2. Ортогональные проекции геометричЕских фигур

Как было показано ранее, проекцией точки при ортогональном проецировании называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость проекций. Число, выражающее длину этогоперпендикуляра от точки до ее проекции, называется координатой точки.Поэтому пространственная модель ортогонального проецирования точки на две или на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций совпадает с прямоугольной системой декартовых координат.

В методе ортогонального проецирования положение точки определяется двумя проекциями (изображениями), а в методе прямоугольных координат тремя координатами (числами).

Поместим начало координат в точкеОнаоси абсцисс x (рис. 2.1). Направимось ординат y по плоскостиП₁, аось аппликат zпо плоскостиП₂. Два пересекающихся проецирующих лучаАА₁иАА₂определяют плоскость, перпендикулярную осиx. Эта плоскость пересекается с осьюxв точкеА₁₂и с плоскостямиП₁иП₂по прямымА₁А₁₂иА₂А₁₂. При этом образуется прямоугольник координатАА₁А₁₂А₂. ТогдаОА₁₂=x_А;АА₁=А₂А₁₂=z_А;АА₂=А₁А₁₂=y_А, гдеz_А иy_А - соответственно координаты, определяющие расстояния от точкиАдо плоскостей проекцийП₁иП₂.

2.1. Проекции точки

2.1.1. Комплексный двухкартинный чертеж точки.

Плоскости П₁иП₂принято называтьгоризонтальнойифронтальной плоскостями проекций, а проекции точек и других геометрических фигур на эти плоскости - соответственногоризонтальнымиифронтальными проекциями.

Пространственная модель плоскостей проекций с заданными на них горизонтальной и фронтальной проекциямиА₁иА₂точкиА(рис. 2.2) хотя и определяет положение точкиАв пространстве, но неудобна в использовании. Для того, чтобы превратить пространственную систему плоскостей проекций в плоскую фигуру,совмещаем плоскости проекций. При этом плоскостьП₁, вращаясь вокруг осиx, опускается вниз до совмещения с плоскостьюП₂. На рис. 2.3 изображены совмещенные плоскости проекций

и проекции точек на них.

Совмещенные плоскости проекций изображаются с помощью проекций осей координат - оси x₁₂, представляющей собой слившиеся горизонтальную и фронтальную проекции осиx, осиz₂ - фронтальной проекции осиz, и осиy₁ - горизонтальной проекции осиy. Осиz₂иy₁расположены вертикально по одной прямой и по разные стороны от точкиО. В ряде случаев осиz₂иy₁не обозначают (рис. 2.4).

Поле чертежа представляет собой проекции совмещенных плоскостей проекций, а весь чертеж является моделью трехмерного пространства.

Вместе с проекциями А₁,А₂точки Аи прямой, связывающей эти проекции, рис. 2.3 и рис. 2.4 каждый представляют собойдвухкартинный комплексный чертежточки (эпюрточки).

Впервые описал и обосновал комплексный чертеж точки, применяя совмещение плоскостей проекций, известный французский ученый Гаспар Монж, который жил и творил во времена Великой Французской революции.

Труд «Начертательная геометрия» был написан Монжем в 1775 году. В те времена метод Монжа было военной тайной, так как этот метод давал большие преимущества французской промышленности. Монжу разрешили опубликовать свой труд только в 1795 году, через 20 лет.

Метод изображения с помощью совмещения плоскостей проекций вошел в историю техники как метод Монжа.

Отличительной особенностью комплексного чертежа точки является то, что горизонтальная и фронтальная проекции точкиАвсегдалежат на одном перпендикуляре к горизонтальной оси x₁₂ эпюра.Действительно, порознь имеет местоА₁Аx₁x₁иА₂Аx₂x₂, но так как горизонтальная и фронтальная проекции осиx₁иx₂совпадают, образуяx₁₂, и проекции точкиАx₁иАx₂совпадают, образуяА₁₂, а при вращенииП₁вокруг осиxотрезкиА₁Аx₁иА₂Аx₂не меняют своего положения по отношению к одноименным проекциям осиx, то после совмещения получается, что из одной точкиА₁₂слившихся проекций осиx₁₂выходят два отрезкаА₁₂А₂иА₁₂А₁ ,порознь перпендикулярные к этой оси. Следовательно, эти отрезки лежат на одной прямой.

