Применение теории определителей к решению и исследованию систем линейных уравнений

Рассмотрим систему трех уравнений:

a11 ^. x1+a12 ^. x2+ a13 ^. x3=b1
a21 ^. x1+a22 ^. x2 + a23 ^. x3=b2	(1)
a31 ^. x1+a32 ^. x2+a33 ^. x3=b3

Будем, как в первой лекции, обозначать символами А₁₁, А₁₂, … алгебраические дополнения элементов а₁₁, а₁₂, … определителя

	a11	a12	a13
D =	a21	a22	a23		(2)
	a31	a32	a33

Умножим обе части первого уравнения системы (1) на А₁₁, второго - на А₂₁, третьего - на А₃₁ и затем почленно сложим эти уравнения:

(a₁₁ ^. A₁₁ + a₂₁ ^. A₂₁ + a₃₁ ^. A₃₁) ^. x₁ + (a₁₂ ^. A₁₁ + a₂₂ ^. A₂₁ + a₃₂ ^. A₃₁) ^. x₂ + (a₁₃ ^. A₁₁ + a₂₃ ^. A₂₁ + a₃₃ ^. A₃₁) ^. x₃ = b₁ ^. A₁₁ + b₂ ^. A₂₁ + b₃ ^. A₃₁

Отсюда и на основании свойств 9 и 10 определителя имеем:

D ^. x1 = b1 ^. A11 + b2 ^. A21 + b3 ^. A31

(3)

Аналогично найдем:

D ^. x₂ = b₁ ^. A₁₂ + b₂ ^. A₂₂ + b₃ ^. A₃₂ (4)

D ^. x₃ = b₁ ^. A₁₃ + b₂ ^. A₂₃ + b₃ ^. A₃₃ (5)

Правые части уравнения (3), (4) и (5) обозначим соответственно символами , и . Тогда эти уравнения примут вид:

D ^. x₁=, D ^. x₂=, D ^. x₃=, (6)

причем

	b1	a12	a13
=	b2	a22	a23
	b3	a32	a33
	a11	b1	a13
=	a21	b2	a23
	a31	b3	a33
	a11	a12	b1
=	a21	a22	b2
	a31	a32	b3

Определители , , получаются из определителя D в ходе замены соответственно его первого, второго и третьего столбца столбцом свободных членов данной системы.

Предположим, что D не равно нулю. Из уравнения (6) находим:

(7)

Эти формулы называются формулами Крамера. Они определяют решение исходной системы (1). Для доказательства следует подставить в уравнения системы (1) вместо x₁, x₂, x₃ их выражения (7). Убедимся, что, например, первое из них обращается в тождество. Имеем:

a₁₁ ^. x₁ + a₁₂ ^. x₂ + a₁₃ ^. x₃ = a₁₁ ^. +a₁₂ ^. +a₁₃ ^. =

= ^. [a₁₁ ^. (b₁ ^. A₁₁ + b₂ ^. A₂₁ + b₃ ^. A₃₁) + a₁₂ ^. (b₁ ^. A₁₂ + b₂ ^. A₂₂ + b₃ ^. A₃₂) + a₁₃ ^. (b₁ ^. A₁₃ + b₂ ^. A₂₃ + b₃ ^. A₃₃)] =

= ^. [b₁ ^. (a₁₁ ^. A₁₁ + a₁₂ ^. A₁₂ + a₁₃ ^. A₁₃) + b₂ ^. (a₁₁ ^. A₂₁ + a₁₂ ^. A₂₂ + a₁₃ ^. A₂₃) + b₃ ^. (a₁₁ ^. A₃₁ + a₁₂ ^. A₃₂ + a₁₃ ^. A₃₃)]

Но согласно свойству 9 определителей

a₁₁ ^. A₁₁ + a₁₂ ^. A₁₂ + a₁₃ ^. A₁₃ = D ,

а согласно свойству 10

а₁₁ ^. А₂₁ + а₁₂ ^. А₂₂ + а₁₃ ^. А₂₃ = 0

а₁₁ ^. А₃₁ + а₁₂ ^. А₃₂ + а₁₃ ^. А₃₃ = 0

Таким образом,

a₁₁ ^. +a₁₂ ^. +a₁₃ ^. =b₁

Аналогично можно показать, что в тождество обращаются второе и третье уравнения системы.

