Глава IV

СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

§ 1. Напряжения в наклонных сечениях

Исследуем напряжения в наклонных сечениях растянутого· стержня. Проведем сечение пі (фиг. 4. 1), образующее угол а. с поперечным сечением пт. Отбросим верхнюю часть и прило-

Фиг. 4. 1. Напряжения в наклонных сечениях.

а — наклонное сечение; б — распределение полных напряжений; в — со­

ставляющие полного	напряжения;	г — распределение нормальных
и	касательных	напряжений.

жим к нижней части внутренние силы взаимодействия между частями, предполагая их распределенными равномерно по на­ клонному сечению (фиг. 4. 1,6), как это было принято в § 1 пре­ дыдущей главы для поперечного сечения. Внутренние силы на-

9S

правлень/ параллельно растягивающей силе, т. е. вдоль оси стержня, и в сумме составляют силу N. Из условия равновесия оставшейся части N=P. Разделив силу N на площадь наклонного сечения Fa, получаем в этом сечении напряжение, которое назы­ вается полным напряжением:

( 1)

Площадь наклонного сечения F* можно выразить через площадь поперечного сечения F:

			р — _F_		·
			i а —
			COS а
Подставляя			значение Fa в	уравнение (1)				и принимая во
внимание, что			N
			— = σ, получаем
			F					/0 4
			N
			ра = — cos а = acos а.					(2)
Полное		напряжение рЛ разложим в каждой						точке сечения
на две	составляющих (фиг. 4.1, в). Одну из них, σα, направим
перпендикулярно к сечению, а вторую,							τ„, — параллельно пло­
скости	сечения. Угол между			ра и		σα	равен	углу a между
наклонным		и поперечным сечениями,				так как р « перпендику­

лярно поперечному сечению, а «„—наклонному. Поэтому σα = = р аcos a и Ta = pasina. Подставляя сюда р а из уравнения (2),

находим
acos2a,	τα = σ cos a sin a ==— sin 2a.		(3)
		2
Составляющая в „	является	нормальным напряжением, а
τ, — касательным напряжением		в рассматриваемом	наклонном

сечении. Они распределены сплошь по всему сечению (фиг. 4.1,г). Таким образом при центральном растяжении или сжатии в лю­

бом наклонном сечении	одновременно возникают нормальные
напряжения σα и касательные напряжения τ α, зависящие		от
нормальных напряжений	о в поперечном сечении и от угла	a

между сечениями. Это можно иллюстрировать следующим при­ мером.

Разрежем стержень на две части по наклонной плоскости. Если поверхность разреза гладкая, то при действии сжимающих' сил произойдет скольжение одной части относительно другой (фиг. 4. 2,а). Но если сечение сделать с зубом (фиг. 4. 2,6), то скольжения не будет. Зуб воспримет на себя касательную силу Та, которая стремится его сколоть (фиг. 4. 2,е). В неразрезан­ ном стержне роль зуба выполняют силы сцепления между ча­ стицами материала. Они препятствуют скольжению одних частиц относительно других — возникают касательные напряжения τ„, распределенные по всей наклонной плоскости.

96

Условимся о правиле знаков. Будем считать растягивающие

нормальные

напряжения

положительными

(фиг.

4.3,а и в),

а сжимающие — отрицательными

(фиг. 4.3,6 и г).

Касательное

напряжение

будем

счи­

тать положительным, если

оно

направлено

вправо

для

наблюдателя А,

на­

ходящегося

на

рассмат­

риваемой

части

бруса

(фиг. 4. 3,а и б), и отрица­

тельным, если оно направ­

лено

влево

(фиг. 4. 3,в и

г). Положительные каса­

тельные

напряжения

со­

здают

относительно

лю­

бой точки на той части

бруса, к которой они при­

ложены, момент, вращаю­

щий

по

часовой

стрелке.

Момент

отрицательных

касательных

напряжений

Фиг.

4.2.

Появление

касательных сил

вращает эту часть против

в

наклонном

сечении.

часовой стрелки.

