N = 2i + 2j

k

касательная плоскость имеет уравнение 2 (x 1) + 2 (y 1) 1 (z 2) = 0, т.е. 2x + 2y z 2 = 0.

Соответственно, прямая, на которой лежит нормальный вектор ~

N, òà-

êîâà:

x 1 = y 1 = z 2 2 2 1

181

56.2 Экстремумы функции нескольких переменных

Аналогично тому, как это было сделано для функции одной переменной, вводятся определения экстремума функции нескольких переменных. Рассмотрение проведем для функции двух независимых переменных.

Итак, допустим, что некоторая функция z = f (x; y) определена в неко-

торой области D плоскости xOy, и пусть точка M0 (x0; y0) является внутренней точкой этой области. Дадим определение максимума и минимума функции z = f (x; y), которые эта функция достигает в некоторой точке

области D.

Определение 122 Говорят, что в точке M0 (x0; y0) функция f (x; y) имеет максимум, если существует " окрестность точки M0 U" (x0; y0) такая, что для всех точек M из этой окрестности (причем M 6= M0) имеет место неравенство f (M) < f (M0).

Определение 123 Говорят, что в точке M0 (x0; y0) функция f (x; y) имеет минимум, если существует " окрестность точки M0 U" (x0; y0) такая, что для всех точек M из этой окрестности имеет место неравенство f (M) > f (M0) (M 6= M0).

Максимальное и минимальное значение функции в точке M0 (x0; y0) называют просто максимум и минимум функции f (x; y) и обозначают max f (x; y)

è min f (x; y).

Максимумы и минимумы, как и ранее, называют экстремумами.

Итак, c помощью логических символов приведенные определения можно записать так:

(max f (x; y) = f (x0; y0))	,(9"	>	0, ÷òî	8 (x0; y0)	2 U" (x0; y0), M	6=
M0:f (x; y) < f (x0; y0));	,(9"			8 (x0; y0)	2 U" (x0; y0), M	6=
(min f (x; y) = f (x0; y0))		>	0, ÷òî
M0:f (x; y) > f (x0; y0)).

Заметим, что не следует смешивать понятие максимума и минимума функции с ее наибольшим и наименьшим значением.

Допустим, что эта функция z = f (x; y) дифференцируема в окрестности точки u" (x0; y0) и имеет в ней экстремумы (max и min). Пусть для определенности в этой точке функция z = f (x; y) имеет максимум. Это озна- чает, что 8 (x; y) 2 U" (x0; y0):f (x; y) < f (x0; y0) и, в частности, f (x; y0) <

f (x0; y0). Отсюда следует, что функция одной переменной f (x; y0) в точке

(x0) имеет максимум. Но тогда в этой точке fx0 (x0; y0) = 0. Совершенно аналогично в этой точке fy0 (x0; y0) = 0.

Если бы мы положили, что в точке M0 (x0; y0) функция имеет мини-

мум, то получили бы точно такой же вывод. Полученный результат можно оформить в виде теоремы.

Теорема 66 (Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных).

Если функцияf (x; y), определенная в области D плоскости xOy, имеет в точке (x0; y0) 2 D экстремум, то ее частные производные первого порядка в этой точке обращаются в ноль, т.е.

182

@f		x = x0	= 0	9
@x
(x;y)		y = y0
@f(x;y)				>	:
				>
			= 0	>
@y
		x = x0		>
				=
		y = y0		>
				>

>

>

;

Или, что то же самое, в точке (x0; y0) обращается в ноль полный дифференциал первого порядка данной функции.

Замечание 20 Отметим, что не всякая точка, в которой обращаются в нуль все частные производные первого порядка данной функции, является точкой, в которой функция имеет экстремум. Иными словами, равенство нулю частных производных первого порядка в точке (x0; y0) есть необходимое, но не достаточное условие экстремума.

