Понятие о ранге матрицы
Минором данной матрицы А называется определитель, составленный из оставшихся элементов матрицы после вычёркивания из неё нескольких строк и столбцов.
Рассмотрим, например, матрицу
|
а |
а12 |
а13 |
а14 |
|
а21 |
а22 |
а23 |
а24 |
|
а31 |
а32 |
а33 |
а34 |
11
Миноры третьего порядка этой матрицы получаются после вычёркивания одного столбца и замены знака матрицы ( ) знаком определителя | |. Их четыре. Миноры второго порядка получаются после вычёркивания двух столбцов и одной строки, их 18. Миноров первого порядка 12.
Рангом матрицы А (rA) называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.
Можно определение ранга сформулировать и так:
рангом матрицы А (rA) называется наибольшее натуральное число, для которого существует не равный нулю определитель k – го порядка, порождаемый матрицей А.
Убедитесь, что, например, ранг матрицы
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
4 |
6 |
р
авен
1 (r
= 1), а
матрицы
|
1 |
-1 |
0 |
|
2 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
равен 2 (r = 2).
Рассмотрим основные методы вычисления ранга матрицы.
Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор k – го порядка M, отличный от нуля. Рассмотрим те миноры (k + 1) – го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдётся ненулевой минор (k + 1) – го порядка и обсуждаемую процедуру придётся повторить.
Пример 3. (Маша Куприянова).
Найти ранг матрицы
|
2 |
5 |
4 |
20 |
|
1 |
3 |
2 |
11 |
|
2 |
10 |
9 |
40 |
|
1 |
8 |
7 |
31 |
Ф
иксируем
минор второго порядка, отличный от нуля:
|
M2 = |
9 |
40 |
≠ 0 |
|
|
7 |
31 |
|
Минор третьего порядка
|
|
3 |
2 |
11 |
|
|
M3 = |
10 |
9 |
40 |
, |
|
|
8 |
7 |
31 |
|
окаймляющий минор М2, также отличен от нуля:
|
M3 = |
3 |
9 |
40 |
-2 |
10 |
40 |
+11 |
10 |
9 |
= | |
|
|
|
|
7 |
31 |
|
8 |
31 |
|
8 |
7 |
|
= -3 + 20 - 22 = -5
Однако минор 4-го порядка
|
|
2 |
5 |
4 |
20 |
|
M4 = |
1 |
3 |
2 |
11 |
|
|
2 |
10 |
9 |
40 |
|
|
1 |
8 |
7 |
31 |
равен нулю (убедимся сами, повторив ход мысли Маши):
|
|
2 |
11 |
10 |
42 |
|
11 |
10 |
42 |
|
|
M4 = |
1 |
5 |
5 |
20 |
= - |
5 |
5 |
20 |
= |
|
|
2 |
6 |
5 |
22 |
|
6 |
5 |
22 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
= - |
|
11 |
5 |
20 |
-10 |
5 |
20 |
+42 |
5 |
5 |
|
|
= |
|
5 |
22 |
6 |
22 |
6 |
5 |
|
|
= - (110+100-210) = 0
С
ледовательно,
рангА
равен трём (rA
= 3).
Если rA = rB, то матрицы А и В называются эквивалентными. Пишут А~В.
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:
Замена строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками;
Перестановка строк матрицы;
Вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю;
Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.
Метод элементарных преобразований основан на том факте, что они не меняют ранга матрицы. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все её элементы, кроме а11, а22, ... аrr (r ≤ min (m, n)), равны нулю. Следовательно ранг матрицы равен r.
Пример 4. Найти ранг матрицы
|
|
2 |
11 |
5 |
2 |
|
A = |
1 |
5 |
2 |
1 |
|
|
2 |
3 |
2 |
-3 |
|
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
Слово опять ей, Лене Гладковой!
|
|
2 |
11 |
5 |
2 |
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
A |
1 |
5 |
2 |
1 |
~ |
1 |
5 |
2 |
1 |
|
|
2 |
3 |
2 |
-3 |
|
2 |
11 |
5 |
2 |
|
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
2 |
3 |
2 |
-3 |
=
Далее проводим следующие преобразования.