Приходим к выводу: если определитель D системы (1) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой системы. Оно выражается формулами Крамера (7).

Обобщим изложенное на случай системы n линейных уравнений с n неизвестными. Такая система, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет единственное решение. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получится из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Здесь мне снова хочется сказать похвальное слово в адрес моих учениц(ков). В самостоятельную работу №1, которую я упомянул в первой лекции и на которую буду ссылаться в дальнейшем, включено задание на решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Давайте еще раз насладимся мастерством Лены Гладковой. Вот фрагмент ее решения. Она находит х₃ из системы уравнений (пример 1)

2x₁ + x₃ + 4x₄ = 9

x₁ + 2x₂ - x₃ + x₄ = 8

2x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 5

x₁ - x₂ + 2x₃ + x₄ = -1

1. Запишем систему в виде

2x₁ + 0x₂ + 1x₃ + 4x₄ = 9

1x₁ + 2x₂ - 1x₃ + 1x₄ = 8

2x₁ + 1x₂ + 1x₃ + 1x₄ = 5

1x₁ - 1x₂ + 2x₃ + 1x₄ = -1

2. Найдем

	2	0	1	4
D =	1	2	-1	1
	2	1	1	1
	1	-1	2	1

3. а) Из элементов первого столбца вычтем удвоенные элементы третьего столбца.

б) Из элементов четвертого столбца вычтем элементы третьего, умноженные на -4.

	0	0	1	0
D =	3	2	-1	5
	0	1	1	-3
	-3	-1	2	-7

4. Разложим этот определитель по элементам первой строки:

	3	2	5
D =	0	1	-3
	-3	-1	-7

5. К элементам первой строки прибавим элементы третьей строки:

	0	1	-2
D =	0	1	-3
	-3	-1	-7

6. Разложим этот определитель по элементам первого столбца:

		1	-2
	D = (-3) ^.				1	-3	= (-3) ^. (-3+2) = 3

7. Находим

	2	0	9	4
=	1	2	8	1
	2	1	5	1
	1	-1	-1	1

8. а) К элементам первого столбца прибавим элементы второго столбца.

б) К элементам четвертого столбца прибавим элементы третьего.

в) Из элементов третьего столбца вычтем элементы второго.

	2	0	9	13
=	3	2	6	9
	3	1	4	6
	0	-1	0	0

9. Разложим этот определитель по элементам четвертой строки:

	2	9	13		2	9	13
= (-1) ^.	3	6	9	= (-3) ^.	1	2	3
	3	4	6		3	4	6

10. а) Из элементов первой строки вычтем удвоенные элементы второй.

б) Из элементов третьей строки вычтем элементы второй.

	0	5	7
= (-3) ^.	1	2	3
	0	-2	-3

11. Разложим этот определитель по элементам первого столбца:

		5	7
= (-3) ^. (-1) ^.		-2	-3	= 3 ^. (-15 + 14) = -3

12. Отсюда: х₃ = /D =( -3)/3 = -1

Вернемся к исследованию системы уравнений (1) и рассмотрим случай, когда ее определитель равен нулю. Здесь возможны два варианта.

1) Если в случае D=0 хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система (1) не имеет решений (говорят, что уравнения этой системы несовместны).

Пример 2. Система

x1+x2+x3=2
3x1+2x2+2x3=1
4x1+3x2+3x3=4

не имеет решений, так как D=0, а =1 ≠ 0. В том, что данные уравнения несовместны, видно и непосредственно. Действительно, складывая полученых первые два из них и вычитая полученные результаты из последнего, находим 0=1, т.е. приходим к неправильному неравенству.

2) Если D=0 и также ===0, то система (1) либо совсем не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений. В последнем случае, по крайней мере, одно из уравнений системы будет следствием других. Такая система называется неопределенной.

Пример 3. Система

x1+x2+x3=1
2x1+2x2+2x3=3
3x1+3x2+3x3=4

не имеет решений. Даже первые два уравнения этой системы несовместны.

Пример 4. Система

3x1+x2-x3=1
5x1+2x2+3x3=2
8x1+3x2+2x3=3

имеет бесконечно много решений. Видно, что третье уравнение является следствием двух других. Следовательно, данная система равносильна системе двух уравнений с тремя неизвестными.

3x1+x2-x3=1
5x1+2x2+3x3=2

x₁, x₂ выражаются через х₃, а численное значение х₃ можно выбрать произвольно.