56.3 Достаточные условия экстремума

По-прежнему для большей компактности изложения будем рассматривать функцию двух переменных z = f (x; y).

Итак, допустим, что мы нашли точку M0 (x0; y0), в которой выполнены необходимые условия экстремума, т.е. точку, в которой обращаются в нуль

частные производные

@f(x;y) @f(x;y)

(x0; y0) ìû

. Как и ранее, точку M0

@x

è @y

можем назвать подозрительной на экстремум. Выясним теперь, каковы

же достаточные условия, при выполнении которых в этой точке функция

будет иметь максимум или минимум.

Заметим, что дальнейшие рассуждения будут носить не слишком стро-

гий характер.

Допустим, что функция f (x; y) в точке M0 (x0; y0) дифференцируема

трижды. Напишем формулу Тейлора третьего порядка для этой функции

в точке M0:

f (x

; y

) = f (x + x; y

o

+ y)

f (x

; y

) = df (x

; y ) +

1

d2f (x

; y

) +

2!

1 30

0

0

0

0

0

0

0

0

+

d f (x0 + 1 x; yo + 2 y) ; (0 < 1 < 1); (0 < 2 < 1);

3 !

а x и y произвольные приращения, которые предполагаются до-

статочно малыми по абсолютной величине.

В силу того, что необходимые условия экстремума выполнены, очевидно, что df (x0; y0) = 0, а тогда

f(x0 + x; yo + y) f (x0; y0) = 2!1 d2f (x0; y0) +

+31! d3f (x0 + 1 x; yo + 2 y)

Ясно, что если x и y достаточно малы по модулю, то знак правой

части этого равенства определяется знаком его первого слагаемого, т.е. зна- êîì 2!1 d2f (x0; y0), т.к. здесь в правой части стоят однородные многочлены

относительно x и y соответственно второй и третьей степени. Рассмотрим подробнее выражение для этого слагаемого:

183

2! d f (x0; y0) =

2! "

+fyy00

(x0

; y0) ( y)2

#

1

2

1

f00

(x

; y

) ( x)2 + 2

f00

(x

; y

)

x y+

xx

0

0

xy

0

0

Èòàê, åñëè d2f (x0; y0) > 0, то в точке M0 (x0; y0) функция имеет минимум, т.к. в этом случае f (x0; y0) < f (x0 + x; yo + y), åñëè d2f (x0; y0) <

0,то максимум, т.к. тогда f (x0; y0) < 0, ò.å. f (x0; y0) > f (x0 + x; yo + y). Может, однако, оказаться, что при одних сочетаниях x и y d2f (x0; y0) >

0, а при других < 0. Это означает, что в точке M0 у функции f (x; y) экстре-

мума нет. Говорят, что в этом случае функция имеет минимакс . Если же

это выражение знака не меняет, но может обращаться в нуль, то это озна- чает лишь то, что по знаку d2f (x0; y0) нельзя судить о наличии экстремума

у функции f (x; y) в точке M0. В этом случае следует рассмотреть формулу

Тейлора четвертого порядка и провести аналогичные исследования. Аналогичные результаты справедливы для функции, зависящей от любого числа независимых переменных.

Попытаемся теперь получить простые и удобные в применении достаточ- ные условия экстремума для функции f (x; y), выраженные через значения

частных производных второго порядка функции f (x; y) в точке M0 (x0; y0). Для этого обозначим fxx00 (x0; y0) = A, fxy00 (x0; y0) = B, fyy00 (x0; y0) = C è

обозначим xy = t (для определенности считаем, что y 6= 0). Очевидно, что

2!1 d2f (x0; y0) = 2!1 At2 + 2 Bt + C ( y)2 :

Ясно, что знак этого выражения определяется знаком квадратного трех- члена ' (t) = At2 + Bt + C. Его дискриминант D = B2 AC.