а. Элементы первой строки прибавим к соответствующим элементам второй строки;
b
.
Удвоенные элементы первой строки
прибавим к соответствующим элементам
третьей и четвёртой строк:
|
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
A = |
0 |
8 |
3 |
5 |
|
|
0 |
17 |
7 |
10 |
|
|
0 |
9 |
4 |
5 |
2. а. Из элементов четвёртой строки вычтем соответствующие элементы второй строки;
b. Из элементов третьей строки вычтем соответствующие элементы второй строки, умноженные на 2:
|
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
A = |
0 |
8 |
3 |
5 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
3. Из элементов четвёртой строки вычтем соответствующие элементы третьей строки:
|
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
A = |
0 |
8 |
3 |
5 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
4. Вычёркиваем четвёртую строку, так как все её элементы равны нулю:
|
|
-1 |
3 |
1 |
4 |
|
A = |
0 |
8 |
3 |
5 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
5. Из элементов второго столбца вычтем соответствующие элементы третьего столбца:
|
|
-1 |
2 |
1 |
4 |
|
A = |
0 |
5 |
3 |
5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
6. Умножим элементы первой строки на -1 и прибавим к ней соответствующие элементы третьей строки:
|
|
1 |
-2 |
0 |
-4 |
|
A = |
0 |
5 |
3 |
5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
7. Из элементов четвёртого столбца вычтем удвоенные элементы второго столбца:
|
|
1 |
-2 |
0 |
0 |
|
A = |
0 |
5 |
3 |
-5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
8. К элементам второго столбца прибавим удвоенные элементы первого столбца:
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
A = |
0 |
5 |
3 |
-5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
9. К элементам второго столбца прибавим соответствующие элементы четвертого столбца:
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
A = |
0 |
0 |
3 |
-5 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
10. а. Вычёркиваем второй столбец, так как все его элементы равны нулю;
b. Делим элементы четвёртого столбца на -5:
|
|
1 |
0 |
0 |
|
A = |
0 |
3 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
11. Из элементов второй строки вычтем соответствующие элементы третьей строки, умноженных на 3:
|
|
1 |
0 |
0 |
|
A = |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
12. Переставляя строки матрицы А, получаем единичную матрицу.
|
|
1 |
0 |
0 |
|
E = |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
Р
анг
этой матрицы определяется числом единиц
на её главной диагонали и равен 3.
Следовательно, таков же и ранг исходной
матрицы:rA
= 3.
Понятие ранга матрицы широко используется в теории систем линейных уравнений.
Запишем ещё раз систему линейных уравнений, с которой я начинал изложение этой лекции.
|
а |
|
|
|
|
а21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 |
|
|
( 1 ) |
|
а31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 |
|
|
|
11x1
+ a12x2
+ a13x3
= b1
Наряду с матрицей системы,
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
|
A = |
а21 |
а22 |
а23 |
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
введём её расширенную матрицу
|
|
а11 |
а12 |
а13 |
b1 |
|
B = |
а21 |
а22 |
а23 |
b2 |
|
|
а31 |
а32 |
а33 |
b3 |
Вспомним, что система называется совместной, если у неё существует, по крайней мере, одно решение, в противном случае она называется несовместной.
Теорема Кронекера - Капелли. Для совместности системы (1) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы равнялся рангу её расширенной матрицы: rA = rB. Если ранг матрицы А системы меньше ранга расширенной матрицы В, т.е. rA < rB, то данная система несовместна и решения не существует.
