практикум по ягф (готовое)1

Подобную таблицу можно ввести в память ЭВМ. Если в ходе расчета нам понадобится значение случайной величины равномерно распределенной в интервале (0, 1), мы будем брать указанные пары цифр, умноженные на 0,01.

Чтобы случайные числа, полученные с помощью такой таблицы, не повто-

рялись, она должна содержать большое количество цифр (более миллиона)

Обращение к таким таблицам сильно замедляет счет, поэтому применение таблиц случайных цифр в ММК ограничено.

Генераторы случайных чисел. Генераторами (датчиками) случайных чи-

сел называют различные технические устройства, вырабатывающие случай-

ные величины. Чаще всего для построения датчиков используют «шумящие» радиоэлектронные приборы (диоды, газотроны и др.) Примером датчика, вы-

рабатывающего случайные двоичные цифры может быть следующий: если за некоторый фиксированный промежуток времени t уровень шума прибора превысил данный порог четное число раз, то записывается 0, а если нечет-

ное число раз, то записывается 1. Если вероятности появления 0 и 1 в таком процессе равны, то можно считать, что устройство вырабатывает случайную последовательность двоичных цифр.

К достоинствам применения генераторов случайных чисел относятся быстрота их получения, практически неограниченный запас чисел и отсутст-

вие необходимости занятия большого объѐма оперативной памяти ЭВМ.

Однако, этот метод не свободен от недостатков. Во-первых, приходится со-

держать и эксплуатировать дополнительные устройства, вырабатывающие случайные числа. Вовторых, числа вырабатываемые датчиком нельзя вос-

произвести, что затрудняет контроль расчетов.

Псевдослучайные числа. Пригодность случайных чисел определяется, в

конечном счете, не процессом их получения, а тем удовлетворяют они неко-

торым тестам. В этом случае они могут быть сосчитаны по какой-либо фор-

муле и проверены на «случайность» с помощью специальных тестов. Числа,

получаемые по заданной формуле и имитирующие значение случайной вели-

41

чины равномерно распределенной в интеравале (0, 1) называются псевдо-

случайными.

К достоинствам метода псевдослучайных чисел относится простота и высокая скорость их получения, а также возможность их воспроизведения.

Подавляющее большинство расчетов ММК в настоящее время осуществляет-

ся с помощью псевдослучайных чисел.

2.3. Разыгрывание дискретных случайных величин

Допустим нам нужно получить значение дискретной случайной величи-

ны с распределением		x1	x2..... xn	,	где х1 , х2 …. хn возможные значения
		p1	p2..... pn
случайной величины,	P1, P2, …..Pn соответствующие им вероятности.
Рассмотрим интервал (0, 1) и разобьѐм его на n интервалов, длины кото-
рых будут равны P1,	P2, …..Pn. Координатами точек деления будут значения:
P1, P1 +P2, P1 +P2, +…. Pn-1.
Каждый раз, когда нам нужно будет разыграть значения						будем выби-
рать очередное значение случайной величины равномерно распределѐнной
в интераале (0, 1). Затем сравниваем					с величиной P1. Если	< P1, то =

х1, если > P1, то сравниваем	с P1 +P2. Если P1 < < P1 +P2 , то					= х2 .
Если > P1 +P2, то сравниваем	с P1 +P2 +P3 и.т.д.
Пример: Разыграть 10 значений случайной величины (возможная						оценка
успевающего студента на экзамене).
	3		4	5
	0.1		0.8	0.1

В качестве значений выберем пары чисел из строки таблицы случайных цифр, умноженных на 0.01. Тогда =0.84; 0.75; 0.45; 0.76; 0.04; 0.38; 0.13; 0.26; 0.42; 0.94.

42

Согласно нашей схеме значениям <0.1 отвечают оценка «3», значениям

0.1 < < 0.9 оценка «4», а значениям 0.9 < < 1 оценка «5». Следовательно,

мы получаем следующие разыгранные значения оценки студента: 4, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 5.

2.4. Разыгрывание непрерывной случайной величины

Предположим, что случайная величина непрерывна в интервале (a, b)

и имеет плотность вероятности распределения р(х). Можно доказать, что значение можно находить из уравнения:

p(x)dx

a

где равномерно распределенная в интервале (0, 1) случайная величина.

Пример: Разыграть значения равномерно распределѐнной в интервале (-1, 1).