Перпендикуляр к оси эпюра, связывающий проекции А₁иА₂, называетсялинией проекционной связи.

Комплексный чертеж точки вполне определяет ее положение в пространстве.

2.1.2. Замена плоскостей проекций. Плоскостей, перпендикулярных к плоскостиП₁, кроме плоскостиП₂, можно провести множество, и точно также к плоскостиП₂можно провести множество перпендикулярных плоскостей.

Рассмотрим, каким образом необходимо преобразовать чертеж, чтобы заменить плоскость П₂наП₄ , причемП₄П₁. На рис. 2.5 изображена система плоскостей проекцийП₁-П₂с осьюx₁₂. Назовем ее старой системой. Введем плоскостьП₄, перпендикулярнуюП₁. Новая система плоскостей проекцийП₁-П₄имеет ось проекцийx₁₄. Проекциями точкиАв старой системе былиА₁иА₂, а в новой системе сталиА₁иА₄. ТочкаА₄получена ортогональным проецированием точкиАна плоскостьП₄. На осях проекцийx₁₂иx₁₄не отмечено начало координат, потому что координатаxв данном преобразовании не нужна.

При замене одной из плоскостей проекций, как видно из рис. 2.5, имеется два инварианта(величины, остающиеся постоянными при преобразованиях):

1) проекция точки на незаменённую плоскость проекций.В данном случае это точкаА₁;

2) расстояние точки до незаменённой плоскости проекций.В данном случае этоz_А.

На рис. 2.6 показано построение проекции точки А₄по даннымА₁иА₂и имеющемуся направлению новой оси проекцииx₁₄при заменеП₂наП₄. На этом рисунке даны старая и новая оси проекций. Около каждой оси отмечены плоскости проекций, пересечением которых они являются.

Из точки А₁, которая является инвариантом при данном преобразовании, проводим линию связи перпендикулярно к осиx₁₄. От точки пересечения линии связиА₁₄с осьюx₁₄откладываем второй инвариант - расстояние точкиАдо плоскостиП₁. ТогдаА₁₄А₄=z_А=А₁₂А₂.

На рис. 2.7 показано преобразование чертежа, при котором заменена плоскость П₁наП₅. Здесь инвариантами являются проекцияА₂и расстояние до незамененной плоскостиП₂. Построения понятны из чертежа. Очевидно, чтоА₂₅А₅=y_А=А₁А₁₂.

Если необходимо заменить обе плоскости проекций, то преобразование нужно выполнять последовательно: сначала заменить одну плоскость проекций, а потом вторую.

На рис. 2.8 показано преобразование, в котором система П₁-П₂заменена на системуП₅-П₆. Сначала заменена плоскостьП₁наП₅, а после этогоП₂наП₆.

2.1.3. Комплексный трехкартинный чертеж точки.Оси проекцийzиy(рис. 2.1) образуют плоскость, перпендикулярную к осиxи к плоскостямП₁иП₂. Обозначим эту плоскостьП₃и назовем еепрофильной плоскостью проекций.

Построение профильной проекции точки.Профильную проекциюА₃точкиАна плоскостьП₃найдем, заменивП₁наП₃(рис. 2.9).

В данном преобразовании старая система плоскостей проекций П₁-П₂заменяется на новуюП₂-П₃. ПроекцияА₂остается неизменной. Из точкиА₂проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций, и вдоль нее от новой оси откладываем второй инвариант - расстояние точкиАдо плоскостиП₂, равноеy_А=А₁А₁₂.

Новая ось проекций должна быть названа x₂₃, но, учитывая традиции в изучении начертательной геометрии и то, что новая ось совпадает с осьюz, мы вместоx₂₃напишемz₂₃.

На рис. 2.10 и рис. 2.11 показаны практические приемы построения профильной проекции точки. Из точки А₂в обоих случаях проводится линия связи, параллельная горизонтальной оси эпюра. Вдоль этой линии от точкиА₂₃откладывается отрезок, равныйy_А=А₁А₁₂. На рис. 2.10 эта операция производится с помощью дуги окружности, на рис. 2.11 с помощью отражения от прямой, проведенной под углом 45⁰к горизонтальной оси чертежа. Порядок построения показан стрелками.

