пускаемое напряжение назначается как некоторая часть преде­ ла текучести:

Величину п' называют коэффициентом запаса прочности по пределу текучести.

§5. Простейшие статически неопределимые задачи

Врассмотренных выше задачах можно было найти усилия в любом элементе системы, пользуясь лишь уравнениями равнове­ сия твердого тела. Однако имеется большое число практически

важных задач, при решении которых для определения усилий в

о )

.

8)

Фиг. 3. 14. Пример статически неопределимой задачи.

а— груз Р удерживается тремя тягами; б—схема равновесна узла — количество неизвестных усилий превышает количество уравнений равновесия; в — схема деформации системы (дающая дополнительное уравнение).

элементах системы уравнений статики недостаточно. Такие си­ стемы называются статически неопределимыми. Например, фер­ ма с шарнирными узлами, содержащая стержней больше, чем требуется по формулам (1) и (2) главы II, является статически неопределимой. Статически неопределимые системы будут под­ робно рассмотрены в главах VII и XII, в настоящем же парагра­ фе показываются основные принципы решения статически неопре­ делимых систем на нескольких простейших примерах.

Чтобы наглядно представить разницу между статически опре­ делимой системой и статически неопределимой, сравним две за­ дачи: 1) груз подвешен к двухстержневому узлу (фиг. 3. 6,а) и 2) груз подвешен к трехстержневому узлу (фиг. 3. 14,а). Первая из них была решена в § 2 при помощи двух уравнений равнове­ сия. Эта задача статически определима. При решении второй за­ дачи, вырезав трехстержневой узел (фиг. 3. 14,6), попрежнему

86

получим только два уравнения равновесия, так как все силы пе­ ресекаются в одной точке:

yVjSina— yV2sina = 0,	(9)
A^cosa + A^cosa + Afg —Р = 0 .	(10)

Эти уравнения содержат три неизвестных N,, N2, Ns. Задача ста­ тически неопределима. Для решения статически неопределимых задач, помимо уравнений равновесия, необходимо составлять до­ полнительные уравнения, исходя из деформации системы. Рас­ смотрим конкретные примеры расчета.

Пример 1. Груз Р=1000 кг подвешен на трех стержнях (фиг. 3. 14,а). Первый и второй стержни имеют одинаковую же-

HF

сткость EF, а третий имеет жесткость ESF3= — .Угол а = 60°. Тре­

буется определить усилия в стержнях.

Дополнительное уравнение деформации составляем, рас­ сматривая перемещения узла А (фиг. 3.14, в). Принимая во внимание соображения, изложенные в примере 2, § 2, уста­ навливаем, что Д /^д/дС оэа. Выражаем удлинения через уси­

	лия по закону	пропорциональности
		ΝχΙ	Ν φ
		δ	/3 —
		E F ’	Еф'я
	и подставляем	их в уравнение	деформации,	учитывая, что
	Тогда	cos а
		Ν φ _Ν φ COS a		/, , \
		ЕЕ cos а	Е3Е3

Полученное уравнение совместно с уравнениями равновесия

(9) и (10) позволяет определить три неизвестных усилия Nu N2 и Ν3. Из уравнения (9) находим, что Ν ^ Ν ^ . Уравнения (10) и (11) переписываем, принимая во внимание числовые значения Р и a и заменяя N2 через Np

^ -0 ,5 -2 + ^3 -1 0 0 0 = 0,

= N 3-0,5-2.

	0,5	3
Отсюда находим N3= 333 кг и 1Ѵ3= 667 кг.
Пример 2. Т е м п е р а т у р н ы е н а п р я ж е н и я . Стержень
длиной I (фиг. 3. 15,а)	закреплен своими концами		в абсолютно
неподвижные блоки А	и В	я нагревается от tx до	t2 градусов.

Определить напряжения в стержне, если он имеет площадь сече­ ния F, модуль упругости материала стержня Е и коэффициент температурного расширения а.

87

При нагревании стержень расширяется и давит на блоки. Со­ противление блоков передается на стержень в виде сил N (фиг. 3. 15,в). Из условия равновесия в этом случае следует лишь то, что эти силы одинаковы. Обратимся к условию деформации: удлинение Alt стержня от нагревания и укорочение Δ/д, от дей­ ствия сил N равны между собой, потому что длина стержня, за­

жатого блоками, не изменяется:

Alt— AlN.