Случайная величина называется равномерно распределѐнной в интер-

вале (-1, 1),если еѐ плотность распределения имеет вид:

0 x 1 p(x) 0.5 -1<x<1

0 x>1

Чтобы разыграть значения , составляем уравнение:

dx

1 2

Вычисляя интеграл, получаем выражение для розыгрыша :

21

2.5.Моделирование похождения нейтронов через вещество

Известно, что взаимодействие нейтронов и гамма квантов с веществом носит вероятностный характер. Во многих задачах ядерной геофизики требу-

ется найти среднее число частиц, регистрируемых детектором, их энергию и

43

другие макроскопические характеристики. Решение подобных задач эффек-

тивно ММК. Ниже рассматривается простейший вариант задачи о прохожде-

нии нейтронов через бесконечный пласт.

Пусть на однородный бесконечный пласт мощностью H падает N ней-

тронов с энергией Е перпендикулярно поверхности пласта. При столкнове-

нии с ядрами нейтроны могут лишь упруго рассеиваться и поглощаться.

Предположим для простоты, что энергия нейтронов при рассеянии не меня-

ется и любое направление рассеяния равновероятно (изотропное рассеяние).

Требуется найти количество нейтронов, прошедших сквозь пласт N1, количе-

ство нейтронов, отражѐнных пластом N2 и количество нейтронов, поглощен-

ных в пласте N3.

Процесс взаимодействия нейтронов с ядрами вещества пласта характе-

ризуется суммарным микроскопическим сечение взаимодействием При этом, п р где п и р микроскопические сечения поглощения

и рассеяния соответственно.

Для характеристики суммарного эффекта взаимодействия нейтронов с веществом пласта воспользуемся понятием макроскопического сечения

взаимодействия .

Для моноэлементной среды связь между и имеет вид

n			NА	,
	я		А
где nя число ядер в единице объѐма вещества; NA					6.02 1023	– число Авогадро,
– плотность вещества, А – атомная масса элемента.
Аналогично предыдущему:		П Р ,		где	П и Р	макроскопические

сечения поглощения и рассеяния. При этом вероятность поглощения нейтро-

на при столкновении с ядром равна	П	, а вероятность рассеяния	Р	.
Моделирование траекторий будем начинать с момента, когда нейтроны
оказались на поверхности пласта.	Длина свободного пробега нейтрона -

случайная величина равная пробегу нейтрона между столкновениями.

44

Из теории известно, что она может принимать любые значения с плот-

ностью вероятности р(x)				e x
Вычислим среднее значение длины свободного пробега:
					x	e x dx	1
				0
Таким образом, средняя длина свободного пробега нейтрона равна об-
ратной величине полного макроскопического сечения.
Формулу для розыгрыша длины свободного пробега									можно получить
из уравнения	e	x dx
	0
Вычисляя интеграл, получим
						1 e	,
где	ln(1	)	.
Учитывая, что величина 1						, распределена также как и , получим
окончательную формулу для розыгрыша

ln

Остается выяснить, как выбирать случайное направление нейтрона по-

сле рассеяния. Можно доказать, что требование изотропности рассеяния рав-

носильно требованию чтобы косинус угла рассеяния был равномерно рас-

пределѐн в интервале (-1, 1).

Таким образом, розыгрыш угла рассеяния следует проводить по форму-

ле: cos	2	1
Итак,		на первом этапе вычисляем случайную величину и проверяем
условие	>H. Если условие выполнено, то нейтрон прошел через пласт, счет

траекторий заканчивается и добавляется единица к счетчику прошедших час-

тиц. В противном случае, проверяется условие <0. Если выполнено это

условие, то счет траекторий заканчивается и добавляется единица к числу

45

отраженных частиц. Если и это условие не выполнено, т.е. 0< <H, значит,

произошло столкновение. Тогда с помощью нового случайного числа про-

веряем условие П . Если неравенство выполнено, то добавляется единица

к числу поглощенных частиц и переходим к новой траектории. Если нет, то считаем, что нейтрон испытал рассеяние, разыгрываем новое значение угла рассеяния по формуле: cos 2 1 и повторяем все сначала.

После того как будут рассчитаны все N траекторий, получим, что N1

нейтронов прошли через пласт, N2 нейтронов отразились, а N3 поглотились в пласте.

Отметим, что ММК позволяет решать значительно более сложные зада-

чи, например, расчет числа частиц, попавших в детектор применительно к плоской и скважинной геометрии. При этом среда может состоять из раз-

личных веществ и иметь любую геометрическую форму, энергия частиц при столкновении может изменяться, а рассеяние не быть изотропным.

46

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 РАСЧЕТ ПРОХОЖДЕНИЯ НЕЙТРОНОВ ЧЕРЕЗ ПЛАСТ БЕСНОНЕЧНОГО

ПРОСТИРАНИЯ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

Постановка задачи

Пусть на пласт мощностью H бесконечного простирания, состоящего из смеси SiO2 и B2O3 падает N0 нейтронов перпендикулярно поверхности пласта (см. рис. 25).

