Теория вероятностей Вариант №14

1. Из множества чисел {1, 2, ... , n} последовательно выбирается два числа. Какова вероятность, что второе число больше первого, если выбор осуществляется: а) без возвращения; б) с возвращением?

2. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что: а) двигатель начнет работать при втором включении зажигания; б) для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.

3. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 2 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,5 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

4. Предположим, 85% людей, которые интересуются возможными инвестициями (вложениями) в брокерскую фирму, не покупают акции, а 33% не покупают облигации. Также известно, что 28% интересующихся прерывают покупку ценных бумаг – как акций, так и облигаций. Некто интересуется делами компании; чему равна вероятность того, что он будет покупать либо облигации, либо акции, либо и то и другое?

5. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом бизнесе очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, наняты компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0,89, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с вероятностью 0,65, если доллар подорожает. По оценкам экономистов, вероятность того, что доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,27. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы будут проданы?

6. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.

7. По результатам проверок налоговыми инспекторами установлено, что в среднем 75% малых предприятий имеют нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 12 проверяемых фирм: а) не будут найдены нарушения; 2) более половины имеют нарушения; 3) чему равно ожидаемое число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения? 4) чему равно наивероятнейшее число фирм, в которых будут обнаружены финансовые нарушения?

8. В установленном технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 75% процентов 1-го типа. Найти вероятность того, что в партии 500 изделий окажется изделий 1-го типа: а) ровно 390; б) больше 370, но меньше 400.

9. В результате проверки качества приготовленных для посева семян гороха установлено, что в среднем 90% всхожи. Посажено 600 семян гороха. Вероятность прорастания каждого семени равна 0,9. Найти вероятность того, что взойдет: а) ровно 550 семян; б) больше 535, но меньше 555 семян.

10. Журнал "Деньги" в одном из номеров поместил информацию о том, что возврат инвестиций на российском рынке в 1990 г. ожидался более высоким, чем от аналогичных инвестиций на американском рынке. Консультант по инвестициям, советующий вкладывать средства в российский рынок полагает, что вероятностное распределение возврата инвестиций (% в году) в один из таких проектов имеет вид:

xi	9	10	11	12	13	14	15
pi	0,05	0,15	0,30	0,20	0,15	0,10	0,05

а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Построить функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что возврат инвестиций будет составлять по крайней мере 12%. г) Чему равно ожидаемое значение, дисперсия и среднее квадратичное отклонение возврата инвестиций?

11. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: x₁=2, x₂=4, x₃=4, а также даны математическое ожидание этой величины M[X]=0,4 и ее квадрата M[X²]=19,6. Найти закон распределения случайной величины X.

12. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения

Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1,5<X<2).

13. Известны математическое ожидание a=7 и среднее квадратичное отклонение =3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (2;13), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на =2.

14. Масса определенного сорта яблок – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 420 г². Агрономы знают, что масса 65% фруктов меньше, чем 320кг. Найдите ожидаемую массу случайного выбранного яблока.

Э, МР, БМ, СМ

Типовой расчет