Следовательно, что если D < 0, то график функции ' (t) не пересекает ось Ot (корни комплексные); если D > 0, то график функции ' (t) пересекает ось Ot в двух точках (корни вещественные); если D = 0, то график функции ' (t) касается оси Ot (корни вещественные и равные).

Введем теперь в рассмотрение величину = AC B2. Принимая во

внимание все вышесказанное, можем сделать следующие выводы:

Если > 0, то для всех x и y f сохраняет знак. При этом, если A > 0, то и f > 0. Следовательно, в точке (x0; y0) функция f (x; y) имеет минимум. Если же A < 0, то и f < 0, следовательно, в точке (x0; y0) функция f (x; y) имеет максимум.

Если < 0, то для различных x и y функция ' (t) имеет различные знаки, в силу чего f изменяет знак в окрестности точки (x0; y0). Следовательно, в точке (x0; y0) функция экстремума не имеет.

Если = 0, то f знака не меняет, но может обращаться в нуль. Значит,

вопрос о наличии экстремума в точке (x0; y0) остается открытым. Заметим теперь, что функции нескольких переменных могут иметь экс-

@f(x;y)

тремум не только в тех точках, где частные производные @x и обращаются в нуль, но и в точках, где функция недифференцируема,

бы только в этих точках она была непрерывна.

@f(x;y)

@y

ëèøü

184

56.4 Наибольшее и наименьшее значение функции

Пусть функция f (x; y) определена и непрерывна в некоторой замкнутой

ограниченной области

D. Тогда заведомо функция в этой области имеет

наибольшее и наименьшее значение. Для их отыскания нужно исследовать точки, подозрительные на экстремум и лежащие внутри области D. Затем нужно исследовать поведение функции на границе области, т.е. найти на границе наибольшее и наименьшее значение функции. И в заключение следует сравнить экстремальные значения, которые функция принимает в области D с ее значениями на границе.

2	2	в области ~	z = 3
Пример 152 Найти наибольшее и наименьшее значение функции
x y		D, ограниченной прямыми x = 1, y = 1.

Решение

@x@z = 2x; @y@z = 2y:

Приравниваем к нулю частные производные : 2x = 0, 2y = 0. Получаем точку (0; 0) точку, подозрительную на экстремум.

Вычисляем @2z = 2, @2z = 2, @2z = 2.

@x2 @y2 @x2

Следовательно = A C B2 = 4 > 0, A < 0.

Значит, в точке (0 ; 0) функция имеет максимум. Исследуем теперь поведение функции на границе области, т.е. на контуре ABCD, где A ( 1; 1), B (1 ; 1), C (1 ; 1), D ( 1 ; 1) (рис.3.9.1).

Íà AB: y = 1, z1 = z (x; y)jy= 1 = 2 x2; x 2 [ 1 ; 1]; z10 (x) = 2x; точка x = 0 подозрительна на экстремум: z1 (0) = 2; z1 (A) = z1 ( 1) = 1,

z1 (B) = z1 (1) = 1.

Íà BC: x = 1, z2 = z (x; y)jx=1 = 2 y2; y 2 [ 1; +1]; z20 (y) = 2y; точка y = 0 подозрительна на экстремум: z2 (0) = 2; z2 (B) = z1 (B) = 1,

z2 (C) = z2 (1) = 1.

Íà DC: y = 1, z3 = z (x; y)jy=1 = 2 x2; z30 = 2x; точка x = 0 подозрительна на экстремум: z3 (0) = 2; z3 (C) = z2 (C) = 1; z3 (D) = z3 ( 1) = 1.

Íà AD: x = 1, z4 = z (x; y)jx= 1 = 2 y2; z40 (x) = 2y; точка y = 0 подозрительна на экстремум: z4 (0) = 2; z4 (A) = z1 (A) = 1; z4 (D) =

z3 (D) = 1.

Остается сделать вывод. Итак, внутри квадрата функция z (x; y) имеет

максимум в точке : .

