Равенство матриц

Две матрицы А = (a_ij) и В = (b_ij) называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. если a_ij = b_ij при всех i и j. При этом число строк и столбцов матриц А и В должно быть одинаковым. Так, матрицы

A=	a11	a12		и		B=	b11	b12
	a21	a22					b21	b22

равны, если

a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁, a₂₂ = b₂₂.

Равные матрицы имеют одну и ту же структуру: обе они либо прямоугольные (m x n), либо квадратные одного и того же порядка n.

Линейные операции над матрицами

Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.

Суммой двух матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) называется матрица С = (c_ij), элементы которой определяются равенством:

a_{ij +} b_ij = c_ij (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n).

Аналогично определяется разность двух матриц. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковую структуру: или прямоугольные типа (m x n) или квадратные порядка n.

Пример 1.

a11	a12	+	b11	b12	=	a11+b11	a12+b12
a21	a22		b21	b22		a21+b21	a22+b22

Так как сложение матриц сводится к сложению их элементов, являющихся числами, то на него распространяются переместительный

А + В = В + А (6)

и сочетательный

(А + В) + С = А + (В + С) (7)

законы сложения.

Произведением матрицы А = (a_ij) на число k называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k:

kА = k(a_ij) = (ka_ij) (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n)

Пример 2.

k	a11	a12	=	ka11	ka12
	a21	a22		ka21	ka22

Произведение матриц

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка

A=	a11	a12		и			В=	b11	b12
	a21	a22						b21	b22

Произведение обозначается так: A ^. B = C (или AB = C).

Чтобы найти элемент с₁₁ первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (a₁₁ и а₁₂) умножить на соответствующий элемент первого столбца (b₁₁ и b₂₁) и полученные произведения сложить: c₁₁ = а₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁;

чтобы найти элемент с₁₂ первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки (а₁₁ и а₁₂) на соответствующие элементы второго столбца (b₁₂ и b₂₂) и полученные произведения сложить: с₁₂ = а₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂.

Аналогично находятся элементы с₂₁ и с₂₂.

С = AB =	a11b11 + a12b21	a11b12 +a12b22
	a21b11 + a22b21	a21b12 + a22b22

Сформулируем правило умножения двух матриц.

Произведением матрицы А = (а_ij), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу В = (b_ij), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица С = (с_ij), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент с_ij равен сумме произведений элементов i-ой строки (a_i1, a_i2, … a_in) матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца (b_1j, b_2j, … b_nj) матрицы В.

Согласно этому правилу, число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено.

Пример 3.

a11	a12	a13	b11	b12	b13
a21	a22	a23 ^.	b21	b22	b23 =
			b31	b32	b33

a11b11 + a12b21 + a13b31	a11b12 + a12b22 + a13b32	a11b13 + a12b23 + a13b23
a21b11 + a22b21 + a23b31	a21b12 + a22b22 + a23b32	a21b13 + a22b23 + a23b33

Пример 4. (Кристина Владимирова, ТШ-062).

Найти произведение матриц

А=	1	-3	2	и В=	2	5	6
	3	-4	1		1	2	5
	2	-5	3		1	3	2

Найдём каждый элемент матрицы-произведения:

c₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₁₂ + a₁₃b₁₃ = 1 ^.2 + (-3) ^.1 + 2 ^.1 = 1

c₁₂ = a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂ = 1 ^.5 + (-3) ^.2 +2 ^.3 = 5

c₁₃ = a₁₁b₁₃ + a₁₂b₂₃ + a₁₃b₃₃ = 1 ^.6 + (-3) ^.5 + 2 ^.2 = -5

c₂₁ = a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁ = 3 ^.2 + (-4) ^.1 + 1 ^.1 = 3

c₂₂ = a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ + a₂₃b₃₂ = 3 ^.5 + (-4) ^.2 + 1 ^.3 = 10

c₂₃ = a₂₁b₁₃ + a₂₂b₂₃ + a₂₃b₃₃ = 3 ^.6 + (-4) ^.5 + 1 ^.2 = 0

c₃₁ = a₃₁b₁₁ + a₃₂b₂₁ + a₃₃b₃₁ = 2 ^.2 + (-5) ^.1 + 3 ^.1 = 2

c₃₂ = a₃₁b₁₂ + a₃₂b₂₂ + a₃₃b₃₂ = 2 ^.5 + (-5) ^.2 + 3 ^.3 =9

c₃₃ = a₃₁b₁₃ + a₃₂b₂₃ + a₃₃b₃₃ = 2 ^.6 + (-5) ^.5 + 3 ^.2 = -7

Следовательно,

АВ=	1	5	-5
	3	10	0
	2	9	-7

Далее Кристина находит произведение ВА:

ВА=	2 ^. 1 + 5 ^. 3 + 6 ^. 2	2(-3) + 5(-4) + 6(-5)	2 ^. 2+ 5 ^. 1 + 6 ^. 3
	1 ^. 1 + 2 ^. 3 + 5 ^. 2	1(-3) + 2(-4) + 5(-5)	1 ^. 2+ 2 ^. 1 + 5 ^. 3	=
	1 ^. 1 + 3 ^. 3 + 2 ^. 2	1(-3) + 3(-4) + 2(-5)	1 ^. 2+ 3 ^. 1 + 2 ^. 3

=	29	-56	27
	17	-36	19
	14	-25	11

Видим, что АВ ≠ ВА. Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.

Путём непосредственной проверки можно убедиться в справедливости следующих соотношений для матриц:

(А + В) ^. С = А ^. С + В ^. С (8)

С ^. (А + В) = С ^. А + С ^. В (9)

А ^. (В ^. С) = ( А ^. В) ^. С (10)

Завершая анализ операций над матрицами, рассмотрим пример вычисления матричного многочлена.

Пример 5. (Маша Куприянова, ТШ-061).

Найти значение матричного многочлена

3(А² – В²) – 2АВ

		4	2	1					2	0	2
при	А=	3	-2	0		и		В=	5	-7	-2
		0	-1	2					1	0	-1

Имеем

	4	2	1	4	2	1		22	3	6
А^2=	3	-2	0	3	-2	0	=	6	10	3
	0	-1	2	0	-1	2		-3	0	4
	2	0	2	2	0	2		6	0	2
В^2=	5	-7	-2 ^.	5	-7	-2	=	-27	49	26
	1	0	-1	1	0	-1		1	0	3

	16	3	4		48	9	12
А^2 – В^2 =	33	-39	-23	, 3( А^2 – В^2 ) =	99	-117	-69
	-4	0	1		-12	0	3

	4	2	1	2	0	2		19	-14	3
АВ =	3	-2	0 ^.	5	-7	-2	=	-4	14	10	,
	0	-1	2	1	0	-1		-3	7	0

	38	-28	6
2АВ =	-8	28	20
	-6	14	0

	10	37	6
3(A^2 – B^2) – 2AB =	107	-145	-89
	-6	-14	3