Параллелепипед координат.На рис. 2.12 показана пространственная модель плоскостей проекций и построены проекции точкиАна горизонтальную -А₁, фронтальную -А₂и профильную -А₃ плоскости проекций. Если плоскости проекций продолжить во все стороны, то они разобьют пространство на 8 частей, называемыхоктантами. Ограничимся рассмотрением проекций фигур, находящихся в первом октанте, которому соответствуют положительные направления осей.

При проецировании точки на плоскости проекций образуется параллелепипед, у которого три пространственных ребра АА₁,АА₂иАА₃совпадают с проецирующими лучами. Шесть ребер параллелепипеда лежат на плоскостях проекций - по два ребра на каждой:А₁А₁₂иА₁А₁₃наП₁;А₂А₁₂иА₂А₂₃наП₂;А₃А₁₃иА₃А₂₃наП₃. Эти ребра образуются пересечением плоскостей, заданных парами пересекающихся проецирующих лучей, с плоскостями проекций.

Последние три ребра совпадают с осями проекций: А₁₂О - с осьюx₁₂,А₁₃О - с осьюy₁₃иА₂₃О - с осьюz₂₃.

Так как данная система плоскостей проекций совпадает с прямоугольной системой координат, то полученный параллелепипед можно назвать параллелепипедом координат.

Совмещение плоскостей проекций осуществляем как и для случая построения комплексного двухкартинного чертежа точки. Плоскость П₁при этом вращается вокруг осиx₁₂до совмещения с плоскостьюП₂, и горизонтальная проекция осиу₁опускается вниз (рис. 2.13). ПлоскостьП₃вращается вокруг осиz₂₃вправо до совмещения с плоскостьюП₂. При этом осих₁₂иz₂₃остаются на месте. Профильная проекция осиу₃поворачивается вместе с плоскостьюП₃вправо и встает на одну линию с осьюх₁₂.

На рис. 2.14 показан комплексный трехкартинный чертеж(эпюр) точкиА. Также как и для комплексного двухкартинного чертежа точки в данном случае имеем:

1) горизонтальная и фронтальная проекции точки А лежат на одной прямой, перпендикулярной к оси х₁₂, т.е.А₁А₂х₁₂;

2) фронтальная и профильная проекции точки А лежат на одной прямой, перпендикулярной к оси z₂₃, т.е.А₂А₃z₂₃. Доказательство этого положения аналогично приведенному ранее для комплексного двухкартинного чертежа точки, но только по отношению к осиz₂₃.

Проекции точек, лежащих на плоскостях проекций.Проекции точки, лежащей на плоскости, можно получить, приравнивая нулю соответствующую координату, так как координата – отрезок, выражающий расстояние от точки до плоскости проекции (рис.2.15).

Рис. 2.15

Поэтому, если z_А=0, тоАП₁(рис. 2.15,а). Приу_А=0АП₂(рис. 2.15,б) и, когдах_А=0,АП₃(рис. 2.15,в).

Проекции точек, лежащих на осях проекций. На рис. 2.16 рассмотрены случаи, когда точкаА лежит на осях проекций:Аx (рис. 2.16,а); Аy (рис. 2.16,б); Аz(рис. 2.16,в).

Построение проекций точек по координатам. Последовательность построения проекций точкиА (x_A, y_A, z_A) следующая (рис. 2.17):

1) От точки Овдоль осих₁₂откладываем отрезок длинойx_Aи отмечаем точкуА₁₂.

2) Через точкуА₁₂проводим линию проекционной связи перпендикулярно осих₁₂.

3) Вниз на линии проекционной связи от точки А₁₂откладываем отрезок длинойy_Aи получаем горизонтальную проекциюА₁.

4) Вверх на линии проекционной связи от точки А₁₂откладываем отрезок длинойz_Aи получаем фронтальную проекциюА₂.

5) Строим профильную проекцию А₃, для чего из точкиА₂проводим линию проек-ионной связи перпендикулярно осиz₂₃и от полученной точкиА₂₃откладываем отрезок длинойy_A.