На границе области функция принимает наименьшее значение в точ- ках A; B; C; D: z (A) = z (B) = z (C) = z (D) = 1, а наибольшее в точках

(0; 1) ; (1 ; 0) ; (0 ; 1) ; ( 1 ; 0), причем z (0; 1) = z (1 ; 0) = z (0 ; 1) = z (D 1 ; 0) = 2.

Ответ. наибольшее значение функция принимает в точке (0 ; 0), оно совпадает с максимальным значением функции zmax= z наиб. =z (0 ; 0) = 3; наименьшее значение функция принимает в точках A; B; C; D; причем z наим.=1.

185

57Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Мы рассмотрели экстремумы функции нескольких переменных, считая только, что эти точки лежат внутри некоторой области D. Такие экстремумы называются безусловными.

Однако часто приходится отыскивать экстремумы функции f (x; y) в области D в предположении, что кроме того выполняются условия вида:

' (x; y) = 0

(61)

Экстремумы, удовлетворяющие таким условиям, называются условными. В этом случае аргументы x и y данной функции f (x; y) нельзя считать

независимыми переменными. Очевидно, что их связывает уравнение (80), которое и называется уравнением связи. Геометрически это означает, что условный экстремум отыскивается не для всех точек (x; y), принадлежа-

щих области D, а для точек, принадлежащих области D, и лежащих на некоторой кривой l, уравнение которой ' (x; y) = 0. Например, очевидно,

0 (0; 0): zmax = 1	p
что функция z = 1 x2 y2 достигает безусловного максимума в точке
	(ðèñ. 3.10.1)					è p
2	, то очевидно, что он достигается в точке				2
							2 .
Если же потребовать: найти условный экстремум функции z =							1 x2 y2
на прямой y = 1				0 ; 1		равен		p	3
Отыскание условного экстремума функции можно свести				ê
					отысканию без-

условного экстремума некоторой другой функции. Напрèìåð, в данном слу-

	z (x; y)jy=	21	= q4	x
чае достаточно исследовать функцию			3	2.

Однако такой способ не всегда бывает удобен.

Рассмотрим другой способ отыскания условного экстремума, который называется методом множителей Лагранжа.

Итак, допустим, что нам нужно найти условный экстремум функции z (x; y), причем уравнение связи

' (x; y) = 0

(62)

Допустим, что точка M0 (x0; y0) точка условного экстремума, значит, в этой точке производная по x от функции z = f (x; y) с учетом уравнения связи должна быть равна нулю, что равносильно равенству нулю df (x; y) в точке M0. Итак в точке M0 (x0; y0)

df (x; y) =	df (x; y)		dx +	df (x; y)		dy = 0	(63)
	@x			@y

С другой стороны, продифференцируем уравнение связи (80), получим

d' (x; y) =	d' (x; y)	dx +	d' (x; y)		dy = 0	(64)
	@x		@y

Умножим соотношение (64) почленно на некоторый множитель и при-

бавим к соотношению (80):					dx +				dy = 0 (65)
	@x	+	@'@x			@y	+ @y
	@f (x; y)		(x; y)			@f (x; y)		@' (x; y)

186

Выберем теперь число так, чтобы выполнялось условие:

	@f (x; y)	+	@' (x; y)	= 0	(66)
	@y		@y

Заметим, что это возможно, т. к. мы предполагаем, что выполняются

условия теоремы существования неявно заданной функции в силу которой '0y (x; y) 6= 0. Тогда очевидно, что выполняется и второе условие:

	@f (x; y)	+	@' (x; y)	= 0	(67)
	@x		@x

Рассмотрим теперь функцию F (x; y) = f (x; y) + ' (x; y).

Очевидно, что условия (66) и (67) дают нам необходимые условия экстремума функции F (x; y), которая называется функцией Лагранжа, параметр

при этом называется множителем Лагранжа.