Предоставим , читатель, ещё раз слово Маше Куприяновой. Именно ей Вы обязаны знакомством с конспектом этих лекций, именно она совместно с Леной Гладковой взяла на себя нелёгкий труд, напечатав рукопись и отредактировав её. Повторите ход мысли Маши при решении вопроса, является ли совместной система уравнений (пример 5)
|
6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 |
|
3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 3 |
|
3x1 + 2x2 – 2x3 + x4 = -7 |
|
9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2 |
Маша выбрала комплексный подход к определению рангов матрицы А и расширенной матрицы В.
|
|
6 |
4 |
5 |
2 |
3 |
|
6 |
2 |
5 |
2 |
3 |
|
|
А = |
3 |
2 |
4 |
1 |
2 |
~ |
3 |
1 |
4 |
1 |
2 |
~ |
|
|
3 |
2 |
-2 |
1 |
0 |
|
3 |
1 |
-2 |
1 |
0 |
|
|
|
9 |
6 |
1 |
3 |
2 |
|
9 |
3 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
6 |
2 |
5 |
0 |
3 |
|
6 |
2 |
5 |
3 |
|
|
~ |
3 |
1 |
4 |
0 |
2 |
~ |
3 |
1 |
4 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
-2 |
0 |
0 |
|
3 |
1 |
-2 |
0 |
|
|
|
9 |
3 |
1 |
0 |
2 |
|
9 |
3 |
1 |
2 |
|
rA=3
Выписывая расширенную матрицу, отделим элементы матрицы системы (матрицы А) от свободных членов системы.
|
|
6 |
4 |
5 |
2 |
3 |
1 |
|
6 |
2 |
5 |
2 |
3 |
1 |
|
|
В = |
3 |
2 |
4 |
1 |
2 |
3 |
~ |
3 |
1 |
4 |
1 |
2 |
3 |
~ |
|
|
3 |
2 |
-2 |
1 |
0 |
-7 |
|
3 |
1 |
-2 |
1 |
0 |
-7 |
|
|
|
9 |
6 |
1 |
3 |
2 |
2 |
|
9 |
3 |
1 |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
6 |
2 |
5 |
0 |
3 |
1 |
|
6 |
2 |
5 |
3 |
1 |
|
|
~ |
3 |
1 |
4 |
0 |
2 |
3 |
~ |
3 |
1 |
4 |
2 |
3 |
~ |
|
|
3 |
1 |
-2 |
0 |
0 |
-7 |
|
3 |
1 |
-2 |
0 |
-7 |
|
|
|
9 |
3 |
1 |
0 |
2 |
2 |
|
9 |
3 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
5 |
3 |
1 |
|
2 |
0 |
5 |
3 |
1 |
|
|
~ |
1 |
1 |
4 |
2 |
3 |
~ |
1 |
0 |
4 |
2 |
3 |
~ |
|
|
1 |
1 |
-2 |
0 |
-7 |
|
1 |
0 |
-2 |
0 |
-7 |
|
|
|
3 |
3 |
1 |
2 |
2 |
|
3 |
0 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
5 |
3 |
1 |
|
|
~ |
1 |
4 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
-2 |
0 |
-7 |
|
|
|
3 |
1 |
2 |
2 |
|
rB
=
3
Так
какrA
= rB,
то система совместна.
Эту лекцию, как и вторую, закончим обсуждением решения системы линейных уравнений методом Гаусса. Практически удобнее подводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
Слово Кате Чальцевой (ТИ-124).
Решаем систему уравнений (пример 6).