Угол а

а — одна часть разрезанного бруса скользит

считается положительным,

по другой;

б— скольжение

задержано зу­

бом; в — касательная

сила,

скалывающая

если

наклонное

сечение

зуб.

повернуто

относительно

(фиг. 4. 1).

поперечного сечения против часовой стрелки

Рассмотрим, как изменяется напряжение σα в зависимости

от изменения угла а.

По

уравнению

(3) наибольшее значение

Фиг. 4.3. Правило знаков напряжений.

а — растягивающее нормальное напряжение поло­ жительно, положительное касательное напряжение действует по часовой стрелке; б— сжимающее нор­ мальное напряжение отрицательно; в ·— отрицатель­ ное касательное напряжение действует против часо­

вой стрелки; г — оба напряжения отрицательны.

оно имеет при а = 0, т. е. когда наклонное сечение совпадает с поперечным сечением стержня, потому что косинус угла а.=0 по­ лучает максимальное свое значение, равное единице, и σα = σ0 =

7 Основы строительной механики

97

— а — — . Нормальное напряжение в поперечном сечении растя-

Р

нутого или сжатого стержня по величине больше, чем в любом наклонном сечении. При а=90°, т. е. когда площадка F„ па­

раллельна оси стержня, по уравнению (3) получаем,	что с =0,
так как cos90°=0. Это значит, что при растяжении	и сжатии

продольные волокна, которые можно мысленно представить в брусе, друг на друга не давят.

Исследуем изменение касательных напряжений х«. В попе­

речных сечениях бруса, т. е. когда		а = 0,	касательные напряже­
ния по уравнению (3)	равны нулю, так как sin 2<х=0. Наиболь­
шее значение sin 2α = 1 получается		при	угле 2а = 90° или при
а = 45°. Касательные	напряжения здесь		достигают наибольшей
величины

Наибольшее касательное напряжение при растяжении или сжа­ тии равно по величине половине наибольшего нормального на­ пряжения и возникает на площадке, наклоненной под .углом 45° к оси стержня. На площадках, параллельных оси стержня, т. е. когда а=90°, касательные напряжения равны нулю, так как при этом sin 2 а —sin 180°=0.

З а к о н п а р н о с т и к а с а т е л ь н ы х н а п р я ж е н и й .

Касательные напряжения в любых двух взаимно перпендикуляр­ ных площадках, направленные перпендикулярно линии пере­ сечения площадок, равны по величине и обратны по знаку. Для доказательства этого положения рассмотрим площадку пі (фиг. 4. 4,а), наклоненную под углом а. По формуле (3) для нее

получаем касательное напряжение τα = — sin 2α. Теперь рас­

смотрим другую площадку пт, расположенную под углом 90° к первой. Чтобы получить касательное напряжение на этой пло­ щадке, в формулу (3) нужно подставить вместо а угол а+90°:

та+90= -Д sin 2 (а -f-90°).

Так как

sin 2(а + 90°) = sin (2а + 180°) = — sin 2a,

то касательное напряжение на площадке пт равно

τα+90=----Sin ^α"

Сравнивая его с τα, видим, что они равны по величине, но имеют разные знаки

τα+90. (5)

На фиг. 4. 4,6 показаны напряжения а и τ на четырех пло­ щадках, ограничивающих прямоугольный элемент mnlk, выде­ ленный из стержня.

98

Закон парности касательных напряжений является общим свойством любого напряженного состояния. Если установлено, что в какой-нибудь площадке возникает касательное напряже-

Фиг. 4.4. Закон парности касательных напряжений.

а — взаимно перпендикулярные	площадки; б — напряжения
во взаимно перпендикулярных	гранях элемента бруса.

ние, то в площадке, ей перпендикулярной, также возникает та­ кое же по величине касательное напряжение в соответствии с за­ коном парности.

Пример 1. Определим величину нормальных и касательных напряжений в косом сварном шве, соединяющем две части растя-

Фиг. 4.5. Косой сварной шов.

нутой полосы (фиг. 4. 5), если ширина полосы Ь= 6 см, толщина і = 0,5 см, сила N=2400 кг и угол а=45°.

7*

99