Итак, для того, чтобы найти точки, в которых данная функция z = f (x; y) может иметь условный экстремум, определенный уравнением связи ' (x; y) = 0, необходимо решить систему таких трех уравнений:

'x0(x; y) = 0	@x			@x		9
F (x; y) =	@f(x;y)	+		@'(x;y)	= 0	=
	@f(x;y)			@'(x;y)
Fy0 (x; y) =		+			= 0
						>
	@y			@y		>
						;

Найденные таким образом точки, естественно, подлежат дополнительному исследованию.

p

Пример 153 Найти наибольшее значение функции u = 3 xyz при условии, что x + y + z = a, (a > 0).

p Решение Итак, необходимо найти условный максимум функции u = 3 xyz, если уравнение связи x + y + z a = 0. Рассмотрим вспомогательную

p

функцию F = 3 xyz + (x + y + z a). Найдем ее частные производные по x, y и z и приравняем их к нулю, а также добавим к ним уравнение связи:

8

2

3

F 0

= 1

(xyz)

3

yz + =

1

pxyz

+ = 0

x

x

3

2

3

3

Fy0

=

1

(xyz) 3

xz + =

1

pxyz

+ = 0

3

3

y

>

1

2

1

3

3

pxyz

>

>

Fz0

=

(xyz)

xy + =

+ = 0

3

3

z

<

0

> x + y + z a =

, получим

a

Решая эту систему>

и исключая параметр

>

:

x = y = z = 3 .

Следовательно, данная функция p3

имеет максимум в точке

a3 ; a3 ; a3

è

xyz

ïðè ýòîì u

max

= a

чисел x, y, z

3 . Таким образом, для любых положительных

связанных соотношением x+y +z = a, выполняется неравенство

p3

a3 ,

xyz

íî a = x + y + z, следовательно, имеем p3

x+y+z

xyz

3 .

Обобщая полученный результат на любое число переменных, можем сделать полезный вывод:

Среднее геометрическое нескольких чисел не превосходит их среднего арифметического.

187

Часть VIII

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ

ИНТЕГРАЛ

58 Первообразная

Определение 124 Функцию F (x) будем называть первообразной функции f (x) на промежутке ha; bi, если для всякого x из этого промежутка выполняется равенство F 0 (x) = f (x) :

Пример 154 Пусть f (x) = x + 1:

Очевидно, что x22 + x 0 = x + 1, то есть функция F (x) = x22 + x является первообразной функции f (x) = x + 1, но также, очевидно, что можно найти другие первообразные этой же функции f (x), например,

	F1	(x) = x2	+ x + 4 èëè F2 (x) =	(x+1)2
				2 è ò.ä.
		2

Поэтому интересно установить, каков будет общий вид первообразной функции.

Теорема 67 Пусть F (x) - первообразная функции f (x) на промежутке ha; bi :

Для того чтобы функция (x) тоже была первообразной f (x) на этом

же промежутке необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этого промежутка выполнялось равенство (x) F (x) = C, где C - некоторая

постоянная.

Доказательство Необходимость. Пусть обе функции F (x) и (x) - первообразные функции f (x) на некотором промежутке.

Тогда на этом промежутке выполняются равенства

F 0 (x) = f (x)0 (x) = f (x);

откуда ( (x) F (x)) = 0:

Следовательно, по признаку постоянства функции (x) F (x) = C:

Достаточность. Пусть на некотором промежутке F (x) - первообразная функции f (x) и (x) F (x) = C. Тогда 0 (x) = (F (x) + C) = f (x), ÷òî è

требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что если найдена F (x) - какая-нибудь первообразная функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех ее первообразных на этом промежутке можно записать в виде fF (x) + Cg, где C - всевозможные постоянные.

59 Неопределенный интеграл

Определение 125 Множество всех первообразных функции f (x) на неко-

тором промежутке называют неопределенным интегралом от функции f (x) на этом промежутке.