|
–x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 3 |
|
4x1 + 2x2 – 3x3 – 3x4 = 1 |
|
2x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 3 |
|
3x1 + 5x2 + x3 – 2x4 = 5 |
Выпишем матрицу:
|
-1 |
3 |
5 |
2 |
3 |
|
4 |
2 |
-3 |
-3 |
1 |
|
2 |
4 |
3 |
1 |
3 |
|
3 |
5 |
1 |
-2 |
5 |
2) Умножим элементы первой строки на 4, 2, 3 и прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвёртой строки. Получим:
|
-1 |
3 |
5 |
2 |
3 |
|
0 |
14 |
17 |
5 |
13 |
|
0 |
10 |
13 |
5 |
9 |
|
0 |
14 |
16 |
4 |
14 |
3) Вычтем из элементов четвёртой строки соответствующие элементы второй:
|
- |
3 |
5 |
2 |
3 |
|
0 |
14 |
17 |
5 |
13 |
|
0 |
10 |
13 |
5 |
9 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
1
4) Умножим элементы второй строки на 10 и вычтем из соответствующих элементов третьей строки, умноженных на 14:
|
- |
3 |
5 |
2 |
3 |
|
0 |
14 |
17 |
5 |
13 |
|
0 |
0 |
12 |
20 |
-4 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
1
5) Умножим элементы четвёртой строки на 12 и вычтем из соответствующих элементов третьей строки:
|
-1 |
3 |
5 |
2 |
3 |
|
0 |
14 |
17 |
5 |
13 |
|
0 |
0 |
0 |
8 |
8 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
6) Используя полученную матрицу,
выписываем преобразованную систему,
поменяв местами третью и четвёртую
строки:
|
-x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 3 |
|
14x2 + 17x3 + 5x4 = 13 |
|
x3 + x4 = -1 |
|
8x4 = 8 |
Последовательно находим неизвестные: x1=-2, x2=3, x3=-2, x4=1. Мы не прощаемся с матрицами. В дальнейшем мы ещё не один раз обратим на них взор, познакомимся, в частности, с представлениями о дифференцировании и интегрировании матриц, о матричной записи и решении системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Выражаю глубокую благодарность Кате Чальцевой (ТИ-124), прочитавшей рукопись и устранившей замеченные опечатки.
Приложение
Попытаемся ещё раз проанализировать ход мысли Лены Гладковой, отвечающей на вопрос, является ли система уравнений
|
8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21 |
|
3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10 |
|
4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8 |
|
3x1 + 5x2 + x3 + x4 = 15 |
|
7x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18 |
совместной (пример 7).
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
| |||
|
|
8 |
6 |
5 |
2 |
|
0 |
2 |
-1 |
0 |
|
0 |
2 |
-1 |
0 |
|
|
|
3 |
3 |
2 |
1 |
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
A= |
4 |
2 |
3 |
1 |
~ |
4 |
2 |
3 |
1 |
~ |
4 |
2 |
3 |
1 |
~ |
|
|
3 |
5 |
1 |
1 |
|
3 |
5 |
1 |
1 |
|
3 |
5 |
1 |
1 |
|
|
|
7 |
4 |
5 |
2 |
|
7 |
4 |
5 |
2 |
|
7 |
4 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
| |||
|
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
|
|
~ |
4 |
2 |
3 |
1 |
~ |
4 |
0 |
4 |
1 |
~ |
0 |
0 |
4 |
1 |
~ |
|
|
3 |
5 |
1 |
1 |
|
3 |
5 |
1 |
1 |
|
-1 |
5 |
1 |
1 |
|
|
|
7 |
4 |
5 |
2 |
|
7 |
4 |
5 |
2 |
|
-1 |
4 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
| |||
|
|
-1 |
5 |
1 |
1 |
|
-1 |
5 |
1 |
-1 |
|
0 |
1 |
-4 |
-1 |
|
|
~ |
-1 |
4 |
5 |
2 |
~ |
-1 |
4 |
5 |
0 |
~ |
-1 |
4 |
5 |
0 |
~ |
|
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
4 |
1 |
|
0 |
0 |
4 |
1 |
|
0 |
0 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
| |||
|
|
0 |
-1 |
4 |
1 |
|
0 |
-1 |
0 |
0 |
|
0 |
-1 |
0 |
0 |
|
|
~ |
-1 |
0 |
7 |
0 |
~ |
-1 |
0 |
7 |
0 |
~ |
-1 |
0 |
7 |
0 |
~ |
|
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
4 |
1 |
|
0 |
0 |
4 |
1 |
|
0 |
0 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
|
| |||
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
~ |
1 |
0 |
7 |
0 |
~ |
1 |
0 |
0 |
0 |
~ |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
а) к элементам первой строки прибавим элементы третьей строки, умноженные на -2