N0

n01

N2

N3

H

N1

Рис.25. Прохождение нейтронов через пласт. N0 – начальное количество нейтронов; N1 –

количество нейтронов, прошедших сквозь пласт, N2 – количество отраженных нейтронов;

N3 – количество нейтронов, поглощенных в пласте

Рассчитать N1 – количество нейтронов, прошедших сквозь пласт, N2 – количество отраженных нейтронов; N3 – количество нейтронов, поглощенных в пласте. Принять, что плотность пласта составляет 3 106 кг/м3, мощность пласта H = 0,1 м, N0 = 100000 нейтронов. Концентрация B2O3 изменяется от 0,01 до 1 %, а SiO2 от 99,99 до 99 % соответственно.

47

Микроскопические сечения рассеяния и поглощения для элементов,

входящих в состав пласта, приведены в таблице 3.

			Таблица 3
	Микроскопические сечения рассеяния и поглощения
		Сечение поглощения	Сечение рассеяния
Элемент		п 1028 м2	р 1028 м2
105 B		760	4
168 O		0,0002	4,2
1428Si		0,16	1,7

Вычислим макроскопические сечения поглощения ( п) и рассеяния ( р)

пласта для случая:

CSiO2 99%

CB2O3 1%

Макроскопические сечения					п и	р	пласта рассчитываются по формулам:
			NSiO (	Si	2	O	NB O (2		B	3	O
		П		П		П )			П		П )
			2				2	3
			NSiO (	Si	2	O	NB O (2		B	3	O
		Р		Р		Р )			Р		Р ),
			2				2	3
где NSiO	и NB O – количество атомов в единице объема SiO2 и B2O3 соответ-
2	2	3

ственно. Количество атомов в единице объема (Nx) определяется по формуле:

		N			NA		CX	,
			X
						X
где – плотность вещества, N	A		6.02 1023				– число Авогадро, C – концентра-
								X
ция вещества, X – молекулярная масса вещества.
Тогда количество атомов NSiO				и NB O			будет равно соответственно:
			2	2		3
				48

NSiO			NA	CSiO		3 106 0,99 6,02 1023						3 1028
				2
						28			2 16
	2
			SiO2
NB O			N A	CB O		3 106 0,01 6,02 1023					2,6 1026
				2 3
						2 10			3 16
2	3
			B2O3

Следовательно, макроскопические сечения

п и

р пласта будут равны:

NSiO (

Si

O

NB O (2

B

3

O

3 10

28

(0,16 2 0,00002) 10

28

П

П

2 П )

П

П )

2

2

3

2,6 1026 (2 760

3 0,0002) 10 28

0, 48

39,5

40м 1

NSiO (

Si

O

NB O (2

B

3

O

3 10

28

(1,7

2 4, 2) 10

28

Р

Р

2 Р )

Р

Р )

2

2

3

2,6 1026 (2 4

3 4, 2) 10 28

30,3

0,5

30,8м 1

Аналогично для концентраций C

SiO2

99, 9% и

C

B2O3

0,1% получим

П

0,48

4

4,5м 1

Р

30,3

0,05

30,3м 1

Для концентраций C

99, 99%

и C

B2O3

0, 01% получим

SiO2

П

0,48

0,4

0,88м 1

Р

30,3м 1

Легко заметить, что

п и

р можно рассчитать по следующим приблизи-

тельным формулам:

П

Р

0, 48 40 CB2O3 %

30,3 const

49

ЗА Д А Н И Е

1.Рассчитать сечения поглощения ( п) и рассеяния ( р) для 20-25 значений концентраций SiO2 и B2O3.

2.Загрузить программу «Project.exe» из папки «MONT». Рассчитать количе-

ство N1 – количество нейтронов, прошедших сквозь пласт, N2 – количество отраженных нейтронов, N3 – количество нейтронов, поглощенных в пласте для найденных значений макроскопических сечений. Данные занести в таб-

лицу 4.

Таблица 4

Расчет количества прошедших (N1), отраженных (N2) и поглощенных (N3) нейтронов в зависимости от концентрации SiO2 и B2O3

		Сечение	Сечение	Количество	Количество	Количество
CSiO2	CB2O3	поглощения,	рассеяния,	прошедших	отраженных	поглощенных
%	%			нейтронов	нейтронов	нейтронов
		П , м-1	Р , м-1
				N1	N2	N3

3.Для концентрации B2O3 провести аналогичные расчеты при различной мощности пласта.

4.Для различных концентраций B2O3 рассчитать диффузионные характери-

стики пласта:

а) длина пробега нейтрона

		1		–	длина пробега нейтронов до поглощения;
П
		П
		1		–	длина пробега нейтронов до рассеяния;
Р
		Р

50