188

Неопределенный интеграл обозначают следующим образом

Z

f (x) dx:

вообразная функции f (Rx) на указанном промежутке. Функцию f (x) назы-
В силу определения	f (x) dx = F (x) + C, где F (x) - какая-нибудь пер-

вают подынтегральной функцией, а выражение f (x) dx - подынтегральным выражением.

Равенство R f (x) dx = F (x) + C означает, что
(F (x) + C)0 = f (x)	(68)

или d (F (x) + C) = f (x) dx, откуда следует выполнение любого из трех

равенств:
1.	f (x) dx		0	= f (x)
2.	R
	d R f (x) dx = f (x) dx

R

3.dF (x) = F (x) + C

Вычисляют неопределенные интегралы, сводя их к табличным, методами замены переменной и интегрированием по частям. При этом обычно приходится использовать свойство линейности неопределенного интеграла.

60 Таблица неопределенных интегралов

Для вычисления неопределенных интегралов пользуются, прежде всего таблицей интегралов, которая, в основном является обращением таблицы производных.

R

xkdx = xk+1 + C; k =

1

1.

dx

k+1

6

2.

R

x = ln x + C

x

jxj

3.

R

exdx = eax+ C

4.

R

a dx =

+ C

ln a

5.

R

sin xdx = cos x + C

6.

R

cos xdx = sin x + C

7.

R

dx

= tg x + C

2

x

cos

8.

dx

= ctg x + C

2

x

R

sin

1

dx

x

1

x

9.

R

=

arctg a + C =

a arcctg a

+ C

x2+a2

a

dx

x

x

10.

R

p

= arcsin a

+ C = arccos a

+ C

a2 x2

R

11.

dx

=

21a ln

x

a

+ C

x2 a2

x+a

189

R

dx

x

p

dx

2

12.

R

p

x2+a

= ln x + x

+ a + C

13.

sin x

= ln

tg 2

+ C

14.R cosdxx = ln tg 4 + x2 + C

Замечание 21 Второй интеграл является "дополнением"первого при k =

1.

Замечание 22 Во втором интеграле первообразная не существует в точ- ке x = 0. Поэтому мы можем вычислять этот интеграл только либо на

промежутке ( 1; 0), либо на промежутке (0; +1), и произвольная по-

стоянная на этих промежутках, вообще говоря, различна, то есть правильнее было бы написать

Z	x	=	ln ( x) + C2	:
	dx		ln x + C1

Это же замечание относиться ко всем интегралам, где в ответе появляется логарифм.

Доказательство Интегралы 1-8 являются обращением соответствующих табличных производных.

Остальные равенства в таблице доказываются по определению неопределенного интеграла.

Докажем, например, равенство 12. p

Сначала рассмотрим случай, когда x + x2 + a > 0:

1 +

p

x

ln

x + px2 + a

+ C 0

= ln x + px2 + a 0

2+a

=

x + p

x

=

x2 + a

px

2

+ a + x

1

+ a < 0

Затем, рассмотрим те

x, ïðè

которых x + px

px2

+ a x + px2

+ a

= px2 + a:

значения

2

:

0 = 1 + px22

ln x + x2 + a + C

0 = ln

x + x2 + a

+a

=

p

p

x

x + px

+ a

p

+ x

1

x2 + a

=

p

x + p

p

x2 + a

x2 + a

x2 + a

Решение ВоспользуемсяR

dx

табличным интегралом 1. Получим

Пример 155 Вычислить

px

:

Z

dx

= Z x 1=2dx =

x 1=2+1

x3=2

2x3=2

p

+ C =

+ C =

+ C:

1=2 + 1

3=2

3

x

R

dx

Решение

Пример 156 Вычислить

x2 4 .

Воспользуемся табличным интегралом 11. Получим

Z

x2

4

Z

x2

22

4

x + 2

dx

=

dx

=

1

ln

x

2

+ C:

190