б) к элементам второй строки прибавим элементы четвёртой строки, умноженные на -1
к элементам второй строки прибавим элементы первой строки
а) элементы первой строки умножим на -1
б) вычеркнем вторую строку, т.к. все её элементы равны нулю
к элементам второй строки прибавим элементы первой строки
к элементам первого столбца прибавим элементы четвёртого столбца, умноженные на -4
меняем местами первую и третью, вторую и четвёртую строки
к элементам четвёртого столбца прибавим элементы первого столбца, умноженные на 2
к элементам первой строки прибавим элементы второй строки, умноженные на -1
а) к элементам второй строки прибавим элементы третьей строки, умноженные на 2
б) элементы первой строки умножим на -1
к элементам первой строки прибавим элементы четвёртой строки, умноженные на -1
к элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на -2
а) к элементам четвёртой строки прибавим элементы третьей строки, умноженные на -4
б) элементы первого и второго столбца умножим на -1
к элементам второй строки прибавим элементы третьей строки, умноженные на -7
меняем местами первую и вторую строки
rA = 4
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8 |
6 |
5 |
2 |
21 |
|
0 |
2 |
-1 |
0 |
5 |
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
-5 |
|
|
|
3 |
3 |
2 |
1 |
10 |
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
-5 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
В= |
4 |
2 |
3 |
1 |
8 |
~ |
4 |
2 |
3 |
1 |
8 |
~ |
4 |
2 |
3 |
1 |
8 |
~ |
|
|
3 |
5 |
1 |
1 |
15 |
|
3 |
5 |
1 |
1 |
15 |
|
3 |
5 |
1 |
1 |
15 |
|
|
|
7 |
4 |
5 |
2 |
18 |
|
7 |
4 |
5 |
2 |
18 |
|
7 |
4 |
5 |
2 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
-5 |
|
0 |
-2 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
~ |
4 |
0 |
4 |
1 |
3 |
~ |
4 |
0 |
0 |
1 |
3 |
~ |
1 |
0 |
0 |
1 |
3 |
~ |
|
|
3 |
5 |
1 |
1 |
15 |
|
3 |
5 |
-2 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
-2 |
1 |
0 |
|
|
|
7 |
4 |
5 |
2 |
18 |
|
7 |
4 |
-2 |
2 |
6 |
|
1 |
0 |
-2 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
~ |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
~ |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
~ |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
~ |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
-2 |
1 |
3 |
|
1 |
0 |
-2 |
1 |
3 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
~ |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) к элементам второй строки прибавим элементы четвёртой строки, умноженные на -1
б) к элементам первой строки прибавим элементы третьей строки, умноженные на -2
а) к элементам первой строки прибавим элементы второй строки
б) меняем местами первую и вторую строки
а) к элементам третьей строки прибавим элементы первой строки
б) вычёркиваем вторую строку, т.к. все её элементы равны нулю
а) к элементам третьего столбца прибавим элементы первого столбца, умноженные на -1
б) к элементам пятого столбца прибавим элементы второго столбца, умноженные на -3
а) к элементам второго столбца прибавим элементы третьего столбца, умноженные на 2
б) к элементам первого столбца прибавим элементы четвёртого столбца, умноженные на -3
а) к элементам пятого столбца прибавим элементы первого столбца, умноженные на -3
б) к элементам четвёртого столбца прибавим элементы первого столбца, умноженные на -1
к элементам четвёртого столбца прибавим элементы второго столбца, умноженные на -1
к элементам третьего столбца прибавим элементы четвёртого столбца, умноженные на 2
а) к элементам пятого столбца прибавим элементы четвёртого столбца, умноженные на -3 б) к элементам первого столбца прибавим элементы чётвертого столбца, умноженные на -1
10) а) вычёркиваем третий столбец, т.к. он равен пятому
б) меняя местами строки, получаем единичную матрицу
rB = rA = 4. Следовательно, система совместна