(а)

Фиг. 3. 15. Температурные напряжения

встатически неопределимой системе.

а— брус с заделанными концами под­ вергается нагреванию: б— в свободном

состоянии	брус	удлинился бы на Δ/^;
в — реакции заделки N препятствуют
удлинению	(Д/дг =	Δ/Ц — брус напряжен.

Коэффициент а выража­ ет удлинение единицы дли­ ны при нагревании на 1°С, а стержень имеет I единиц длины и нагревается на

градусов, следова­ тельно, полное удлинение при нагревании равно Δ/, =

— α ΐ ^ — ίχ). Укорочение стержня зависит от усилия N по закону пропорцио­

нальности: Л/дг= — . Под-

EF

ставляя выражения Alt и \ l N в уравнение деформа­ ции (а), получаем

<xl(t2 t\) — т.

E F '

Отсюда N = x{t2— t^)EF. Напряжение в стержне будет σ =

= N- r = o .( t~ tl)B.

F

Напряжение, возникающее в стержне от нагрева, пропорцио­ нально коэффициенту линейного расширения, модулю упру­ гости Е и разности температур, но не зависит ни от длины, ни от размеров поперечного сечения стержня. Температурные напря­ жения могут быть весьма значительными. Так, например, для стального стержня а = 0,000 012 и £ = 2 000 000 кг/см2. Если t —/,=50° С, то о =0,000 012 · 2 000 000 · 50= 1200 кг/см2.

Н е т о ч н о с т ь	и з г о т о в л е н и я . Если элементы стати­
чески определимой	системы изготовлены неточно, то от этого

изменяется лишь геометрическая форма конструкции. Если же конструкция статически неопределима и некоторые ее элементы изготовлены неточно, то после сборки такой системы в ней по­ являются напряжения и при отсутствии нагрузки.

Пример 3. Два абсолютно жестких блока необходимо соеди­ нить тремя одинаковыми стержнями длиной I (фиг. 3. 16). Оказа­ лось, что стержень, который решили поставить в середину, изго-

88

товлен на величину 3 короче других. Определить напряжения* которые появляются в стержнях при сборке.

Чтобы собрать систему, необходимо средний стержень растя­ нуть, а крайние сжать. В стержнях появятся усилия: сжимающие в крайних — У, и N2 и растягивающее в среднем — N3. Разрезая собранную систему и заменяя действие отброшенной части уси­ лиями N (фиг. 3. 16,6), можно составить только два уравнения равновесия: уравнение моментов, например, относительно точки А, ΝΛα—Ν„α= 0 и уравнение проекций на горизонтальную ось —

N -N ,+ N ,= 0 .

Фиг. 3.16. Неточно изготовленная статически неопределимая система напрягается при сборке.

а — средняя тяга	изготовлена короче	других;	б — после
сборки она будет растянута, а другие тяги			сжаты.
Но неизвестных	усилий три, и	необходимо		обратиться
к уравнению деформации. Оно выражает условие,				что в ре­

зультате удлинения среднего стержня на Δ/3 и укорочения

крайних на Д^ = Δ(2 устраняется			разница	8 в длинах стержней
(фиг. 3.16,а),	т. e.	4/j-j-A/3 = 8.	Но по закону пропорциональ­
ности	и	Δ4 = ^ · При подсчете		Δ/, мы принимаем,

что средний стержень тоже имеет длину I. Ошибка, при этом получаемая, незначительна. Уравнение деформации, выражен­

ное через усилия, принимает вид ^			+		или ^ і + ^з =
_EFd
l		деформации	совместно с уравнениями
Решая уравнение
равновесия,	получаем	ЕРЪ	, Ν 3=		2EFb
		Л^ = У2 = —			------ . Напряжения
др	9йР	3/			3/
				/: = 2 000 000 кг/см2
Qj = <з2 = —·,	σ3 = ---- . Пусть, например,
3/	3/

>I

и0 = — , тогда

2000

2 000 000 1000 = 333 кг/см2, з3 = 666 кг/см*.

3-2000

83